Delvis integrasjon

$$ \int e^x·4x dx$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=4x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=4$$

• $$ u^{\text{'}}=e^x$$, som gir $$ u=e^x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og får

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·4x dx & =& e^x·4x-\int e^x·4 dx\\ & =& 4x{e}^x-4\int e^{x}dx\\ & =& 4x{e}^x-4e^x+C\end{array}$$

Velg $$ v$$ som den av faktorene som forenkles ved derivasjon.

$$ \int x·\sin x dx$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=1$$

• $$ u^{\text{'}}=\sin x$$, som gir $$ u=-\cos x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og setter faktorene i "riktig rekkefølge" for å få bedre oversikt:

$$ \begin{array}{rcl}\int x·\sin x dx & =& \int \sin x·x dx\\ & =& -\cos x·x-\int -\cos x·1 dx\\ & =& -x\cos x+\int \cos x dx\\ & =& -x\cos x+\sin x+C\end{array}$$

$$ \int \left(4x+3\right)·\sin x dx$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\left(4x+3\right)$$, som gir $$ v^{\text{'}}=1$$

• $$ u^{\text{'}}=\sin x$$, som gir $$ u=-\cos x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og markerer valgene på faktorene for bedre oversikt:

$$ \begin{array}{rcl}\int \stackrel{v}{\left(4x+3\right)}·\stackrel{u^{\text{'}}}{\sin x }dx & =& -\cos x·\left(4x+3\right)-\int -\cos x·4 dx\\ & =& -\cos x·\left(4x+3\right)+4\int \cos x dx\\ & =& -\cos x·\left(4x+3\right)+4\sin x+C\\ & =& 4\sin x-\cos x·\left(4x+3\right)+C\end{array}$$

$$ \int \left(2x-7\right)·\cos x dx$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\left(2x-7\right)$$ som gir $$ v^{\text{'}}=2$$

• $$ u^{\text{'}}=\cos x$$ som gir $$ u=\sin x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \stackrel{v}{\left(2x-7\right)}·\stackrel{u^{\text{'}}}{\cos x d}x & =& \sin x·\left(2x-7\right)-\int \sin x·2 dx\\ & =& \left(2x-7\right)\sin x-2\int \sin x dx\\ & =& \left(2x-7\right) \sin x-2\left(-\cos x\right)+C\\ & =& \left(2x-7\right) \sin x+2\cos x+C\end{array}$$

I dette tilfellet forenkles begge faktorene ved derivasjon. Da må vi heller se på hvilken av funksjonene som er enklest å integrere.

$$ \int 2x·\ln x dx$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\ln x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$

• $$ u^{\text{'}}=2x$$, som gir $$ u=x^2$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \stackrel{v}{2x}·\stackrel{u^{\text{'}}}{\ln x} dx& =& x^2·\ln x-\int x^2·\frac{1}{x}dx\\ & =& x^2·\ln x-\int x dx\\ & =& x^2·\ln x-\frac{1}{2}{x}^2+C\end{array}$$

$$ \int e^{\frac{x}{2}}·\left(2x-1\right)dx$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\left(2x-1\right)$$, som gir $$ v^{\text{'}}=2$$

• $$ u^{\text{'}}=e^{\frac{x}{2}}$$, som gir $$ u=2e^{\frac{x}{2}}$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og får

$$ \begin{array}{rcl}\int e^{\frac{x}{2}}·\left(2x-1\right)dx & =& 2e^{\frac{x}{2}}·\left(2x-1\right)-\int 2e^{\frac{x}{2}}·2 dx\\ & =& \left(4x-2\right)e^{\frac{x}{2}}-4\int e^{\frac{x}{2}}dx\\ & =& \left(4x-2\right)e^{\frac{x}{2}}-4·2e^{\frac{x}{2}}+C\\ & =& e^{\frac{x}{2}}\left(4x-2-8\right) +C\\ & =& e^{\frac{x}{2}}\left(4x-10\right) +C\end{array}$$

For å gå fra en faktor til to faktorer uten å endre verdien kan vi multiplisere med 1, slik at integralet blir $$ \int \ln x·1 dx$$.

$$ \int 1·\ln x dx$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\ln x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$

• $$ u^{\text{'}}=1$$, som gir $$ u=x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \stackrel{u^{\text{'}}}{1}·\stackrel{v}{\ln x }dx & =& x\ln x-\int x·\frac{1}{x}dx\\ & =& x\ln x-\int 1 dx\\ & =& x\ln x-x+C\end{array}$$

Husk at $$ {\left(\ln x\right)}^2$$ kan skrives som to faktorer: $$ \ln x·\ln x$$.

$$ \int {\left(\ln x\right)}^{2}dx=\int \ln x·\ln x dx$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\ln x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$

• $$ u^{\text{'}}=\ln x$$, som gir $$ u=x\ln x-x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \ln x·\ln x dx & =& \left(x\ln x-x\right)·\ln x-\int \left(x\ln x-x\right)·\frac{1}{x}dx\\ & =& \left(x\ln x-x\right)·\ln x-\int \left(\ln x-1\right)dx\\ & =& x{\left(\ln x\right)}^2-x\ln x- \left(x\ln x-x-x\right)+C\\ & =& x{\left(\ln x\right)}^2-2x\ln x+2x+C\end{array}$$

$$ \int e^x·x^{2}dx$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x^2$$, som gir $$ v^{\text{'}}=2x$$

• $$ u^{\text{'}}=e^x$$, som gir $$ u=e^x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·x^{2}dx & =& e^x·x^2-\int e^x·2x dx\\ & & e^x·x^2-2\int e^x·x dx\end{array}$$

Den nye integranden er enklere enn den vi startet med, men fortsatt ikke så enkel at vi kan integrere direkte.

Fra første "runde" med delvis integrasjon har vi

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·x^{2}dx & =& e^x·x^2-2\int e^x·x dx\end{array}$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=1$$

• $$ u^{\text{'}}=e^x$$, som gir $$ u=e^x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon på nytt og får

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·x^{2}dx & =& e^x·x^2-\int e^x·x dx\\ & =& e^x·x^2-2\left(e^x·x-\int e^x·1 dx\right)\\ & =& e^x·x^2-2·e^x·x+2·e^x+C\\ & =& e^x\left(x^2-2x+2\right)+C\end{array}$$

Delvis integrasjon handler om å forenkle det som skal integreres. Ofte skjer dette ved at en av faktorene forenkles ved derivasjon.

I vårt tilfelle inneholder integranden faktorene $$ e^x$$ og $$ x^2$$.

• $$ e^x$$ kan ikke forenkles verken ved integrasjon eller derivasjon.

• $$ x^2$$ krever to "runder" med derivasjon for at resultatet blir 1, og en faktor lik 1 (eller en annen konstant) vil som regel medføre at integrasjonen kan gjennomføres.

Dette betyr at vi kan se fra start at vi vil måtte gjennomføre to runder med delvis integrasjon for å bestemme integralet.

$$ \int x^2·\sin x dx$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x^2$$, som gir $$ v^{\text{'}}=2x$$

• $$ u^{\text{'}}=\sin x$$, som gir $$ u=-\cos x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon, bytter rekkefølge på faktorene for bedre oversikt og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \stackrel{}{x^2}·\stackrel{}{\sin x }dx & =& \int \stackrel{}{\sin x·x^2}dx\\ & =& -\cos x·x^2-\int -\cos x·2x dx\\ & =& -\cos x·x^2+\int \cos x·2x dx\end{array}$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$ på nytt ut fra ny integrand:

• $$ v=2x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=2$$

• $$ u^{\text{'}}=\cos x$$, som gir $$ u=\sin x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \int \sin x·x^{2}dx=\begin{array}{rcl}& & -\end{array}\begin{array}{rcl}& & \cos \end{array}\begin{array}{rcl}& & x\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & x\end{array}\begin{array}{rcl}& & {}^2\end{array}\begin{array}{rcl}& & +\end{array}\begin{array}{rcl}& & \int \end{array}\begin{array}{rcl}& & \cos \end{array}\begin{array}{rcl}& & x\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & 2\end{array}\begin{array}{rcl}& & x dx\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{cl}=& -\cos x·x^2+\sin x·2x-\int \sin x·2 dx\\ =& -\cos x·x^2+\sin x·2x-2\int \sin x dx\\ =& -\cos x·x^2+\sin x·2x-2\left(-\cos x\right)+C\\ =& \cos x\left(2-x^2\right)+2x·\sin x+C\end{array}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}$$

Her må du bruke delvis integrasjon tre ganger.

$$ \int x^3·e^{2x}dx$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x^3$$, som gir $$ v^{\text{'}}=3x^2$$

• $$ u^{\text{'}}=e^{2x}$$, som gir $$ u=\frac{1}{2}{e}^{2x}$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \begin{array}{rcl}\int x^3·e^{2x}dx & =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·3x^{{}^2}dx\\ & =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{2}\int e^{2x}·x^{{}^2}dx\end{array}$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x^2$$, som gir $$ v^{\text{'}}=2x$$

• $$ u^{\text{'}}=e^{2x}$$, som gir $$ u=\frac{1}{2}{e}^{2x}$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon for andre gang og får

$$ \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{2}\int e^{2x}·x^{2}dx$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{cl}=& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}·x^2-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·2x dx\right)\\ =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{2}\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·2x dx\end{array}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=1$$

• $$ u^{\text{'}}=e^{2x}$$, som gir $$ u=\frac{1}{2}{e}^{2x}$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon for tredje gang og får

$$ \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{2}\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·2x dx$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{cl}=& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}·x-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·1 dx\right)\\ =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{4}{e}^{2x}·x-\frac{3}{4}\int e^{2x}dx\\ =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{4}{e}^{2x}·x-\frac{3}{4}·\frac{1}{2}{e}^{2x}+C\\ =& e^{2x}\left(\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}\right)+C\end{array}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}$$

Ingen av de to faktorene forenkles verken ved integrasjon eller derivasjon.

$$ \int e^x·\sin x dx$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\sin x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=\cos x$$

• $$ u^{\text{'}}=e^x$$, som gir $$ u=e^x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·\sin x dx & =& e^x·\sin x-\int e^x·\cos x dx\end{array}$$

Vi velger $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$ på nytt ut fra ny integrand:

• $$ v=\cos x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=-\sin x$$

• $$ u^{\text{'}}=e^x$$, som gir $$ u=e^x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon på nytt og får

$$ e^x·\sin x-\int e^x·\cos x dx$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{cl}=& e^x·\sin x-\left(e^x\cos x-\int e^x·\left(-\sin x\right)dx\right)\\ =& e^x·\sin x-e^x\cos x-\int e^x·\sin x dx\end{array}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}$$

Sammenlign med det opprinnelige integralet.

Det opprinnelige integralet finnes i uttrykket som vi har kommet fram til etter å ha utført delvis integrasjon to ganger.

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·\sin x dx & =& e^x·\sin x-e^x·\cos x-\int e^x·\sin x dx\\ 2·\int e^x·\sin x dx & =& e^x·\sin x-e^x·\cos x+C_1\\ \int e^x·\sin x dx & =& \frac{1}{2}{e}^x·\sin x-\frac{1}{2}{e}^x·\cos x+\frac{1}{2}{C}_1\\ \int e^x·\sin x dx & =& \frac{1}{2}{e}^x\left(\sin x-\cos x\right)+C\\ & & \end{array}$$

Kommentar: Konstantleddet $$ \frac{1}{2}{C}_1$$ settes lik $$ C$$ for å gjøre uttrykket enklest mulig.