Delvis integrasjon
3.2.10
Bruk delvis integrasjon for å bestemme integralene uten bruk av digitale hjelpemidler.
a)
Løsning
Vi velger
, som girv = 4 x v ' = 4 , som giru ' = e x u = e x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon
og får
b)
Tips
Velg
Løsning
Vi velger
, som girv = x v ' = 1 , som giru ' = sin x u = - cos x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon
og setter faktorene i "riktig rekkefølge" for å få bedre oversikt:
c)
Løsning
Vi velger
, som girv = 4 x + 3 v ' = 1 , som giru ' = sin x u = - cos x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon
og markerer valgene på faktorene for bedre oversikt:
d)
Løsning
Vi velger
som girv = 2 x - 7 v ' = 2 som giru ' = cos x u = sin x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon
og får
e)
Tips
I dette tilfellet forenkles begge faktorene ved derivasjon. Da må vi heller se på hvilken av funksjonene som er enklest å integrere.
Løsning
Vi velger
, som girv = ln x v ' = 1 x , som giru ' = 2 x u = x 2
Vi bruker formelen for delvis integrasjon
og får
f)
Løsning
Vi velger
, som girv = 2 x - 1 v ' = 2 , som giru ' = e x 2 u = 2 e x 2
Vi bruker formelen for delvis integrasjon
og får
3.2.11
Ved hjelp av derivasjon fant vi en løsning på
a) Hvordan kan vi skrive
Svar
For å gå fra en faktor til to faktorer uten å endre verdien kan vi multiplisere med 1, slik at integralet blir
b) Bruk delvis integrasjon og metoden over til å bestemme
Løsning
Vi velger
, som girv = ln x v ' = 1 x , som giru ' = 1 u = x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får
c) Bruk løsningen fra b) til å bestemme
Tips
Husk at
Løsning
Vi velger
, som girv = ln x v ' = 1 x , som giru ' = ln x u = x ln x - x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får
3.2.12
I noen tilfeller finner vi ikke løsningen til det bestemte integralet etter å ha benyttet delvis integrasjon én gang, men hvis uttrykket da har blitt enklere, er det en mulighet for at vi kan finne løsningen ved å bruke delvis integrasjon flere ganger.
Vi skal prøve ut dette for å bestemme
a) Velg
Løsning
Vi velger
, som girv = x 2 v ' = 2 x , som giru ' = e x u = e x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får
Den nye integranden er enklere enn den vi startet med, men fortsatt ikke så enkel at vi kan integrere direkte.
b) Velg
Løsning
Fra første "runde" med delvis integrasjon har vi
Vi velger
, som girv = x v ' = 1 , som giru ' = e x u = e x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon på nytt og får
c) Vi ser at vi fant løsningen ved å gjøre delvis integrasjon to ganger. Kan vi se ut fra integranden vi startet med, at løsningen vil kreve to "runder" med delvis integrasjon?
Svar
Delvis integrasjon handler om å forenkle det som skal integreres. Ofte skjer dette ved at en av faktorene forenkles ved derivasjon.
I vårt tilfelle inneholder integranden faktorene
kan ikke forenkles verken ved integrasjon eller derivasjon.e x krever to "runder" med derivasjon for at resultatet blir 1, og en faktor lik 1 (eller en annen konstant) vil som regel medføre at integrasjonen kan gjennomføres.x 2
Dette betyr at vi kan se fra start at vi vil måtte gjennomføre to runder med delvis integrasjon for å bestemme integralet.
3.2.13
Bestem integralene ved å gjennomføre delvis integrasjon flere ganger.
a)
Løsning
Vi velger
, som girv = x 2 v ' = 2 x , som giru ' = sin x u = - cos x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon, bytter rekkefølge på faktorene for bedre oversikt og får
Vi velger
, som girv = 2 x v ' = 2 , som giru ' = cos x u = sin x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får
b)
Tips
Her må du bruke delvis integrasjon tre ganger.
Løsning
Vi velger
, som girv = x 3 v ' = 3 x 2 , som giru ' = e 2 x u = 1 2 e 2 x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får
Vi velger
, som girv = x 2 v ' = 2 x , som giru ' = e 2 x u = 1 2 e 2 x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon for andre gang og får
Vi velger
, som girv = x v ' = 1 , som giru ' = e 2 x u = 1 2 e 2 x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon for tredje gang og får
3.2.14
Vi skal til slutt se på et spesielt tilfelle.
a) Vi ønsker å løse
Svar
Ingen av de to faktorene forenkles verken ved integrasjon eller derivasjon.
b) Utfør to runder med delvis integrasjon på
Løsning
Vi velger
, som girv = sin x v ' = cos x , som giru ' = e x u = e x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får
Vi velger
, som girv = cos x v ' = - sin x , som giru ' = e x u = e x
Vi bruker formelen for delvis integrasjon på nytt og får
c) Hva er spesielt med resultatet vi får etter å ha utført delvis integrasjon to ganger?
Tips
Sammenlign med det opprinnelige integralet.
Svar
Det opprinnelige integralet finnes i uttrykket som vi har kommet fram til etter å ha utført delvis integrasjon to ganger.
d) Sett det opprinnelige integralet lik resultatet du fikk i b), og løs likningen med hensyn på det opprinnelige integralet.
Løsning
Kommentar: Konstantleddet