Sammenslåing av trigonometriske funksjoner
En utfordrende likning
Vi ønsker å løse likningen
Forklar hvorfor denne likningen ikke kan løses ved å dele på i alle ledd.
Forklaring
Vi prøver å dele på
Vi kommer ikke videre i løsningen siden vi nå har både
Vi trenger en ny løsningsmetode for denne likningen.
Utforsking av venstre side av likningen
Vi skal utforske venstresiden av likningen. Tegn grafen til uttrykket på venstre side. Hva får du, og hva betyr det?
Resultat
Vi setter
Vi får at grafen er en sinuskurve. Det betyr at det må være mulig å skrive venstresiden av likningen som én sinusfunksjon. Dersom vi klarer det, ender vi opp med en enkel likning med kun sinusfunksjonen.
Hvordan kan vi finne uttrykket for sinusfunksjonen som er tegnet i boksen over, ut ifra grafen?
Svar
Den generelle sinusfunksjonen kan skrives som
Vi kan finne parametrene
Finn uttrykket for
Løsning
Utgangspunktet er den generelle sinusfunksjonen
Vi får av grafen at
amplituden er 2, som gir
A = 2 likevektslinja er
, som giry = 0 d = 0 perioden
erp , som gir2 π
p = 2 π k ⇔ k = 2 π p = 2 π 2 π = 1 faseforskyvningen
erx f , som gir- π 3 𝜑 = - x f · k = - - π 3 · 1 = π 3
Funksjonsuttrykket blir
Resultatet må bety at
En slik omforming kalles også for sinusomforming.
Vis at sammenhengen over er en identitet.
Tips
Bruk formelen for sinus til en sum av vinkler.
Bevis
Vi bruker formelen
Løsning av likningen
Nå kan vi løse den opprinnelige likningen.
der
Vi får samme løsning med CAS i GeoGebra.
Omforming til én sinusfunksjon
Hvordan kan vi omforme en sum av en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon til én sinusfunksjon uten å tegne grafen slik vi gjorde over?
Vi ser igjen på den generelle sinusfunksjonen
Vi får derfor at vi kan omforme en sum av en cosinusfunksjon og en sinusfunksjon med samme
Hvor mange ukjente størrelser er det i disse to likningene?
Forklaring
Når vi skal gjøre denne omformingen, kjenner vi
Dette likningssettet er ikke det enkleste å løse for hånd med vanlige metoder som innsettingsmetoden. Vi finner enklest løsningen ved først å utnytte at
Da har vi funnet
En tangenslikning har mange løsninger. Vi kan holde oss til første omløp, for vi trenger bare én løsning. Likningen har to løsninger i første omløp, men bare én av dem kan brukes. Forklaringen på det er:
Vi har at
siden den regnes ut fra et rotuttrykk.A > 0 Siden
, må derfora = A cos 𝜑 ha samme fortegn somcos 𝜑 .a Siden
, må ogsåb = A sin 𝜑 ha samme fortegn somsin 𝜑 .b
I hvilken kvadrant i koordinatsystemet havner punktet
Svar
Et punkt med negativ
Figuren viser et eksempel der punktet
Konklusjonen må bli at vi må velge den vinkelen
Tangensfunksjonen eksisterer ikke for alle vinkler. Hvorfor skaper ikke det problemer for oss?
Forklaring
Løsning på den utfordrende likningen ved regning
Vi prøver løsningsteknikken på likningen vi studerte øverst på siden. Du bør prøve å løse likningen på egen hånd før du går videre.
Likningen vi skal løse, er
Vi må slå sammen de to leddene på venstre side. Her har vi at
og
Hvilken kvadrant skal vinkelen
Svar
Siden både
Vi gjenkjenner
Da kan vi omforme likningen til en enkel trigonometrisk likning.
Dette er det samme som vi kom fram til grafisk lenger oppe på siden. Resten av framgangsmåten er som ved den grafiske løsningen. Vi får at
Et lite spørsmål til slutt: Hvorfor kan vi ikke bruke metoden på denne siden til å slå sammen
Forklaring
Metoden forutsetter at sinus- og cosinusfunksjonen har samme verdi for parameteren
Nedenfor har vi lagd et interaktivt GeoGebra-ark der du kan dra i gliderne
Start med å sette
Sett deretter
Files
Prøv med ulike verdier for
Sammenslåing av trigonometriske funksjoner med GeoGebra
GeoGebra kan slå sammen trigonometriske funksjoner for oss med kommandoen TrigKombiner().
Vi får det samme som vi kom fram til ved regning for hånd over. Det er to argumenter til kommandoen. Det første argumentet er det uttrykket som skal slås sammen. Det andre argumentet er hvilken funksjon det skal legges vekt på under sammenslåingen. Prøv kommandoen TrigKombiner(sin(x)+sqrt(3)·cos(x),cos(x))
og se hva du får!
Du kan også bruke GeoGebra til å gå motsatt veg med kommandoen TrigUtvid().
Oppsummering av sinusomforminga
Vi kan gjøre omforminga
Da er
og
NB: Vi må passe på å velge den vinkelen
Oppsummering av metoder vi kan bruke ved løsning av sammensatte trigonometriske likninger
Kan du skrive opp tre framgangsmåter som kan brukes til å løse sammensatte trigonometriske likninger?
Tre framgangsmåter
Vi kan
omforme
tilcos 2 x eller motsatt ved hjelp av enhetsformelensin 2 x dividere med
og se om vi får omformet likningen til en likning med bare tangensfunksjonencos x slå sammen sinus- og cosinusfunksjoner med metoden vist på denne siden