Sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler
Uttrykket over er sinus til en sum av to vinkler. Vi skal se at det går an å skrive dette og tilsvarende uttrykk ved hjelp av og
Formel for cosinus til en differanse av to vinkler
Vi begynner med å finne en formel for
Legg merke til at vi har tegnet de venstre vinkelbeina til
På figuren har punktet
Skriv opp koordinatene til
Resultat
Vektorene får koordinater lik koordinatene til
Vi skal komme fram til en formel for
Svar
Vi kan regne ut skalarproduktet med eller uten bruk av vektorkoordinatene. Vi kan
1) enten bruke at skalarproduktet mellom vektorene er lik lengden av den ene vektoren multiplisert med lengden av den andre multiplisert med cosinus til den mellomliggende vinkelen
2) regne ut skalarproduktet ved hjelp av vektorkoordinatene
Regn ut skalarproduktet på den første måten beskrevet i boksen over.
Resultat
Den mellomliggende vinkelen til de to vektorene er
Regn ut skalarproduktet på den andre måten.
Resultat
Husk at når vi regner ut et skalarprodukt ved hjelp av vektorkoordinatene, tar vi produktet av
Resultatet av disse to måtene å regne på må være like. Da får vi formelen nedenfor.
Formel for cosinus til en differanse mellom to vinkler:
I definisjonen til skalarproduktet er det et krav at den mellomliggende vinkelen skal være den vinkelen mellom vektorene som er mindre enn (eller lik) π. Vi skal vise at formelen også gjelder når
Resultat
Vi flytter punktet
Når
Vis at
Bevis
Vi har vist at vinklene
gjelder dermed alltid.
Formel for cosinus til en sum av to vinkler
Med formelen for cosinus til en differanse av to vinkler kan vi nå utlede formelen for cosinus til en sum av to vinkler.
Finn en formel for cosinus til summen av vinklene
Resultat
Formler for sinus til summer og differanser av to vinkler
Nå kan vi videre komme fram til formler for sinus til en sum av to vinkler og sinus til en differanse av to vinkler med utgangspunkt i formlene for cosinus til en sum og til en differanse.
Finn disse formlene ved å bruke at
Sinus til sum av to vinkler
Sinus til differanse av to vinkler
Sinus, cosinus og tangens til den dobbelte vinkelen
Bruk formlene for sinus og cosinus til en sum av to vinkler til å finne en formel for
Resultat
Vi bruker resultatene over til å finne et uttrykk for
Oppsummering
Løsning på oppgaven over
I en av oppgavene blir du bedt om å finne formler for