Vi kan finne mange sammenhenger mellom de trigonometriske funksjonene.
Enhetsformelen
Vi skal fram til kanskje den mest grunnleggende sammenhengen mellom sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen.
Hvordan kan vi uttrykke og på figuren ved hjelp av vinkelen ?
Forklaring
Definisjonene av cosinus- og sinusfunksjonen ut ifra figuren gir
Lengdene og danner en rettvinklet trekant sammen med det venstre vinkelbeinet til vinkelen . Hvilken sammenheng kan du lage mellom og ut ifra det?
Tips
Bruk pytagorassetningen.
Resultat
Pytagorassetningen gir
Dette kalles enhetsformelen. Ifølge formelen er summen av kvadratene til sinus og cosinus til den samme vinkelen alltid er 1.
Matematikere har blitt enige om å skrive som . Derfor skriver vi vanligvis enhetsformelen som nedenfor.
Enhetsformelen:
Får vi problemer med denne formelen hvis vinkelen ligger i andre, tredje eller fjerde kvadrant?
Forklaring
I andre, tredje eller fjerde kvadrant vil minst én av de trigonometriske verdiene og være negativ. Det er ikke noe problem for enhetsformelen siden verdiene blir kvadrert. Se eksempelet på bildet nedenfor når er i andre kvadrant.
Enhetssirkelen med vinkel v i andre kvadrant.
Supplementvinkler
Enhetssirkel med to vinkler der u + v = 180°.
Du vet kanskje fra før at supplementvinkler er to vinkler der summen blir 180° (eller π målt i radianer)? Matematisk kan vi skrive at og er supplementvinkler dersom
Hvilken sammenheng kan vi finne mellom sinusverdiene til vinklene og ? Bruk figuren til hjelp.
Resultat
Vi observerer at de to skjæringspunktene (blått og rødt på figuren) mellom vinkelbeina til og og enhetssirkelen speiler hverandre om -aksen. Det betyr at de to punktene har samme -koordinat og motsatt -koordinat.
Siden -koordinatene tilsvarer sinus til vinkelen, får vi at
Alternativt kan vi skrive dette som
Skriv den siste formelen i løsningen over når vi måler vinklene i radianer.
Resultat
Skriv formelen med ord. Bruk ordet "supplementvinkler".
Resultat
Supplementvinkler har samme sinusverdi.
Finn tilsvarende formler for cosinusverdiene til og .
Resultat
Siden skjæringspunktene med enhetssirkelen har motsatt -koordinat, vil vinklene og ha motsatt cosinusverdi. Matematisk skriver vi dette som
eller
eller
I en av oppgavene skal du utforske og se om formlene gjelder dersom vinkelen blir større enn 180°.
Komplementvinkler
Komplementvinklene u og v i en rettvinklet trekant.
Studer den rettvinklede trekanten. Hva er sammenhengen mellom vinklene og ? Skriv sammenhengen både når vinklene måles i grader og i radianer.
Resultat
eller
Når denne sammenhengen gjelder, sier vi at og er komplementvinkler. De to spisse vinklene i en rettvinklet trekant vil alltid være komplementvinkler.
Bruk definisjonen av de tre trigonometriske funksjonene i en trekant og finn uttrykk for sinus, cosinus og tangens til de to vinklene og ved hjelp av og . Finn deretter og uttrykt ved vinkel .
Resultat
Vi får at
Skriv om de tre siste formlene i løsningen over ved å bruke at , og at . Skriv også de tre formlene med ord.
Resultat
Den første formelen blir
Med ord: Cosinus til en vinkel er lik sinus til komplementvinkelen.
Tilsvarende får vi at
Med ord: Sinus til en vinkel er lik cosinus til komplementvinkelen.
Med ord: Tangens til en vinkel er lik 1 delt på tangens til komplementvinkelen.
Merk: Her har vi bare vist at setningene gjelder for vinkler mellom 0° og 90°, men det er mulig å vise at setningen gjelder for alle vinkler .
Vis at .
Bevis
Andre sammenhenger
Vi kan bruke enhetssirkelen til å finne flere sammenhenger tilsvarende de som gjelder for komplement- og supplementvinkler.
Bruk figuren nedenfor til å finne formler for sinus, cosinus og tangens til vinklene og uttrykt ved eller .
Resultat for v + 180°
I den venstre enhetssirkelen over har vi at vinkelen som er markert og ligger i tredje kvadrant, er 180 grader større enn vinkel . Fra figuren får vi at disse to vinklene har sinus- og cosinusverdier med motsatt fortegn av hverandre. Det betyr at
Vi får videre at
Resultat for –v
I den høyre enhetssirkelen over er vinklene og markert. Figuren gir at vinklene har samme cosinusverdi, mens sinusverdiene har motsatt fortegn. Det betyr at
Oversikt over noen grunnleggende trigonometriske formler
Nedenfor kan du lage en oversikt over grunnleggende trigonometriske formler. Noen av dem er ikke presentert på denne siden.
Fasit til oppgaven over
Grunnleggende trigonometriske formler:
,
,
, ,
, ,
, ,
Sammenhenger mellom omvendte trigonometriske funksjoner
I oppgavene kommer vi nærmere inn på noen sammenhenger mellom de omvendte trigonometriske funksjonene. Nedenfor har vi skrevet opp noen av dem.
