Enhetsformelen, supplement- og komplementvinkler
Enhetsformelen
Vi skal fram til kanskje den mest grunnleggende sammenhengen mellom sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen.
Hvordan kan vi uttrykke og
Forklaring
Definisjonene av cosinus- og sinusfunksjonen ut ifra figuren gir
Lengdene
Tips
Bruk pytagorassetningen.
Resultat
Pytagorassetningen gir
Dette kalles enhetsformelen. Ifølge formelen er summen av kvadratene til sinus og cosinus til den samme vinkelen
Matematikere har blitt enige om å skrive
Enhetsformelen:
Får vi problemer med denne formelen hvis vinkelen
Forklaring
I andre, tredje eller fjerde kvadrant vil minst én av de trigonometriske verdiene
Supplementvinkler
Du vet kanskje fra før at supplementvinkler er to vinkler der summen blir 180° (eller π målt i radianer)? Matematisk kan vi skrive at
Hvilken sammenheng kan vi finne mellom sinusverdiene til vinklene
Resultat
Vi observerer at de to skjæringspunktene (blått og rødt på figuren) mellom vinkelbeina til
Siden
Alternativt kan vi skrive dette som
Skriv den siste formelen i løsningen over når vi måler vinklene i radianer.
Resultat
Skriv formelen med ord. Bruk ordet "supplementvinkler".
Resultat
Supplementvinkler har samme sinusverdi.
Finn tilsvarende formler for cosinusverdiene til
Resultat
Siden skjæringspunktene med enhetssirkelen har motsatt
eller
eller
I en av oppgavene skal du utforske og se om formlene gjelder dersom vinkelen
Komplementvinkler
Studer den rettvinklede trekanten. Hva er sammenhengen mellom vinklene
Resultat
eller
Når denne sammenhengen gjelder, sier vi at
Bruk definisjonen av de tre trigonometriske funksjonene i en trekant og finn uttrykk for sinus, cosinus og tangens til de to vinklene
Resultat
Vi får at
Skriv om de tre siste formlene i løsningen over ved å bruke at
Resultat
Den første formelen blir
Med ord: Cosinus til en vinkel er lik sinus til komplementvinkelen.
Tilsvarende får vi at
Med ord: Sinus til en vinkel er lik cosinus til komplementvinkelen.
Med ord: Tangens til en vinkel er lik 1 delt på tangens til komplementvinkelen.
Merk: Her har vi bare vist at setningene gjelder for vinkler mellom 0° og 90°, men det er mulig å vise at setningen gjelder for alle vinkler
Vis at
Bevis
Andre sammenhenger
Vi kan bruke enhetssirkelen til å finne flere sammenhenger tilsvarende de som gjelder for komplement- og supplementvinkler.
Bruk figuren nedenfor til å finne formler for sinus, cosinus og tangens til vinklene
Resultat for v + 180°
I den venstre enhetssirkelen over har vi at vinkelen som er markert og ligger i tredje kvadrant, er 180 grader større enn vinkel
Vi får videre at
Resultat for –v
I den høyre enhetssirkelen over er vinklene
Oversikt over noen grunnleggende trigonometriske formler
Nedenfor kan du lage en oversikt over grunnleggende trigonometriske formler. Noen av dem er ikke presentert på denne siden.
Fasit til oppgaven over
Grunnleggende trigonometriske formler:
Sammenhenger mellom omvendte trigonometriske funksjoner
I oppgavene kommer vi nærmere inn på noen sammenhenger mellom de omvendte trigonometriske funksjonene. Nedenfor har vi skrevet opp noen av dem.