Løsning av enkle trigonometriske likninger
Enkle sinuslikninger
Dersom du har vært gjennom oppgave 2.1.31 på siden "Eksakte trigonometriske verdier", har du allerede løst trigonometriske likninger. I oppgaven blir du bedt om å finne hvilken vinkel i første kvadrant som har sinusverdi lik .
Hvordan kan du sette opp denne oppgaven som en likning?
Svar
Hva blir løsningen av likningen?
Svar
Siden oppgaven spør etter en vinkel i første kvadrant og høyresiden er en av de eksakte trigonometriske verdiene, blir løsningen
Hvilke løsninger har likningen i første omløp? Bruk figuren til hjelp.
Svar
Første omløp betyr at
Dette kan vi også skrive på mengdeform som
Hva blir løsningen hvis
Svar
Likningen har da uendelig mange løsninger: to vinkler i hvert omløp, der vinklene sammenfaller med vinklene i første omløp. For eksempel vil vinkelen
Vi skriver løsningen ved hjelp av de to løsningene vi har i første omløp og det hele tallet
der
Vi ser at det er viktig å se på i hvilket område vi skal lete etter løsninger av trigonometriske likninger. Likningen
Løsning med CAS i GeoGebra
Prøv å løse likningen
Resultat
Her har vi brukt
Vi kan i GeoGebra angi det aktuelle løsningsområdet for
Hva skriver vi dersom vi kun vil ha løsninger i andre omløp?
Svar
Hva skriver vi dersom vi vil ha løsninger i første omløp i grader i stedet for radianer?
Svar
Vi må sette et gradsymbol etter
Husk at gradsymbolet betyr at
Hva med cosinus og tangens?
Hvordan tror du framgangsmåten blir dersom du skal løse likningen
Forklaring
Framgangsmåtene for å løse de to likningene er nokså like. Du kan se et eksempel på løsning av en cosinuslikning i videoen nederst på siden. På oppgavesiden om enkle trigonometriske likninger får du likningen
En tilsvarende oppgave med
Når vinkelen er 2 x
Vi skal løse likningen
Vi løser likningen ved å sette
Løsningen på denne har vi lenger opp på siden. Vi får
der
Merk at dette resultatet kan vi sette opp direkte uten å gå veien om
Hva mangler nå for at vi skal kunne skrive opp løsningen, og hva må vi gjøre?
Forklaring
Vi må gå fra
Vi ser på den første løsningen og deler på
Ikke glem å dele leddet
Løsningsmengden blir derfor
Vi får samme løsning med CAS i GeoGebra:
Vi antar nå at vi skal løse likningen med betingelsen
Forklaring
Ut ifra løsningen når
Den første løsningen gir
nårx = π 6 k = 0 nårx = π 6 + π = 7 π 6 k = 1
Den andre løsningen gir
nårx = π 3 k = 0 nårx = π 3 + π = 4 π 3 k = 1
Løsningsmengden blir
Når vinkelen er 2 x + π 3
Vi skal løse likningen
Siden argumentet til sinusfunksjonen er
Hva må vi gjøre her for å ende opp med bare
Forklaring
Før vi deler med 2, flytter vi over brøken
Vi får
der
og løsningsmengden blir
Dersom området for