Article

Løsning av sammensatte trigonometriske likninger

Hvordan løser vi likninger som inneholder flere ulike trigonometriske funksjoner?

Når vi skal løse sammensatte trigonometriske likninger, prøver vi å omforme dem til enkle trigonometriske likninger på formen

trigonometrisk funksjon = tall

Eksempel 1: bruk av enhetsformelen

Vi skal uten hjelpemidler løse likningen

$\cos^{2} x - 3 \sin^{2} x = - 2, x \in [0, 2 π ⟩$

Hva er (det største) problemet med denne likningen?

Forklaring

Det største problemet er at vi har både sinus og cosinus i samme likning.

Hvordan håndterer vi dette problemet?

Svar

Vi kan omforme $\cos^{2} x$ til $\sin^{2} x$ eller motsatt ved hjelp av enhetsformelen $(\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1)$ .

Vi starter med å omforme cosinusleddet ved å bruke enhetsformelen.

$\begin{array}{rcl} \cos^{2} x - 3 \sin^{2} x & = & - 2 \\ 1 - \sin^{2} x - 3 \sin^{2} x & = & - 2 \\ - 4 \sin^{2} x & = & - 3 \\ \sin^{2} x & = & \frac{3}{4} \end{array}$

Vi får en andregradslikning der $\sin x$ er variabelen. Videre får vi

$\begin{array}{rcl} \sin x & = & \pm \sqrt{\frac{3}{4}} \\ \sin x & = & \frac{1}{2} \sqrt{3} \lor \sin x = - \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{array}$

Hvorfor trenger vi ikke å sette på tillegget " $. . . + k \cdot 2 π$ " her?

Forklaring

Argumentet til sinusfunksjonen er kun $x$ , og da finner vi alle løsningene i første omløp direkte. Dersom argumentet til den trigonometriske funksjonen er noe mer enn bare en $x$ , eller hvis likningen blir gitt med et annet løsningsområde for $x$ enn første omløp, må vi ta med " $. . . + k \cdot 2 π$ " og prøve med ulike verdier for $k$ .

Vi skal lete etter løsninger i første omløp. Den første likningen gir supplementvinklene $\frac{π}{3}$ og $\frac{2 π}{3}$ . Løsningene til den andre finner vi ut ifra de vinklene som har motsatt sinusverdi: $\sin (π + v) = - \sin v$ . Dette gir vinklene $\frac{π}{3} + π = \frac{4 π}{3}$ og $\frac{2 π}{3} + π = \frac{5 π}{3}$ . Løsningen blir

$L = \{\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}\}$

Kontroller at du får samme svar med CAS.

Eksempel 2: omforme til tangenslikning

Vi skal uten hjelpemidler finne løsningene til likningen

$2 \cos 2 x + 2 \sin 2 x = 0$

når $x \in [0, 4 π ⟩$

Vi kan løse denne likningen ved å dele på $\cos 2 x$ i alle ledd.

$\begin{array}{rcl} 2 \cos 2 x + 2 \sin 2 x & = & 0 \\ \frac{2 \cos 2 x}{\cos 2 x} + \frac{2 \sin 2 x}{\cos 2 x} & = & \frac{0}{\cos 2 x}, \cos 2 x \neq 0 \\ 2 + 2 \tan 2 x & = & 0 \\ \tan 2 x & = & - 1 \end{array}$

Det er vinkler i andre og fjerde kvadrant som har negativ tangensverdi. I første omløp får vi vinklene $\frac{3 π}{4}$ og $\frac{7 π}{4}$ . Det betyr at løsningen kan skrives som

$2 x = \frac{3 π}{4} + k \cdot π \lor 2 x = \frac{7 π}{4} + k \cdot π$

der $k \in ℤ$ .

Hvorfor skriver vi " $. . . + k \cdot π$ " i løsningen og ikke " $. . . + k \cdot 2 π^{}$ "?

Forklaring

Siden tangensfunksjonen er periodisk med periode $π$ , det vil si at $\tan v = \tan (π + v)$ , må vi skrive " $. . . + k \cdot π$ " i løsningen. (Sinus- og cosinusfunksjonen har derimot periode $2 π$ .)

Forklar hvorfor vi kan slå sammen de to løsningene til én likning.

Forklaring

Forskjellen på de to løsningene $\frac{3 π}{4}$ og $\frac{7 π}{4}$ er $π$ . Den første likningen gir dermed de samme løsningene som den andre, men for en $k$ -verdi som er 1 mindre. Vi trenger derfor ikke ta med den andre løsningen.

Vi får

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & \frac{3 π}{4} + k \cdot π, k \in ℤ \\ x & = & \frac{3 π}{8} + k \cdot \frac{π}{2} \end{array}$

Foreløpig har vi skrevet løsningen som om $x$ kan ha alle mulige verdier ved hjelp av det hele tallet $k$ . Det er fordi vi kan ha mange løsninger innenfor løsningsområdet. Ved å prøve med ulike verdier for $k$ får vi totalt 8 løsninger innenfor de to første omløpene. Løsningsmengden blir

$L = \{\frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{11 π}{8}, \frac{15 π}{8}, \frac{19 π}{8}, \frac{23 π}{8}, \frac{27 π}{8}, \frac{31 π}{8}\}$

Metoden med å dele på $\cos 2 x$ i alle ledd førte fram. Hva må vi likevel sjekke før vi sier oss fornøyd med løsningen?

Forklaring

I løsningen over har vi anført at $\cos 2 x \neq 0$ . Det er fordi vi har dividert med $\cos 2 x$ , som da ikke kan være 0. Men vi må sjekke om $\cos 2 x = 0$ gir en løsning av likningen.

Vi kan løse likningen $\cos 2 x = 0$ på vanlig måte og sjekke ved å sette løsningene inn i den opprinnelige likningen. Men vi kan også komme fram til løsningen slik:

Hvis $\cos 2 x = 0$ , vet vi at enten er $\sin 2 x = 1$ , eller så er $\sin 2 x = - 1$ . Høyresiden av den opprinnelige likningen er 0, så dette er ikke mulig. $\cos 2 x = 0$ er derfor ikke en løsning av likningen, og løsningsmengden fra forrige boks er den endelige løsningen på likningen.

Kontroller at du får samme løsning med CAS.

Vil metoden med å dele på cosinusfunksjonen virke dersom høyresiden av likningen for eksempel er 1?

Svar

$\begin{array}{lcl} 2 \cos 2 x + 2 \sin 2 x & = & 1 \\ \frac{2 \cos 2 x}{\cos 2 x} + \frac{2 \sin 2 x}{\cos 2 x} & = & \frac{1}{\cos 2 x}, \cos 2 x \neq 0 \\ 2 + 2 \tan 2 x & = & \frac{1}{\cos 2 x} \end{array}$

Vi kommer ikke videre med løsningen. Det må være 0 på høyre side av likningen dersom denne teknikken skal virke. Løsningen av denne likningen går ut på å slå sammen sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen til én sinusfunksjon. En slik utforming tar vi for oss på teorisiden "Sammenslåing av trigonometriske funksjoner".

Film om løsning av likning med både sinus og cosinus

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0