Grafen til sinus- og cosinusfunksjonen. Periodiske funksjoner

Legg inn tallet 0 i celle A1. I celle A2 skriver du =A1+0.4 og kopierer denne nedover til du har fått 6,4.

I celle B1 skriver du =sin(A1) og kopierer den nedover i kolonne B. (Husk at GeoGebra krever parentes rundt argumentet til trigonometriske funksjoner.)

Marker alle tallene, høyreklikk og velg "Lag liste med punkt".

Vi får at punktene ligger i et bølgemønster. (I regnearkdelen på bildet har vi lagd overskrifter ved å skrive "x" og "f(x)=sin x" i cellene A1 og B1. Vi har også fjernet navnene på alle punktene i grafikkfeltet.)

Nedenfor kan du laste ned det ferdige GeoGebra-arket.

6,4 er litt mer enn 2π. Vi har altså brukt $$ x$$-verdier som dekker første omløp.

Det er grunn til å tro at siden sinusverdiene gjentar seg for hvert omløp, må også grafen til sinusfunksjonen gjenta seg.

Grafen til $$ f$$, som vi bare kaller sinusfunksjonen, passer med punktene, og mønsteret gjentar seg – som vi kunne forvente. Vi får et bølgemønster. En slik graf kaller vi også en sinuskurve. Vi sier også at sinusfunksjonen er periodisk fordi mønsteret i grafen gjentar seg.

Resultatet er at vi får skalainndeling på $$ x$$-aksen med brøken $$ \frac{\pi }{4}$$.

Vi kan for eksempel måle avstanden mellom to nabotoppunkter på grafen for å finne perioden.

Perioden er

$$ \frac{5\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=\frac{4\pi }{2}=2\pi $$

Dette var kanskje ikke noen overraskelse?

Du kan også bruke nullpunktene til å finne perioden, men da kan du ikke måle avstanden mellom to nabonullpunkt. (Hvorfor kan du ikke det?)

Med en skalainndeling på $$ \frac{\pi }{4}$$ langs $$ x$$-aksen er det lettere å lese av koordinatene til toppunktene enn når skalaen er for eksempel 1. På bildet her kan vi lese av toppunktene $$ \left(\frac{\pi }{2},1\right)$$ og $$ \left(\frac{5\pi }{2},1\right)$$. Men siden funksjonen er periodisk, har den uendelig mange toppunkter. Avstanden mellom to nabotoppunkter er 2π. Derfor skriver vi $$ x$$-koordinatene til toppunktene til $$ f$$ ved hjelp av det hele tallet $$ k$$ slik:

$$ \frac{\pi }{2}+k·2\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Du husker kanskje at $$ \mathrm{\mathbb{Z}}$$ er mengden med alle hele tall?

$$ \mathrm{\mathbb{Z}}=\{... ,-2,-1,0,1,2,3, ...\}$$

Vi tester formelen over.

$$ \begin{array}{rcl}k & =& 0: \frac{\pi }{2}+0·2\pi =\frac{\pi }{2}\\ k & =& 1: \frac{\pi }{2}+1·2\pi =\frac{\pi }{2}+\frac{4\pi }{2}=\frac{5\pi }{2}\\ k & =& 2: \frac{\pi }{2}+2·2\pi =\frac{\pi }{2}+\frac{8\pi }{2}=\frac{9\pi }{2}\end{array}$$

Formelen stemmer.

Toppunktene til $$ f$$ er

$$ \left($ \frac{\pi }{2}+k·2\pi , 1$\right)$$,  $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Nedenfor kan du laste ned det ferdige GeoGebra-arket.

Funksjonen vil også ha uendelig mange bunnpunkter og nullpunkter. Avstanden mellom to nabobunnpunkter er 2π som for toppunktene. Vi bruker bunnpunktet $$ \left(\frac{3\pi }{3},-1\right)$$ i første omløp som utgangspunkt, og vi får at bunnpunktene til $$ f$$ er

$$ \left(\frac{3\pi }{2}+k·2\pi ,-1\right), k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Avstanden mellom to nabonullpunkter er π. Siden ett av nullpunktene ligger i origo, kan vi skrive nullpunktene som

$$ k·\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Grafen til cosinusfunksjonen likner veldig på grafen til sinusfunksjonen ...

Grafen til $$ \cos x$$ har toppunkt for $$ x=0$$.
Grafen til $$ \sin x$$ har toppunkt for $$ x=\frac{\pi }{2}$$.

Det betyr at grafen til $$ \sin x$$ er forskjøvet $$ \frac{\pi }{2}$$ til høyre i forhold til grafen til $$ \cos x$$.

Vi kan ta utgangspunkt i at $$ \cos 0=\sin \frac{\pi }{2} (=1)$$. Vi ønsker at et uttrykk med cosinus skal gi $$ 1$$ som svar når $$ x=\frac{\pi }{2}$$. Da må argumentet til cosinusfunksjonen gå fra $$ \frac{\pi }{2}$$ til $$ 0$$, som betyr at det må trekkes fra $$ \frac{\pi }{2}$$ i argumentet. Det betyr at

$$ \sin x=\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$$

og

$$ a=-\frac{\pi }{2}$$