Grafen til sinus- og cosinusfunksjonen. Periodiske funksjoner
Utforsking av grafen til sinusfunksjonen
Bruk regnearkdelen i GeoGebra til å lage samhørende verdier for og
Tips
Legg inn tallet 0
i celle A1. I celle A2 skriver du =A1+0.4
og kopierer denne nedover til du har fått 6,4.
I celle B1 skriver du =sin(A1)
og kopierer den nedover i kolonne B. (Husk at GeoGebra krever parentes rundt argumentet til trigonometriske funksjoner.)
Marker alle tallene, høyreklikk og velg "Lag liste med punkt".
Resultat
Vi får at punktene ligger i et bølgemønster. (I regnearkdelen på bildet har vi lagd overskrifter ved å skrive "x"
og "f(x)=sin x"
i cellene A1 og B1. Vi har også fjernet navnene på alle punktene i grafikkfeltet.)
Nedenfor kan du laste ned det ferdige GeoGebra-arket.
Files
Hvorfor ble du bedt om å lage
Forklaring
6,4 er litt mer enn 2π. Vi har altså brukt
Hvordan tror du mønsteret vil se ut hvis du lager punkter tilsvarende andre omløp og videre utover? Skriv inn funksjonen
Resultat
Det er grunn til å tro at siden sinusverdiene gjentar seg for hvert omløp, må også grafen til sinusfunksjonen gjenta seg.
Grafen til
Skala med inndeling etter π i GeoGebra
Vi viser et lite triks med skalaen på
Bruk GeoGebra-arket du lagde over. Høyreklikk i grafikkfeltet, og velg "Grafikkfelt...".
Velg "xAkse".
Huk av for "Avstand", skriv
pi/4
i feltet til høyre og trykk enter.
Hva blir resultatet i grafikkfeltet? Bruk grafen til å finne maksimalpunktene til
Resultat
Resultatet er at vi får skalainndeling på
Periodiske funksjoner
En periodisk funksjon er en funksjon der grafen gjentar seg i et fast mønster i
Hva er perioden til sinusfunksjonen?
Forklaring
Vi kan for eksempel måle avstanden mellom to nabotoppunkter på grafen for å finne perioden.
Perioden er
Dette var kanskje ikke noen overraskelse?
Du kan også bruke nullpunktene til å finne perioden, men da kan du ikke måle avstanden mellom to nabonullpunkt. (Hvorfor kan du ikke det?)
I simuleringa nedenfor kan du dra i den svarte glidebryteren og observere sammenhengen mellom vinkelen
Files
I simuleringa over får vi, som vi fant lenger opp på siden, at etter en runde på enhetssirkelen vil funksjonsverdiene gjenta seg. Dette bekrefter at sinusfunksjonen
Vi bruker periodiske funksjoner til å beskrive periodiske fenomener, som for eksempel tidevann. Vi skal se nærmere på dette i kapittelet om modellering og funksjonsanalyse.
Den lille byen Mont-Saint-Michel i Normandie har en av Frankrikes største tidevannsforskjeller. Tidevannet beveger seg inn og ut med en hastighet på 1 m/s, og det stiger og synker inntil 14 m.
Mont-Saint-Michel var tidligere ei øy halvparten av tida og knyttet til fastlandet den andre halvparten, altså ei såkalt tidevannsøy.
Finn toppunktene til
Løsning
Med en skalainndeling på
Du husker kanskje at
Vi tester formelen over.
Formelen stemmer.
Toppunktene til
Nedenfor kan du laste ned det ferdige GeoGebra-arket.
Files
Finn bunnpunktene og nullpunktene til
Resultat
Funksjonen vil også ha uendelig mange bunnpunkter og nullpunkter. Avstanden mellom to nabobunnpunkter er 2π som for toppunktene. Vi bruker bunnpunktet
Avstanden mellom to nabonullpunkter er π. Siden ett av nullpunktene ligger i origo, kan vi skrive nullpunktene som
Cosinusfunksjonen
La funksjonen
Denne funksjonen kalles cosinusfunksjonen. Hvis du bruker det du nå har lært om sinusfunksjonen, og i tillegg bruker det du vet om
Grafen til cosinusfunksjonen
Grafen til cosinusfunksjonen likner veldig på grafen til sinusfunksjonen ...
Nedenfor har vi tegnet grafene til
Grafene er like, men forskjøvet i forhold til hverandre.
Hvor mye er grafen til
Svar
Grafen til
Grafen til
Det betyr at grafen til
Resultatet betyr at vi kan skrive
Svar
Vi kan ta utgangspunkt i at
og
Identiteten