Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning

Den generelle sinusfunksjonen kan skrives som

$$ f\left(x\right)=A\sin (kx+\phi )+d$$

I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor kan du endre på parametrene $$ A, k, \phi $$ og $$ d$$ ved å dra i gliderne.

Beskriv med ord hva som skjer når du endrer på hver av de fire parametrene.

Vi antar nå videre at både $$ A$$ og $$ k$$ er positive størrelser. Vi skal bruke den generelle sinusfunksjonen til å definere størrelsene periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning.

Den enkleste sinusfunksjonen,$\sin x$, har en periode $$ p=2\pi $$, som vi for eksempel kan måle på grafen til funksjonen som avstanden mellom to nabotoppunkter. Det er fordi at etter at vinkelen $x$ har løpt fra $$ \frac{\pi }{2}$$ til $$ \frac{5\pi }{2}$$, har $$ x$$ endret verdi med $$ 2\pi $$. $$ 2\pi $$ tilsvarer én runde på enhetssirkelen. Etter det begynner funksjonsverdiene å gjenta seg. Dette er også diskutert på teorisiden om grafen til sinus- og cosinusfunksjonen.

I fagene naturfag og fysikk, der vi ikke kobler sinusfunksjoner til enhetssirkelen på samme måte, kaller vi ofte perioden for bølgelengde fordi den beskriver avstanden mellom to bølgetopper. I det elektromagnetiske spekteret er de ulike typene stråling sortert etter bølgelengde.

På den tilhørende oppgavesiden om grafen til trigonometriske funksjoner finner vi at funksjonen $$ g\left(x\right)=\sin 2x$$ har halvparten så lang periode, nemlig $$ \pi $$. Vi resonnerer oss fram til at formelen for perioden til funksjonen $$ g\left(x\right)=\sin kx$$ må være

$$ p=\frac{2\pi }{k}$$

Bevis for formelen

Vi ser på den generelle sinusfunksjonen $$ f\left(x\right)=A\sin \left(kx+\phi \right)+d$$. Vi antar at vi ikke kjenner formelen for perioden fra før.

Finn $$ f\left(0\right)$$ og $$ f\left(p\right)$$. $$ f\left(p\right)$$ betyr at vi setter $$ x=p$$, perioden, til funksjonen. (Perioden er ukjent foreløpig.)

Når $$ x$$ går en periode fra 0 til $$ p$$, må vi kreve at argumentet til sinusfunksjonen har økt med $2\pi$, det vil si fra $$ \phi $$ til $$ \phi +2\pi $$. Det betyr at

$$ \begin{array}{rcl}\phi +2\pi & =& kp+\phi \\ kp & =& 2\pi \\ p & =& \frac{2\pi }{k}\end{array}$$

Kontroller at formelen gir riktig svar når vi vet fra før at funksjonen $$ g\left(x\right)=\sin 2x$$ har periode $$ p=\pi $$.

Legg merke til at perioden til den generelle sinusfunksjonen bare er avhengig av tallet $$ k$$. Et konstant tillegg $$ \phi $$ i argumentet til sinusfunksjonen påvirker ikke perioden.

I mange sammenhenger kalles tallet $$ k$$ for frekvensen til funksjonen. Dette kommer vi tilbake til i kapittelet om funksjonsanalyse og modellering.

En sinusfunksjon har periode $$ p=\frac{\pi }{3}$$. Hva blir tallet $$ k$$ i sinusfunksjonen da?

Fra tidligere har vi at toppunktene til $$ g\left(x\right)=\sin x$$ har $$ y$$-koordinat $$ 1$$ og bunnpunktene har $$ y$$-koordinat $$ -1$$. Det betyr at grafen til funksjonen er like mye over som under $$ x$$-aksen, se bildet øverst på siden. Vi sier at grafen til $\sin x$ svinger rundt $x$-aksen. For denne funksjonen er det derfor $$ x$$-aksen som er likevektslinje.

Vi definerer likevektslinje slik: Ei likevektslinje er ei vannrett linje som er plassert slik at grafen svinger like mye over og under denne linja. Likevektslinja ligger derfor midt mellom topp- og bunnpunktene.

Den generelle sinusfunksjonen $$ f\left(x\right)=A\sin \left(kx+\phi \right)+d$$ trenger ikke ha $$ x$$-aksen som likevektslinje. Nedenfor kan du dra i fire glidere i det interaktive GeoGebra-arket og endre de ulike størrelsene i den generelle sinusfunksjonen.

Hvilken av gliderne er det som gjør at likevektslinja flytter seg?

Hva blir formelen for likevektslinja?

Likevektslinja ligger midt mellom en maksimalverdi og en minimalverdi for den generelle sinusfunksjonen. Skriv opp et uttrykk for likevektslinja dersom vi kjenner maksimalverdien $$ f_{maks}$$ og minimalverdien $$ f_{min}$$ til sinusfunksjonen.

Likevektslinje og periode

Du kan finne perioden $$ p$$ til en sinusfunksjon ved å lese av langs likevektslinja. Da må du lese av avstanden mellom to påfølgende skjæringspunkter med voksende graf og likevektslinja eller to påfølgende skjæringspunkter med avtagende graf og likevektslinja, se bildet.

Hva er perioden til den ukjente sinusfunksjonen på bildet? Vis utregning både ut ifra skjæringspunkter mellom likevektslinja og voksende graf, og mellom likevektslinja og avtagende graf.

Hva blir avstanden mellom to naboskjæringspunkter mellom grafen og likevektslinja?

Avstanden fra likevektslinja til et topp- eller bunnpunkt på grafen kaller vi amplituden til funksjonen. Amplituden forteller hvor stort utslaget til sinusfunksjonen er fra likevektslinja, se bildet nedenfor.

Hva er amplituden $$ A$$ til funksjonen på bildet?

Bruk det interaktive GeoGebra-arket nedenfor til å finne hvilke av de fire gliderne som påvirker amplituden til sinusfunksjonen.

Hva er sammenhengen mellom amplituden og verdien til glideren $$ A$$?

Vi kan finne amplituden til en ukjent sinusfunksjon ut ifra grafen på flere måter.

Skriv opp en formel for amplituden ut ifra

• maksimalverdien $$ f_{maks}$$ til sinusfunksjonen og verdien $$ d$$ til likevektslinja $$ y=d$$

• $$ f_{min}$$ og $$ d$$

• $$ f_{min}$$ og $$ f_{maks}$$

Bevis den siste formelen i resultatboksen over ut ifra de to første.

Hvilken funksjon $$ g$$ har vi tegnet grafen til på bildet?

På teorisiden om grafen til sinusfunksjonen har vi at grafen til $$ \sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$$ er lik grafen til $$ \sin x$$, men forskjøvet en lengde $$ \frac{\pi }{2}$$ til venstre. Vi sier at grafen til $$ \sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$$ er faseforskjøvet i forhold til grafen til en tilsvarende sinusfunksjon uten et tillegg i argumentet.

Det er vanlig å regne faseforskyvning til høyre som positiv. I det interaktive GeoGebra-arket kan du dra i glideren for $$ \phi $$ og observere faseforskyvningen til den blå, heltrukne grafen i forhold til den grå, stiplede grafen der $\phi =0$.

Den grå, stiplede grafen er grafen til $f_0\left(x\right)=A\sin \left(kx+0\right)+d$. For denne grafen er $\phi =0$. Alle sinusfunksjoner der $\phi =0$, skjærer $y$-aksen der likevektslinja skjærer $y$-aksen, for $$ x=0$$. I dette punktet vil funksjonen alltid være voksende fordi leddet $A\sin \left(kx+0\right)=0$ når $x=0$, og når $x$-verdiene øker fra null, øker også sinusverdiene og dermed funksjonsverdiene. Vi får at $f_0\left(0\right)=d$. (Funksjonsverdien er også lik $$ d$$ når $$ kx=\pi $$, men da er funksjonen avtagende.)

Nullstill det interaktive GeoGebra-arket med knappen med det runde pilsymbolet øverst til høyre før du går videre. Hvor har vi tilsvarende skjæringspunkt med likevektslinja for den andre grafen på bildet, den blå grafen til $f\left(x\right)=A\sin \left(kx+\phi \right)+d$?

Grafen til funksjonen $$ f$$ er parallellforskjøvet en avstand $$ -\frac{\phi }{k}$$ langs $$ x$$-aksen i forhold til grafen til $f_0$.

Vi sier at $$ f\left(x\right)$$ har faseforskyvningen $$ x_f=-\frac{\phi }{k}$$. Faseforskyvningen er enten en negativ $$ x$$-verdi til venstre for $$ y$$-aksen hvor grafen til $$ f\left(x\right)$$ skjærer likevektslinja for voksende funksjonsverdier, eller en positiv $$ x$$-verdi til høyre for $$ y$$-aksen der grafen til $$ f\left(x\right)$$ skjærer likevektslinja for voksende funksjonsverdier.

Regn ut faseforskyvningen når $\phi =-\frac{\pi }{2}$ og $k=0,5$. Kontroller svaret ved hjelp av det interaktive GeoGebra-arket.

Sinusfunksjoner i fase med hverandre

To sinusfunksjoner med samme periode (samme $$ k$$ og derfor samme frekvens) og samme faseforskyvning (samme $$ 𝜑$$), sier vi er i fase siden de har toppunkter og bunnpunkter for de samme $$ x$$-verdiene. Dette er tilfellet med de to funksjonene $$ f$$ og $$ g$$ på bildet nedenfor.

Det kan være nyttig å kunne lage en skisse av grafen til en sinusfunksjon. Hvis vi skal lage en skisse av grafen til funksjonen $$ f\left(x\right)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)+1$$ uten hjelpemidler, vil vi ha god nytte av å finne de fire størrelsene periode, likevektslinje, amplitude og faseforskyvning først.

Finn disse størrelsene for funksjonen $$ f$$.

Tenk gjennom hvordan du vil bruke disse størrelsene når du skal lage skissen. Skriv en framgangsmåte for hvordan du lager skissen.

På bildet har vi fulgt framgangsmåten i forslaget over bortsett fra at vi ikke har gjort det som står i det siste punktet. Hva vet vi om grafen i punktene $$ F, P$$ og $$ Q$$?

Til slutt kan vi skissere selve grafen.