Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning
Utforsk den generelle sinusfunksjonen
Den generelle sinusfunksjonen kan skrives som
I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor kan du endre på parametrene
Beskriv med ord hva som skjer når du endrer på hver av de fire parametrene.
Files
Vi antar nå videre at både
Periode
Den enkleste sinusfunksjonen,
I fagene naturfag og fysikk, der vi ikke kobler sinusfunksjoner til enhetssirkelen på samme måte, kaller vi ofte perioden for bølgelengde fordi den beskriver avstanden mellom to bølgetopper. I det elektromagnetiske spekteret er de ulike typene stråling sortert etter bølgelengde.
På den tilhørende oppgavesiden om grafen til trigonometriske funksjoner finner vi at funksjonen
Bevis for formelen
Vi ser på den generelle sinusfunksjonen
Finn
Resultat
Når
Kontroller at formelen gir riktig svar når vi vet fra før at funksjonen
Resultat
I denne funksjonen har vi at
Legg merke til at perioden til den generelle sinusfunksjonen bare er avhengig av tallet
I mange sammenhenger kalles tallet
En sinusfunksjon har periode
Resultat
Vi får
Likevektslinje
Fra tidligere har vi at toppunktene til
Vi definerer likevektslinje slik: Ei likevektslinje er ei vannrett linje som er plassert slik at grafen svinger like mye over og under denne linja. Likevektslinja ligger derfor midt mellom topp- og bunnpunktene.
Den generelle sinusfunksjonen
Files
Hvilken av gliderne er det som gjør at likevektslinja flytter seg?
Svar
Det er glideren for
Hva blir formelen for likevektslinja?
Svar
Vi ser at likevektslinja har samme verdi som
Likevektslinja ligger midt mellom en maksimalverdi og en minimalverdi for den generelle sinusfunksjonen. Skriv opp et uttrykk for likevektslinja dersom vi kjenner maksimalverdien
Resultat
Likevektslinje og periode
Du kan finne perioden
Hva er perioden til den ukjente sinusfunksjonen på bildet? Vis utregning både ut ifra skjæringspunkter mellom likevektslinja og voksende graf, og mellom likevektslinja og avtagende graf.
Resultat
Perioden funnet med skjæringspunkter med voksende graf:
Perioden funnet med skjæringspunkter med avtakende graf:
Hva blir avstanden mellom to naboskjæringspunkter mellom grafen og likevektslinja?
Forklaring
Siden grafen svinger rundt likevektslinja, vil avstanden mellom to naboskjæringspunkter være en halv periode. For denne grafen blir avstanden
Vi sier at disse to punktene ikke er i samme svingetilstand siden stigningstallene til tangenten i punktene er forskjellige.
Amplitude
Avstanden fra likevektslinja til et topp- eller bunnpunkt på grafen kaller vi amplituden til funksjonen. Amplituden forteller hvor stort utslaget til sinusfunksjonen er fra likevektslinja, se bildet nedenfor.
Hva er amplituden
Svar
Amplituden til funksjonen på bildet er 1.
Bruk det interaktive GeoGebra-arket nedenfor til å finne hvilke av de fire gliderne som påvirker amplituden til sinusfunksjonen.
Files
Forklaring
Det er glideren for
Hva er sammenhengen mellom amplituden og verdien til glideren
Svar
Amplituden til sinusfunksjonen er lik verdien til glideren
Vi kan finne amplituden til en ukjent sinusfunksjon ut ifra grafen på flere måter.
Skriv opp en formel for amplituden ut ifra
maksimalverdien
til sinusfunksjonen og verdienf m a k s til likevektslinjad y = d ogf m i n d ogf m i n f m a k s
Resultat
Amplituden er differansen mellom maksimalverdien til funksjonen og verdien til likevektslinja. Vi får
Vi kan også regne ut amplituden ved hjelp av
Hvis vi måler avstanden mellom
Bevis den siste formelen i resultatboksen over ut ifra de to første.
Svar
I den siste formelen inngår ikke
Hvilken funksjon
Forklaring
Grafen har likevektslinje
Kontroller at dette stemmer ved å bruke det interaktive GeoGebra-arket ovenfor.
Faseforskyvning
På teorisiden om grafen til sinusfunksjonen har vi at grafen til
Det er vanlig å regne faseforskyvning til høyre som positiv. I det interaktive GeoGebra-arket kan du dra i glideren for
Files
Den grå, stiplede grafen er grafen til
Nullstill det interaktive GeoGebra-arket med knappen med det runde pilsymbolet øverst til høyre før du går videre. Hvor har vi tilsvarende skjæringspunkt med likevektslinja for den andre grafen på bildet, den blå grafen til
Forklaring
Vi må finne tilsvarende sted der den blå grafen er voksende. Vi kan se av grafen at dette er oppfylt for
Hvordan kan vi vite at dette er rett sted?
Det rette stedet har vi når argumentet til funksjonen er null, det vil si når
Hvis du har nullstilt GeoGebra-arket, har vi at
Merk at funksjonene
Grafen til funksjonen
Vi sier at
Regn ut faseforskyvningen når
Resultat
Faseforskyvningen blir
Faseforskyvningen er mot høyre siden den er positiv. Dette stemmer med det interaktive GeoGebra-arket når vi setter
Sinusfunksjoner i fase med hverandre
To sinusfunksjoner med samme periode (samme
Skissering av trigonometriske funksjoner
Det kan være nyttig å kunne lage en skisse av grafen til en sinusfunksjon. Hvis vi skal lage en skisse av grafen til funksjonen
Finn disse størrelsene for funksjonen
Løsning
Likevektslinje:
y = 1 Amplitude:
A = 2 Faseforskyvning:
x f = - φ k = - - π 2 1 = π 2 Periode:
p = 2 π k = 2 π 1 = 2 π
Tenk gjennom hvordan du vil bruke disse størrelsene når du skal lage skissen. Skriv en framgangsmåte for hvordan du lager skissen.
Forslag til framgangsmåte
Begynn med å tegne likevektslinja.
Tegn
-aksen slik at likevektslinja krysser midt på. Lengden og skalaen på aksen må være slik at det er litt mer enn amplituden både opp fra likevektslinja og ned fra likevektslinja.y Tegn
-aksen. Skalaen må være slik at det er plass til omtrent to perioder.x Marker faseforskyvningen med pil langs likevektslinja.
Marker punktet på likevektslinja som ligger 1 periode til høyre for faseforskyvningen.
Marker også punktet på likevektslinja som ligger
periode til høyre for faseforskyvningen.1 2 Vi kan tegne flere skjæringspunkter mellom grafen og likevektslinja ut ifra de tre vi har.
Grafen vil ha et toppunkt for
-verdien midt mellomx -verdiene tilx ogF og et bunnpunkt forQ -verdien mellomx -verdiene tilx ogQ . Punktene vil ligge i en avstand lik amplituden fra likevektslinja.P Vi kan tegne flere toppunkter ved å gå 1 periode til høyre eller venstre fra det første. Det samme gjelder bunnpunktene.
Nå kan selve grafen skisseres.
På bildet har vi fulgt framgangsmåten i forslaget over bortsett fra at vi ikke har gjort det som står i det siste punktet. Hva vet vi om grafen i punktene
Forklaring
Punktet
Punktet
Punktet
Til slutt kan vi skissere selve grafen.
Oppsummering
En funksjon
periode
p = 2 π k likevektslinje
y = d amplitude
A faseforskyvning
x f = - φ k
Når
Når
I noen sammenhenger bruker vi betegnelsen bølgelengde i stedet for periode.