Grafen til trigonometriske funksjoner
2.2.1
Vi har gitt funksjonen
a) Tegn grafen for
Tips til oppgaven
Siden definisjonsmengden til funksjonen er alle reelle tall, vil funksjonen ha uendelig mange topp-, bunn- og nullpunkter. Disse skriver vi ved hjelp av det hele tallet
Løsning
Vi ser at avstanden i
toppunktene til
erf k · 2 π , 1 bunnpunktene til
erf π + k · 2 π , - 1
når
Vi ser at det er samme avstand, π, mellom to nabonullpunkter. Vi har et nullpunkt for
nullpunktene til
erf π 2 + k · π
når
b) Hva er topp-, bunn- og nullpunktene til
Løsning
Vi ser av grafen at vi får
ett toppunkt
0 , 1 ett bunnpunkt
π , - 1 to nullpunkter for
ogx = π 2 x = 3 π 2
Merk at toppunktet
c) Hva er perioden til funksjonen
Løsning
Vi ser av grafen at mønsteret gjentar seg for eksempel for hvert toppunkt. Perioden blir derfor lik avstanden i
2.2.2
Vi har gitt funksjonen
a) Tegn grafen for
Løsning
Hvis vi sammenlikner grafen til
b) Finn topp-, bunn- og nullpunktene til funksjonen
Løsning
Vi ser at avstanden i
toppunktene til
erf π 4 + k · 2 π , 1 bunnpunktene til
erf 5 π 4 + k · 2 π , - 1
når
Vi ser at det er samme avstand, π, mellom to nabonullpunkter. Vi har et nullpunkt for
nullpunktene til
erf 3 π 4 + k · π
når
c) Hva er topp-, bunn- og nullpunktene til
Løsning
Vi ser av grafen at vi får
to toppunkter,
ogπ 4 , 1 9 π 4 , 1 to bunnpunkter,
og5 π 4 , - 1 13 π 4 , - 1 fire nullpunkter,
og3 π 4 , 7 π 4 , 11 π 4 15 π 4
d) Hva er perioden til funksjonen
Løsning
Vi ser av grafen at mønsteret gjentar seg for eksempel for hvert toppunkt. Perioden blir derfor lik avstanden i
Merk at dette er det samme som perioden til
2.2.3
Vi har gitt funksjonen
a) Tegn grafen for
Løsning
Forskjellen på grafen til
b) Finn topp-, bunn- og nullpunktene til funksjonen
Løsning
Vi ser at avstanden i
toppunktene til
erf π 4 + k · π , 1 bunnpunktene til
erf 3 π 4 + k · π , - 1
når
Vi ser at det er samme avstand,
nullpunktene til
erf k · π 2
når
c) Hva er topp-, bunn- og nullpunktene til
Løsning
Vi ser av grafen at vi får
to toppunkter,
ogπ 4 , 1 5 π 4 , 1 to bunnpunkter,
og3 π 4 , - 1 7 π 4 , - 1 fire nullpunkter,
og0 , π 2 , π 3 π 2
Merk at nullpunktet
d) Hva er perioden til funksjonen
Løsning
Siden avstanden mellom to nabotoppunkter er π, er perioden for funksjonen π. Dette så vi også i oppgave a).
2.2.4
Vi har gitt funksjonen
a) Tegn grafen til
Løsning
Merk at ruteavstanden i
toppunktene til
erf k · 2 π 3 , 1 bunnpunktene til
erf π 3 + k · 2 π 3 , - 1
når
Vi ser at det er samme avstand,
nullpunktene til
erf π 6 + k · π 3
når
b) Hva er topp-, bunn- og nullpunktene til
Løsning
Vi ser av grafen at vi får
tre toppunkter,
og0 , 1 , 2 π 3 , 1 4 π 3 , 1 tre bunnpunkter,
ogπ 3 , - 1 , π , - 1 5 π 3 , - 1 seks nullpunkter,
,π 6 , π 2 , 5 π 6 og7 π 6 , 3 π 2 11 π 6
c) Hva er perioden til funksjonen? Sammenlikn med perioden til funksjonen
Løsning
Siden avstanden mellom to nabotoppunkter er
d) Hva vet vi om perioden til funksjonen
Tips til oppgaven
Sett opp en oversikt over perioden til funksjonene du har sett på i disse oppgavene.
Løsning
Funksjon | ||||
---|---|---|---|---|
Periode |
Ut ifra det vi har sett i oppgavene over, ser det ut som om funksjonen
2.2.5
Vi har gitt funksjonen
a) Tegn grafen til
Løsning
Siden
b) Hva er topp-, bunn- og nullpunktene til
Løsning
Det ser ikke ut som om grafen har noen topp- eller bunnpunkter. Det har sammenheng med at funksjonen ikke kan eksistere der
Avstanden mellom to nabonullpunkter er π. Siden funksjonen har et nullpunkt for