Den deriverte til sinusfunksjonen
Utforsk stigningstallet til tangenten til grafen til sinusfunksjonen
Den deriverte
Husker du tre måter å beskrive den deriverte på?
Den deriverte
Den deriverte kan beskrives som
stigningstallet til tangenten til grafen til funksjonen
den momentane vekstfarten til funksjonen
Den deriverte til sin x grafisk
I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor har vi tegnet grafen til
Files
Bruk GeoGebra-arket til å finne verdier for den deriverte til
0 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Resultat
De verdiene vi leser av som stigningstallet til tangenten, er verdier for den deriverte til
0 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Vi skal nå prøve å tenke oss fram til hva den deriverte funksjonen til
Hvorfor må
Forklaring
Siden
Hvilken periodisk funksjon er det som passer til tallene i verditabellen?
Svar
Når vi sammenlikner verdiene fra tabellen med de tilsvarende verdiene for cosinus, ser vi at de er like. Det ser derfor ut som at
Den deriverte til sin x med CAS
Skriv inn funksjonen f'(x)
på neste linje. Hva får du?
Resultat
Derivasjon med CAS gir oss også at
Definisjonen av den deriverte brukt på sinusfunksjonen
Vi prøver å sette
For å komme videre trenger vi en trigonometrisk sammenheng for sinus til en sum av vinkler:
Denne og andre tilsvarende formler kan du lese mer om på teorisiden "Sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler".
Prøv å bruke formelen over på uttrykket
Resultat
Da får vi
Vi har delt opp uttrykket for å gjøre behandlingen videre enklere. I siste overgang har vi satt faktorene
For å komme videre må vi finne de to grenseverdiene i boksen over. Vi starter med den andre grenseverdien.
Den andre grenseverdien
Den andre grenseverdien kan skrives som
Vi skal komme fram til svaret ved å sammenlikne arealene av trekanten
Hvilken av de tre figurene har størst areal, og hvilken av dem har minst areal?
Forklaring
Ut ifra figuren har trekanten
De tre arealene kan bare være like hvis
Hva blir arealene til de tre figurene?
Svar
Arealet av sirkelsektoren er arealet av en sirkel med radius 1 multiplisert med den brøkdelen buelengden
I den siste overgangen har vi brukt definisjonen på en vinkel målt i radianer, som sier at vinkelen er buelengden delt på radien,
Bruker vi resultatet i boksen over, kan vi omforme den doble ulikheten til
Siden vi har antatt over at
Uttrykket i midten er nå den inverterte av brøkuttrykket som vi skal finne grenseverdien til. Vi inverterer derfor ulikheten. Det betyr at vi ser på hver side av ulikhetstegnene som brøker og snur dem. Hva får vi da?
Resultat
Vi må snu alle ulikhetstegnene ved inverteringen. Husk at 7 er større enn 6, men
Vi hadde opprinnelig en grenseverdi der
Forklaring
Vi lar nå
Siden uttrykket
Den første grenseverdien
Den første grenseverdien inneholder uttrykket
Gjør følgende:
Multipliser teller og nevner i uttrykket med
.cos v + 1 Bruk sammenhengen
, som vi viser på teorisiden "Enhetsformelen, supplement- og komplementvinkler", til å fjernecos 2 v + sin 2 v = 1 fra telleren. (NB:cos 2 v betyrcos 2 v .)cos v 2
Resultat
Vi får
Vi finner grenseverdien ved å skille ut faktoren
uten å se på innholdet i boksen nedenfor.
Bevis
Hva blir til slutt
Resultat
Dette stemmer med de undersøkelsene vi gjorde øverst på siden.
Vi har egentlig bare vist at dette gjelder for vinkler
Konklusjon
Vinkelen
I oppgavene blir du bedt om å vise at
og