Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning
Oppgave 1
a) Lag en skisse i et koordinatsystem av grafen til en faseforskjøvet sinusfunksjon. Grafen skal ha et bunnpunkt for , og likevektslinja skal ikke være
Løsning
Husk at faseforskyvningen går til det skjæringspunktet mellom grafen og likevektslinja der grafen er stigende.
Her er faseforskyvningen positiv (som betyr at tallet
b) Hva er periode, likevektslinje, amplitude og faseforskyvning til funksjonen som er tegnet i løsningsboksen over? Finn funksjonsuttrykket som gir denne grafen.
Løsning
Perioden kan vi lese av mellom
-verdienex ogπ 4 . Vi får5 π 4 .p = 5 π 4 - π 4 = π Likevektslinja er
.y = 1 Maksimalverdien til sinusfunksjonen er 3. Det betyr at amplituden
.A = 3 - 1 = 2 Faseforskyvningen er
.x f = π 4
c) Finn uten hjelpemidler funksjonsuttrykket som gir denne grafen.
Løsning
Den generelle sinusfunksjonen kan skrives som
Vi har fra oppgave b) at
amplituden er 2, som gir
A = 2 likevektslinja er
, som giry = 1 d = 1 perioden er
, som girπ
p = 2 π k = π ⇔ k = 2 faseforskyvningen er
, som girπ 4 x f = - φ k = π 4 φ = - π 4 · k = - π 4 · 2 = - π 2
Funksjonsuttrykket blir
Vi skriver den generelle sinusfunksjonen som
d) Forklar med ord hva størrelsene
Løsning
står for amplituden til funksjonen og forteller hvor langt grafen til funksjonen svinger ut fra likevektslinja.A er et tall som forteller noe om periodenk til sinusfunksjonen. Sammenhengen er atp . Perioden er avstanden ip = 2 π k -retning fra et punkt på grafen til neste punkt der grafen er i samme svingetilstand. I noen sammenhenger kaller vix for frekvens fordi den sier noe om antall svingninger per enhet ik -retning.x Tallet
forteller noe om hvor stor faseforskyvningen til sinusfunksjonen er. Faseforskyvningenφ er gitt ved talletx f . Det betyr at grafen er forskjøvet- φ k i- φ k -retning i forhold til grafen til en funksjon derx .φ = 0 Linja
er likevektslinja grafen til funksjonen svinger om.y = d
Oppgave 2
Finn uten hjelpemidler funksjonsuttrykket til funksjonene som det er tegnet graf til.
a)
Løsning
Vi leser først av maksimalverdien
Så regner vi ut amplituden
Vi leser av perioden
Dette gir
Vi finner det skjæringspunktet mellom likevektslinja og stigende graf som er nærmest
Dette gir
Dermed blir funksjonsuttrykket
Hjelpefigur:
b)
Løsning
Dermed blir funksjonsuttrykket
c)
Løsning
Dermed blir funksjonsuttrykket
d)
Løsning
Vi ser at grafen er i samme svingetilstand når
Dermed blir funksjonsuttrykket
e) I oppgave d) brukte vi skjæringspunktet mellom likevektslinja og grafen der
Vis at dersom vi i stedet velger skjæringspunktet der
Løsning
Løsningen blir som i oppgave d) til vi kommer til faseforskyvningen, der vi nå får
Dette gir
Funksjonsuttrykket blir
f) Forklar hvorfor funksjonen
Tips til oppgaven
Stikkordet er periode.
Løsning
Alt er likt i de to funksjonsuttrykkene bortsett fra
g) Kunne du ha valgt andre skjæringspunkter mellom likevektslinja og grafen når du skal finne faseforskyvningen enn de to i oppgave d) og e)? Forklar.
Løsning
De to skjæringspunktene har
Vi bruker i praksis ett av de to skjæringspunktene nærmest
Oppgave 3
Bestem størrelsene
I løsningsboksene har vi tegnet funksjonene med GeoGebra. Skissene dine bør likne på disse grafene.
Tips til oppgaven
Se forslag til framgangsmåte for skissen under overskrifta "Skissering av trigonometriske funksjoner" nederst i teoriartikkelen om periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning.
a)
Løsning
Direkte fra funksjonsuttrykket får vi
Det betyr videre at perioden er
og faseforskyvningen er
Likevektslinja er
Funksjonen har maksimalverdi
En passende skala på
Faseforskyvningen betyr at grafen er forskjøvet med
En passende skala på
Første punkt på grafen til høyre for
Vi får toppunkter med
Vi får bunnpunkter med
Nå kan vi tegne skissen av grafen.
b)
Løsning
Likevektslinje:
Maksimalverdi:
Minimalverdi:
Skala på
Skala på
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf:
Skjæringspunkt mellom likevektslinja og synkende graf :
Toppunkter: for
Bunnpunkter: for
Nå kan vi tegne skissen av grafen:
c)
Løsning
Likevektslinje:
Maksimalverdi:
Minimalverdi:
Skala på
Skala på
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf :
Skjæringspunkt mellom likevektslinja og synkende graf :
Toppunkter: for
Bunnpunkter: for
Nå kan vi tegne skissen av grafen:
d)
Løsning
Likevektslinje:
Maksimalverdi:
Minimalverdi:
Skala på
Skala på
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf:
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og synkende graf :
Toppunkter: for
Bunnpunkter: for
Nå kan vi tegne skissen av grafen:
e)
Løsning
Likevektslinja er
Maksimalverdi:
Minimalverdi:
Skala på
Skala på
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf:
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og synkende graf:
Toppunkter: for
Bunnpunkter: for
Nå kan vi tegne skissen av grafen:
f) Finn på en sinusfunksjon selv og lag en skisse av den på samme måte som over. Kontroller skissen ved å tegne funksjonen med GeoGebra.
g) Forklar hvordan du vil gå fram dersom funksjonen du skal skissere, er på formen
Forklar også hva tallet
Løsning
Vi skriver om funksjonsuttrykket.
Det betyr at
Sammenhengen mellom
h) Skriv om funksjonen
Løsning
Omskriving:
Likevektslinje:
Maksimalverdi:
Minimalverdi:
Skala på
Skala på
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf:
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og synkende graf:
Toppunkter: for
Bunnpunkter: for
Nå kan vi tegne skissen av grafen.
Du kan se grafen tegnet i oppgave 2.2.11 b).
Oppgave 4
Hvilke av funksjonene
Løsning
Grafene til
Nedlastbare filer
Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.