Subject

Subject Material

Interactive content

Video

Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning

Vi undersøker betydningen av parametrene i funksjonen f(x)=Asin(kx+𝜑)+d.

Utforsk den generelle sinusfunksjonen

Den generelle sinusfunksjonen kan skrives som

$f (x) = A \sin (k x + φ) + d$

I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor kan du endre på parametrene $A, k, φ$ og $d$ ved å dra i gliderne.

Beskriv med ord hva som skjer når du endrer på hver av de fire parametrene.

Du kan laste ned GeoGebra-simuleringa her(GGB)

Vi antar nå videre at både $A$ og $k$ er positive størrelser. Vi skal bruke den generelle sinusfunksjonen til å definere størrelsene periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning.

Periode

Grafen til funksjonen f av x er lik sinus til x er tegnet for x-verdier mellom minus pi fjerdedeler og 9 pi fjerdedeler. Avstanden mellom to nabotoppunkter er markert. Illustrasjon. — Perioden til sinusfunksjonen

Den enkleste sinusfunksjonen, $\sin x$ , har en periode $p = 2 π$ , som vi for eksempel kan måle på grafen til funksjonen som avstanden mellom to nabotoppunkter. Det er fordi at etter at vinkelen $x$ har løpt fra $\frac{π}{2}$ til $\frac{5 π}{2}$ , har $x$ endret verdi med $2 π$ . $2 π$ tilsvarer én runde på enhetssirkelen. Etter det begynner funksjonsverdiene å gjenta seg. Dette er også diskutert på teorisiden om grafen til sinus- og cosinusfunksjonen.

I fagene naturfag og fysikk, der vi ikke kobler sinusfunksjoner til enhetssirkelen på samme måte, kaller vi ofte perioden for bølgelengde fordi den beskriver avstanden mellom to bølgetopper. I det elektromagnetiske spekteret er de ulike typene stråling sortert etter bølgelengde.

På den tilhørende oppgavesiden om grafen til trigonometriske funksjoner finner vi at funksjonen $g (x) = \sin 2 x$ har halvparten så lang periode, nemlig $π$ . Vi resonnerer oss fram til at formelen for perioden til funksjonen $g (x) = \sin k x$ må være

$p = \frac{2 π}{k}$

Bevis for formelen

Vi ser på den generelle sinusfunksjonen $f (x) = A \sin (k x + φ) + d$ . Vi antar at vi ikke kjenner formelen for perioden fra før.

Finn $f (0)$ og $f (p)$ . $f (p)$ betyr at vi setter $x = p$ , perioden, til funksjonen. (Perioden er ukjent foreløpig.)

Resultat

$\begin{array}{rcl} f (0) & = & A \sin (k \cdot 0 + φ) + d = A \sin φ + d \\ f (p) & = & A \sin (k p + φ) + d \end{array}$

Når $x$ går en periode fra 0 til $p$ , må vi kreve at argumentet til sinusfunksjonen har økt med $2 π$ , det vil si fra $φ$ til $φ + 2 π$ . Det betyr at

$\begin{array}{rcl} φ + 2 π & = & k p + φ \\ k p & = & 2 π \\ p & = & \frac{2 π}{k} \end{array}$

Kontroller at formelen gir riktig svar når vi vet fra før at funksjonen $g (x) = \sin 2 x$ har periode $p = π$ .

Resultat

I denne funksjonen har vi at $k = 2$ .

$p = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{2} = π$

Legg merke til at perioden til den generelle sinusfunksjonen bare er avhengig av tallet $k$ . Et konstant tillegg $φ$ i argumentet til sinusfunksjonen påvirker ikke perioden.

I mange sammenhenger kalles tallet $k$ for frekvensen til funksjonen. Dette kommer vi tilbake til i kapittelet om funksjonsanalyse og modellering.

En sinusfunksjon har periode $p = \frac{π}{3}$ . Hva blir tallet $k$ i sinusfunksjonen da?

Resultat

Vi får

$\begin{array}{rcl} p & = & \frac{2 π}{k} \\ \frac{π}{3} & = & \frac{2 π}{k} \\ k & = & 2 \cdot 3 \\ = & 6 \end{array}$

Likevektslinje

Fra tidligere har vi at toppunktene til $g (x) = \sin x$ har $y$ -koordinat $1$ og bunnpunktene har $y$ -koordinat $- 1$ . Det betyr at grafen til funksjonen er like mye over som under $x$ -aksen, se bildet øverst på siden. Vi sier at grafen til $\sin x$ svinger rundt $x$ -aksen. For denne funksjonen er det derfor $x$ -aksen som er likevektslinje.

Vi definerer likevektslinje slik: Ei likevektslinje er ei vannrett linje som er plassert slik at grafen svinger like mye over og under denne linja. Likevektslinja ligger derfor midt mellom topp- og bunnpunktene.

Den generelle sinusfunksjonen $f (x) = A \sin (k x + φ) + d$ trenger ikke ha $x$ -aksen som likevektslinje. Nedenfor kan du dra i fire glidere i det interaktive GeoGebra-arket og endre de ulike størrelsene i den generelle sinusfunksjonen.

Du kan laste ned GeoGebra-simuleringa her(GGB)

Hvilken av gliderne er det som gjør at likevektslinja flytter seg?

Svar

Det er glideren for $d$ som gjør at likevektslinja flytter seg. Legg merke til at uansett hvilken verdi $d$ har, vil grafen svinge rundt likevektslinja.

Hva blir formelen for likevektslinja?

Svar

Vi ser at likevektslinja har samme verdi som $d$ . Det betyr at likevektslinja har formelen

$y = d$

Likevektslinja ligger midt mellom en maksimalverdi og en minimalverdi for den generelle sinusfunksjonen. Skriv opp et uttrykk for likevektslinja dersom vi kjenner maksimalverdien $f_{m a k s}$ og minimalverdien $f_{m i n}$ til sinusfunksjonen.

Resultat

$y$ -verdien til likevektslinja blir gjennomsnittet av maksimal- og minimalverdien.

$y = \frac{f_{m a k s} + f_{m i n}}{2}$

Likevektslinje og periode

Grafen til en ukjent sinusfunksjon er tegnet for x-verdier mellom minus pi fjerdedeler og 9 pi fjerdedeler. Likevektslinja er markert med rødt. To forskjellige måter å måle perioden til sinusfunksjonen på er markert. Den ene er ved hjelp av skjæringspunkter mellom likevektslinja og grafen der den deriverte er positiv, den andre måten er ved hjelp av tilsvarende skjæringspunkter der den deriverte er negativ. Illustrasjon. — Likevektslinje og periode

Du kan finne perioden $p$ til en sinusfunksjon ved å lese av langs likevektslinja. Da må du lese av avstanden mellom to påfølgende skjæringspunkter med voksende graf og likevektslinja eller to påfølgende skjæringspunkter med avtagende graf og likevektslinja, se bildet.

Hva er perioden til den ukjente sinusfunksjonen på bildet? Vis utregning både ut ifra skjæringspunkter mellom likevektslinja og voksende graf, og mellom likevektslinja og avtagende graf.

Resultat

Perioden funnet med skjæringspunkter med voksende graf:

$p = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{4} = π$

Perioden funnet med skjæringspunkter med avtakende graf:

$p = \frac{7 π}{4} - \frac{3 π}{4} = π$

Hva blir avstanden mellom to naboskjæringspunkter mellom grafen og likevektslinja?

Forklaring

Siden grafen svinger rundt likevektslinja, vil avstanden mellom to naboskjæringspunkter være en halv periode. For denne grafen blir avstanden $\frac{π}{2}$ .

Vi sier at disse to punktene ikke er i samme svingetilstand siden stigningstallene til tangenten i punktene er forskjellige.

Amplitude

Avstanden fra likevektslinja til et topp- eller bunnpunkt på grafen kaller vi amplituden til funksjonen. Amplituden forteller hvor stort utslaget til sinusfunksjonen er fra likevektslinja, se bildet nedenfor.

Grafen til en ukjent sinusfunksjon er tegnet for x-verdier mellom minus pi fjerdedeler og 9 pi fjerdedeler. Likevektslinja er markert med rødt. Amplituden er markert som stiplet linje fra et av toppunktene på grafen loddrett ned til likevektslinja. Illustrasjon. — Amplitude og likevektslinje til en sinusfunksjon

Hva er amplituden $A$ til funksjonen på bildet?

Svar

Amplituden til funksjonen på bildet er 1.

Bruk det interaktive GeoGebra-arket nedenfor til å finne hvilke av de fire gliderne som påvirker amplituden til sinusfunksjonen.

Du kan laste ned GeoGebra-simuleringa her(GGB)

Forklaring

Det er glideren for $A$ som bestemmer amplituden til funksjonen. Ingen av de andre gliderne påvirker amplituden.

Hva er sammenhengen mellom amplituden og verdien til glideren $A$ ?

Svar

Amplituden til sinusfunksjonen er lik verdien til glideren $A$ . Amplituden til den generelle sinusfunksjonen $f (x) = A \sin (k x + φ) + d$ er derfor tallet $A$ .

Vi kan finne amplituden til en ukjent sinusfunksjon ut ifra grafen på flere måter.

Skriv opp en formel for amplituden ut ifra

maksimalverdien $f_{m a k s}$ til sinusfunksjonen og verdien $d$ til likevektslinja $y = d$
$f_{m i n}$ og $d$
$f_{m i n}$ og $f_{m a k s}$

Resultat

Amplituden er differansen mellom maksimalverdien til funksjonen og verdien til likevektslinja. Vi får

$A = f_{m a k s} - d$

Vi kan også regne ut amplituden ved hjelp av $d$ og $f_{m i n}$ , minimalverdien til funksjonen $f$ .

$A = d - f_{m i n}$

Hvis vi måler avstanden mellom $f_{m a k s}$ og $f_{m i n}$ , får vi det dobbelte av amplituden. Det gir

$\begin{array}{rcl} 2 A & = & f_{m a k s} - f_{m i n} \\ A & = & \frac{1}{2} (f_{m a k s} - f_{m i n}) \end{array}$

Bevis den siste formelen i resultatboksen over ut ifra de to første.

Svar

I den siste formelen inngår ikke $d$ . Vi kan eliminere $d$ ut ifra de to første formlene.

$\begin{array}{rcl} A & = & f_{m a k s} - d \Leftrightarrow d = f_{m a k s} - A \\ A & = & d - f_{m i n} \\ = & f_{m a k s} - A - f_{m i n} \\ 2 A & = & f_{m a k s} - f_{m i n} \\ A & = & \frac{1}{2} (f_{m a k s} - f_{m i n}) \end{array}$

Grafen til en ukjent sinusfunksjon er tegnet for x-verdier mellom minus pi fjerdedeler og 9 pi fjerdedeler. Likevektslinja er markert med rødt. Amplituden er markert som stiplet linje fra et av toppunktene på grafen loddrett ned til likevektslinja. Illustrasjon.

Hvilken funksjon $g$ har vi tegnet grafen til på bildet?

Forklaring

Grafen har likevektslinje $y = 0, 5$ , så vi har at $d = 0, 5$ sammenliknet med den generelle sinusfunksjonen. Amplituden er 1. Hvis vi et øyeblikk later som om likevektslinja er $x$ -aksen, får vi grafen til $\sin x$ . Det betyr at grafen på bildet er grafen til funksjonen

$g (x) = \sin x + 0, 5$

Kontroller at dette stemmer ved å bruke det interaktive GeoGebra-arket ovenfor.

Faseforskyvning

På teorisiden om grafen til sinusfunksjonen har vi at grafen til $\sin (x + \frac{π}{2})$ er lik grafen til $\sin x$ , men forskjøvet en lengde $\frac{π}{2}$ til venstre. Vi sier at grafen til $\sin (x + \frac{π}{2})$ er faseforskjøvet i forhold til grafen til en tilsvarende sinusfunksjon uten et tillegg i argumentet.

Det er vanlig å regne faseforskyvning til høyre som positiv. I det interaktive GeoGebra-arket kan du dra i glideren for $φ$ og observere faseforskyvningen til den blå, heltrukne grafen i forhold til den grå, stiplede grafen der $φ = 0$ .

Du kan laste ned GeoGebra-simuleringa her(GGB)

Den grå, stiplede grafen er grafen til $f_{0} (x) = A \sin (k x + 0) + d$ . For denne grafen er $φ = 0$ . Alle sinusfunksjoner der $φ = 0$ , skjærer $y$ -aksen der likevektslinja skjærer $y$ -aksen, for $x = 0$ . I dette punktet vil funksjonen alltid være voksende fordi leddet $A \sin (k x + 0) = 0$ når $x = 0$ , og når $x$ -verdiene øker fra null, øker også sinusverdiene og dermed funksjonsverdiene. Vi får at $f_{0} (0) = d$ . (Funksjonsverdien er også lik $d$ når $k x = π$ , men da er funksjonen avtagende.)

Nullstill det interaktive GeoGebra-arket med knappen med det runde pilsymbolet øverst til høyre før du går videre. Hvor har vi tilsvarende skjæringspunkt med likevektslinja for den andre grafen på bildet, den blå grafen til $f (x) = A \sin (k x + φ) + d$ ?

Forklaring

Vi må finne tilsvarende sted der den blå grafen er voksende. Vi kan se av grafen at dette er oppfylt for $x = - \frac{π}{2}$ .

Hvordan kan vi vite at dette er rett sted?

Det rette stedet har vi når argumentet til funksjonen er null, det vil si når $k x + φ = 0$ . Det vil si når

$x = - \frac{φ}{k}$

Hvis du har nullstilt GeoGebra-arket, har vi at $k = 1$ og $φ = \frac{π}{2}$ . Dette gir

$x = - \frac{φ}{k} = - \frac{\frac{π}{2}}{1} = - \frac{π}{2}$

Merk at funksjonene $f$ og $f_{0}$ har ellers lik form, de har samme likevektslinje, amplitude og periode.

Grafen til funksjonen $f$ er parallellforskjøvet en avstand $- \frac{φ}{k}$ langs $x$ -aksen i forhold til grafen til $f_{0}$ .

Vi sier at $f (x)$ har faseforskyvningen $x_{f} = - \frac{φ}{k}$ . Faseforskyvningen er enten en negativ $x$ -verdi til venstre for $y$ -aksen hvor grafen til $f (x)$ skjærer likevektslinja for voksende funksjonsverdier, eller en positiv $x$ -verdi til høyre for $y$ -aksen der grafen til $f (x)$ skjærer likevektslinja for voksende funksjonsverdier.

Regn ut faseforskyvningen når $φ = - \frac{π}{2}$ og $k = 0, 5$ . Kontroller svaret ved hjelp av det interaktive GeoGebra-arket.

Resultat

Faseforskyvningen blir

$x_{f} = - \frac{φ}{k} = - \frac{- \frac{π}{2}}{\frac{1}{2}} = π$

Faseforskyvningen er mot høyre siden den er positiv. Dette stemmer med det interaktive GeoGebra-arket når vi setter $φ = - \frac{π}{2}$ og $k = 0, 5$ med gliderne.

Sinusfunksjoner i fase med hverandre

To sinusfunksjoner med samme periode (samme $k$ og derfor samme frekvens) og samme faseforskyvning (samme $𝜑$ ), sier vi er i fase siden de har toppunkter og bunnpunkter for de samme $x$ -verdiene. Dette er tilfellet med de to funksjonene $f$ og $g$ på bildet nedenfor.

Grafen til to ukjente sinusfunksjoner. Funksjonene har topp- og bunnpunkter for samme x-verdier. Illustrasjon. — Grafen til to sinusfunksjoner som er i fase

Skissering av trigonometriske funksjoner

Det kan være nyttig å kunne lage en skisse av grafen til en sinusfunksjon. Hvis vi skal lage en skisse av grafen til funksjonen $f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{2}) + 1$ uten hjelpemidler, vil vi ha god nytte av å finne de fire størrelsene periode, likevektslinje, amplitude og faseforskyvning først.

Finn disse størrelsene for funksjonen $f$ .

Løsning

Likevektslinje: $y = 1$
Amplitude: $A = 2$
Faseforskyvning: $x_{f} = - \frac{φ}{k} = - \frac{- \frac{π}{2}}{1} = \frac{π}{2}$
Periode: $p = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{1} = 2 π$

Tenk gjennom hvordan du vil bruke disse størrelsene når du skal lage skissen. Skriv en framgangsmåte for hvordan du lager skissen.

Forslag til framgangsmåte

Begynn med å tegne likevektslinja.
Tegn $y$ -aksen slik at likevektslinja krysser midt på. Lengden og skalaen på aksen må være slik at det er litt mer enn amplituden både opp fra likevektslinja og ned fra likevektslinja.
Tegn $x$ -aksen. Skalaen må være slik at det er plass til omtrent to perioder.
Marker faseforskyvningen med pil langs likevektslinja.
Marker punktet på likevektslinja som ligger 1 periode til høyre for faseforskyvningen.
Marker også punktet på likevektslinja som ligger $\frac{1}{2}$ periode til høyre for faseforskyvningen.
Vi kan tegne flere skjæringspunkter mellom grafen og likevektslinja ut ifra de tre vi har.
Grafen vil ha et toppunkt for $x$ -verdien midt mellom $x$ -verdiene til $F$ og $Q$ og et bunnpunkt for $x$ -verdien mellom $x$ -verdiene til $Q$ og $P$ . Punktene vil ligge i en avstand lik amplituden fra likevektslinja.
Vi kan tegne flere toppunkter ved å gå 1 periode til høyre eller venstre fra det første. Det samme gjelder bunnpunktene.
Nå kan selve grafen skisseres.

Den rette linja y er lik 1 er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus pi halve og 4 pi. Det er tegnet 4 punkter på linja. Ett har x-koordinat 0, punktet F har x-koordinat x f, punktet Q har x-koordinat 3 pi halve, og punktet P har x-koordinat 5 pi halve. Illustrasjon. — Forarbeid til selve skisseringa av sinusfunksjonen

På bildet har vi fulgt framgangsmåten i forslaget over bortsett fra at vi ikke har gjort det som står i det siste punktet. Hva vet vi om grafen i punktene $F, P$ og $Q$ ?

Forklaring

Punktet $F$ markerer faseforskyvningen og ligger derfor i en avstand $x_{f}$ fra $y$ -aksen. Da vet vi at grafen går gjennom punktet og er stigende.

Punktet $P$ ligger 1 periode til høyre for $F$ . Da vet vi at grafen går gjennom dette punktet og er stigende siden grafen må være i samme svingetilstand i $P$ som i $F$ .

Punktet $Q$ ligger en halv periode til høyre for $F$ . Da vet vi at grafen går gjennom dette punktet og er synkende.

Den rette linja y er lik 1 er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus pi halve og 4 pi. Det er tegnet 4 punkter på linja. Ett har x-koordinat 0, punktet F har x-koordinat x f, punktet Q har x-koordinat 3 pi halve, og punktet P har x-koordinat 5 pi halve. Grafen er skissert ut ifra dette. Illustrasjon.

Til slutt kan vi skissere selve grafen.

Oppsummering

En funksjon $f$ gitt ved $f (x) = A \sin (k x + φ) + d$ har

periode $p = \frac{2 π}{k}$
likevektslinje $y = d$
amplitude $A$
faseforskyvning $x_{f} = - \frac{φ}{k}$

Når $φ$ er negativ, er faseforskyvningen $x_{f}$ positiv, og grafen er forskjøvet mot høyre.

Når $φ$ er positiv, er faseforskyvningen $x_{f}$ negativ, og grafen er forskjøvet mot venstre.

I noen sammenhenger bruker vi betegnelsen bølgelengde i stedet for periode.

Film om periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0