Subject Material

Omvendte trigonometriske funksjoner

De trigonometriske funksjonene sinx, cosx og tanx kan ha omvendte funksjoner.

Du har brukt omvendte trigonometriske funksjoner i matematikk 1T når du for eksempel skulle gå fra en sinusverdi til en vinkel. Her skal vi ta dette et skritt videre.

Kort generell repetisjon av omvendte funksjoner

Du kan lese mer om omvendte funksjoner på sidene for dette under hovedemnet "Funksjonsanalyse og modellering" i matematikk R1.

Den omvendte funksjonen $f^{- 1}$ til en funksjon $f$ er slik at

$f^{- 1} (f (x)) = x$

Hva står det egentlig i denne likningen? Prøv å forklare med egne ord.

Svar

Det står at dersom vi setter inn en verdi for $x$ i $f$ og setter resultatet videre inn i $f^{- 1}$ , kommer vi tilbake til den verdien vi startet med. Vi kan si at $f^{- 1}$ opphever virkningen $f$ har på et tall.

For eksempel vil den omvendte funksjonen $f^{- 1}$ til funksjonen $f (x) = 2 x$ være $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2}$ fordi at for å oppheve effekten av å multiplisere med 2 må vi dividere med 2.

Én-entydighet

Ikke alle funksjoner har omvendte funksjoner. Forklar hvorfor funksjonen $f (x) = x^{2}, D_{f} = ℝ$ ikke har en omvendt funksjon.

Forklaring

Vi har for eksempel at $f (2) = 4$ . Skal vi gå motsatt veg, vet vi at det er to $x$ -verdier som svarer til at $f (x) = 4$ , nemlig $x = 2$ og $x = - 2$ .

En omvendt funksjon kan bare peke tilbake på én $x$ -verdi, ellers er den ikke en funksjon.

Hva kan vi gjøre med funksjonen $f$ i dette eksempelet for at den skal ha en omvendt funksjon?

Forklaring

Vi kan begrense definisjonsmengden $D_{f}$ . Hvis vi begrenser definisjonsmengden til for eksempel $D_{f} = [0, \to 〉$ , vil den omvendte funksjonen bare peke tilbake på én $x$ -verdi.

Hva blir den omvendte funksjonen $f^{- 1}$ til $f (x) = x^{2}, D_{f} = [0, \to 〉$ ?

Resultat

Den motsatte operasjonen av å opphøye i andre, er å ta kvadratrot. Siden definisjonsmengden til $f$ er de positive tallene og 0, får vi at den omvendte funksjonen $f^{- 1}$ er

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, D_{f^{- 1}} = [0, \to ⟩$

siden definisjonsmengden til $f^{- 1}$ er det samme som verdimengden til $f$ .

Vi kan også finne den omvendte funksjonen ved regning ved å sette $y = f (x)$ :

$\begin{array}{rcl} y & = & f (x) \\ = & x^{2} \\ \pm \sqrt{y} & = & x \\ x & = & \sqrt{y} \end{array}$

Vi trenger bare den positive løsningen siden $D_{f} = [0, \to 〉$ . Den omvendte funksjonen er en funksjon av $y$ over, men vi bytter til $x$ når vi skriver opp den omvendte funksjonen:

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, D_{f^{- 1}} = [0, \to ⟩$

I dette tilfellet sier vi at funksjonen $f$ er én-entydig siden det til hver $y$ -verdi tilsvarer bare én $x$ -verdi (i tillegg til at det til hver $x$ -verdi tilsvarer bare én $y$ -verdi, som det må være for at $f$ skal være en funksjon).

Den omvendte funksjonen til sinusfunksjonen

Enhetssirkel med supplementvinklene v og u. Sinus til v og sinus til u er markert på figuren. Sinus til v er y-koordinaten til skjæringspunktet mellom høyre vinkelbein til vinkel v og enhetssirkelen. Det er tilsvarende for sinus til vinkel u. Illustrasjon. — Enhetssirkel med supplementvinklene u og v

I oppgave 2.1.4 a) blir du bedt om finne to vinkler som er slik at $\sin v = \frac{1}{2}$ . Fra enhetssirkelen på figuren har vi at dette er oppfylt for vinklene $\frac{π}{6}$ og $\frac{5 π}{6}$ målt i radianer. Da bruker vi den omvendte funksjonen til sinusfunksjonen når vi går tilbake fra en sinusverdi til en vinkel. Sinusfunksjonen gjør det motsatte: tar oss fra en vinkel til en sinusverdi.

Den omvendte funksjonen $f^{- 1}$ kan ikke returnere to vinkler. Hva må vi gjøre med $f$ for at den skal ha en omvendt funksjon?

Forklaring

Vi må gjøre med sinusfunksjonen som vi måtte gjøre med eksempelet $f (x) = x^{2}$ over: Vi må begrense definisjonsmengden $D_{f}$ .

Grafen til funksjonen f av x er lik sinus til x, som er tegnet for x-verdier mellom minus 3 pi halve og 2 pi. Illustrasjon. — Grafen til sinusfunksjonen

Vi må begrense definisjonsområdet til $f (x) = \sin x$ slik at funksjonen blir én-entydig dersom den omvendte funksjonen skal eksistere. På figuren har vi tegnet grafen til $f$ . Forklar hvorfor vi ikke kan bruke første omløp som definisjonsmengde.

Forklaring

I første omløp vil det alltid være to $x$ -verdier til hver $y$ -verdi. Da er ikke funksjonen $f$ én-entydig.

Kan du foreslå en definisjonsmengde for $f$ som gjør at funksjonen blir én-entydig?

Forslag

For eksempel vil $D_{f} = [\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ gjøre funksjonen én-entydig, for da er grafen synkende i hele definisjonsområdet.

For å lette arbeidet med omvendte trigonometriske funksjoner er det bestemt internasjonalt at når $f (x) = \sin x$ , $D_{f} = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , skriver vi den omvendte funksjonen $f^{- 1} (x)$ som

$f^{- 1} (x) = \arcsin x$

målt i radianer. (En tilsvarende definisjon finnes dersom vinklene blir oppgitt i grader.)

Er grafen til $f$ én-entydig i dette området?

Svar

Ja, vi ser på figuren over at grafen til $f (x) = \sin x$ er stigende i hele området.

Hva blir verdimengden og definisjonsmengden til $f^{- 1}, V_{f^{- 1}}$ og $D_{f^{- 1}}$ ?

Resultat

Vi får at

$V_{f^{- 1}} = D_{f} = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

$D_{f^{- 1}} = V_{f} = [- 1, 1]$

fordi $f (- \frac{π}{2}) = - 1$ og $f (\frac{π}{2}) = 1$ .

Grafen til f av x er lik sinus til x og den omvendte funksjonen g av x er lik arcsin x som er tegnet i et koordinatsystem. f er tegnet for x-verdier mellom minus pi halve og pi halve, mens g er tegnet for x-verdier mellom minus 1 og 1. Illustrasjon. — Grafen til sinx og arcsinx

Den omvendte funksjonen $f^{- 1}$ kan skrives på to måter:

$f^{- 1} (x) = \arcsin x = \sin^{- 1} x$

På sidene våre vil vi bruke den første varianten.

På figuren har vi tegnet grafen til $f$ og $f^{- 1}$ i det samme koordinatsystemet. Merk at vi må avgrense grafen til $f$ ved hjelp av for eksempel kommandoen "Funksjon". Det trenger vi ikke gjøre med grafen til $f^{- 1}$

Ut fra den forhåndsbestemte verdimengden til $\arcsin x$ får vi at

$f^{- 1} (\frac{1}{2}) = \arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$

Hva blir $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ?

Resultat

Vi kan lese av på figuren litt lenger opp på siden at

$\arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}$

Nedenfor har vi funnet verdien grafisk med GeoGebra ved å tegne $f (x) = \sin x$ og linja $y = - \frac{1}{2}$ og bruke verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Grafen til f av x er lik sinus til x, som er tegnet for x-verdier mellom minus pi halve og pi halve. Skjæringspunktet mellom denne og linja y er lik minus 0,5 er markert og har koordinatene minus pi sjettedeler og minus 0,5. Illustrasjon. — Skjæringspunkt mellom sinusfunksjonen og linja y = –0,5

Oppsummering: den omvendte funksjonen til sinus-, cosinus- og tangensfunksjonen

Det eksisterer tilsvarende omvendte funksjoner for cosinusfunksjonen og for tangensfunksjonen. Nedenfor er en oversikt over dem.

Omvendte trigonometriske funksjoner
Funksjon: $f (x)$	Omvendt funksjon: $f^{- 1} (x)$	$D_{f} = V_{f^{- 1}}$	$D_{f^{- 1}} = V_{f}$
$\sin x$	$\sin^{- 1} x = \arcsin x$	$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$	$[- 1, 1]$
$\cos x$	$\cos^{- 1} x = \arccos x$	$[0, π]$	$[- 1, 1]$
$\tan x$	$\tan^{- 1} x = \arctan x$	$〈 - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} 〉$	$ℝ$

Du blir bedre kjent med de omvendte funksjonene til cosinus- og tangensfunksjonen i oppgavene.

Utregning med CAS i GeoGebra, to linjer. På linje 1 er det skrevet arcsin til en halv. Svaret er 1 sjettedels pi. På linje to er det skrevet sin opphøyd i minus 1 parentes minus en halv parentes slutt. Svaret er minus 1 sjettedels pi. Skjermutklipp. — Den omvendte funksjonen til sinus med CAS i GeoGebra

Omvendte trigonometriske funksjoner med GeoGebra

GeoGebra forstår begge skrivemåtene for de omvendte funksjonene. Bildet viser bruk av den omvendte funksjonen til sinus.

Den deriverte til $\arcsin x$

Vi setter nå $f^{- 1} (x) = g (x)$ for å slippe å ha både $- 1$ og deriverttegnet samtidig på samme sted. Fra matematikk R1 har vi resultatet

$g^{'} (f (x)) = \frac{1}{f^{'} (x)}$

Det betyr at vi kan regne ut verdier for den deriverte til en omvendt funksjon $g$ ut ifra den deriverte til den opprinnelige funksjonen $f$ .

Fra R1 har vi at en funksjon ikke er deriverbar i endepunktene i et intervall. $f^{'} (x) = \cos x$ vil derfor bare eksistere i det åpne intervallet $〈 - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} 〉$ . Tilsvarende vil den deriverte funksjonen $g^{'} (x)$ bare være definert i det åpne intervallet $〈 - 1, 1 〉$ .

Eksempel

Regn ut $g^{'} (\frac{1}{2})$ når $f (x) = \sin x$ .

Vi har ut ifra verdimengden til $g (x) = \arcsin x$ (og definisjonsmengden til $f$ ) at

$f (\frac{π}{6}) = \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$

Vi har også at

$f^{'} (x) = \cos x$

Da får vi at

$g^{'} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{f^{'} (\frac{π}{6})} = \frac{1}{\cos \frac{π}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{3}$

Kan vi finne et eksplisitt uttrykk for den deriverte til $\arcsin x$ ?

Svaret på det er ja. Nedenfor viser vi at

$g^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Det er vanskelig å bruke definisjonen til den deriverte for å finne $g^{'}$ . Vi går heller fram slik:

Vi har at

$\sin (\arcsin x) = x$

Vi setter $\arcsin x = v$ og deriverer (med hensyn på $x$ ) på begge sider og får med bruk av kjerneregelen at

$\begin{array}{rcl} {(\sin v)}^{'} & = & {(x)}^{'} \\ \cos v \cdot v^{'} & = & 1 \\ v^{'} & = & \frac{1}{\cos v} \end{array}$

Hva er $v^{'}$ det samme som?

Svar

$v^{'} = {(\arcsin x)}^{'} = g^{'} (x)$

$v^{'}$ er derfor den deriverte til den omvendte funksjonen $g (x) = \arcsin x$ som vi er på jakt etter.

Vi kommer videre ved å erstatte $\cos v$ med $\sin v$ siden $\sin v = \sin (\arcsin x) = x$ . Det får vi til ved hjelp av enhetsformelen $\cos^{2} v + \sin^{2} v = 1$ , som gir

$\begin{array}{rcl} \cos^{2} v & = & 1 - \sin^{2} v \\ \cos v & = & \sqrt{1 - \sin^{2} v} \end{array}$

Vi får til slutt

$\begin{array}{rcl} g^{'} (x) & = & v^{'} \\ = & \frac{1}{\cos v} \\ = & \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} v}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \end{array}$

Vi kan finne tilsvarende uttrykk for den deriverte av de andre omvendte trigonometriske funksjonene.

Et spørsmål til slutt: Hvorfor trenger vi ikke ta med (eller bry oss om) løsningen $\cos v = - \sqrt{1 - \sin^{2} v}$ , som vi også får ut ifra enhetsformelen?

Forklaring

Vi er bare interessert i vinkler i det åpne intervallet $〈 - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} 〉$ . I dette intervallet er cosinus alltid positiv, så vi trenger ikke ta med den negative løsningen.

Oppsummering: den deriverte til de omvendte trigonometriske funksjonene

Nedenfor er en oversikt over den deriverte til de omvendte trigonometriske funksjonene.

Funksjon: $f (x)$	Omvendt funksjon: $g (x)$	$g^{'} (x)$
$\sin x$	$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\cos x$	$\arccos x$	$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\tan x$	$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Du blir bedre kjent med den deriverte til de omvendte funksjonene til cosinus- og tangensfunksjonen i oppgavene.

Kort generell repetisjon av omvendte funksjoner

Én-entydighet

Den omvendte funksjonen til sinusfunksjonen

Oppsummering: den omvendte funksjonen til sinus-, cosinus- og tangensfunksjonen

Omvendte trigonometriske funksjoner med GeoGebra

Den deriverte til arcsinx

Eksempel

Kan vi finne et eksplisitt uttrykk for den deriverte til arcsinx?

Oppsummering: den deriverte til de omvendte trigonometriske funksjonene

Den deriverte til $\arcsin x$

Kan vi finne et eksplisitt uttrykk for den deriverte til $\arcsin x$ ?