Task

Grafen til trigonometriske funksjoner

Øv på å tegne trigonometriske funksjoner og finne periode, topp-, bunn- og nullpunkter. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Vi har gitt funksjonen

$f (x) = \cos x, D_{f} = ℝ$

a) Tegn grafen for $x \in [0, 4 π 〉$ , og finn topp-, bunn- og nullpunktene til funksjonen ved å lese av direkte på grafen.

Tips til oppgaven

Siden definisjonsmengden til funksjonen er alle reelle tall, vil funksjonen ha uendelig mange topp-, bunn- og nullpunkter. Disse skriver vi ved hjelp av det hele tallet $k \in ℤ$ . Se teorisiden "Grafen til sinus- og cosinusfunksjonen".

Løsning

Grafen til funksjonen f av x er lik cosinus til x er tegnet for x-verdier mellom minus 3 pi fjerdedeler og 13 pi fjerdedeler. Illustrasjon. — Grafen til cosinusfunksjonen

Vi ser at avstanden i $x$ -retning mellom to nabotoppunkter og mellom to nabobunnpunkter er 2π. Ett av toppunktene er $(0, 1)$ , og ett av bunnpunktene er $(π, - 1)$ . Det betyr at

toppunktene til $f$ er $(k \cdot 2 π, 1)$
bunnpunktene til $f$ er $(π + k \cdot 2 π, - 1)$

når $k \in ℤ$ .

Vi ser at det er samme avstand, π, mellom to nabonullpunkter. Vi har et nullpunkt for $x = \frac{π}{2}$ . Det betyr at

nullpunktene til $f$ er $\frac{π}{2} + k \cdot π$

når $k \in ℤ$ .

b) Hva er topp-, bunn- og nullpunktene til $f$ hvis $D_{f} = [0, 2 π ⟩$ ?

Løsning

Vi ser av grafen at vi får

ett toppunkt $(0, 1)$
ett bunnpunkt $(π, - 1)$
to nullpunkter for $x = \frac{π}{2}$ og $x = \frac{3 π}{2}$

Merk at toppunktet $(2 π, 1)$ er utenfor definisjonsmengden til $f$ her.

c) Hva er perioden til funksjonen $f$ ? Sammenlikn med perioden til funksjonen $g (x) = \sin x$ .

Løsning

Vi ser av grafen at mønsteret gjentar seg for eksempel for hvert toppunkt. Perioden blir derfor lik avstanden i $x$ -retning mellom to nabotoppunkt, som er 2π. Dette er det samme som perioden til $g (x) = \sin x$ .

Oppgave 2

Vi har gitt funksjonen

$f (x) = \sin (x + \frac{π}{4}), D_{f} = ℝ$

a) Tegn grafen for $x \in [0, 4 π ⟩$ . Tegn også grafen til $g (x) = \sin x$ i det samme koordinatsystemet. Hva er forskjellen på grafene?

Løsning

Grafen til funksjonen f av x er lik sinus til parentes x pluss pi fjerdedeler parentes slutt og grafen til funksjonen g av x er lik sinus til x er tegnet for x-verdier mellom minus pi fjerdedeler og 4 pi. Illustrasjon. — Grafene til sin(x + π/4) og sinx

Hvis vi sammenlikner grafen til $f$ med grafen til $g (x) = \sin x$ , ser vi at grafen til $f$ er forskjøvet $\frac{π}{4}$ til venstre i forhold til grafen til $g$ .

b) Finn topp-, bunn- og nullpunktene til funksjonen $f$ ved å lese av direkte på grafen.

Løsning

Vi ser at avstanden i $x$ -retning mellom to nabotoppunkter og mellom to nabobunnpunkter er 2π. Ett av toppunktene er $(\frac{π}{4}, 1)$ , og ett av bunnpunktene er $(\frac{5 π}{4}, - 1)$ . Det betyr at

toppunktene til $f$ er $(\frac{π}{4} + k \cdot 2 π, 1)$
bunnpunktene til $f$ er $(\frac{5 π}{4} + k \cdot 2 π, - 1)$

når $k \in ℤ$ .

Vi ser at det er samme avstand, π, mellom to nabonullpunkter. Vi har et nullpunkt for $x = \frac{3 π}{4}$ . Det betyr at

nullpunktene til $f$ er $\frac{3 π}{4} + k \cdot π$

når $k \in ℤ$ .

c) Hva er topp-, bunn- og nullpunktene til $f$ hvis $D_{f} = [0, 4 π ⟩$ ?

Løsning

Vi ser av grafen at vi får

to toppunkter, $(\frac{π}{4}, 1)$ og $(\frac{9 π}{4}, 1)$
to bunnpunkter, $(\frac{5 π}{4}, - 1)$ og $(\frac{13 π}{4}, - 1)$
fire nullpunkter, $\frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{11 π}{4}$ og $\frac{15 π}{4}$

d) Hva er perioden til funksjonen $f$ ? Sammenlikn med perioden til funksjonen $g$ .

Løsning

Vi ser av grafen at mønsteret gjentar seg for eksempel for hvert toppunkt. Perioden blir derfor lik avstanden i $x$ -retning mellom to nabotoppunkt, som er 2π.

Merk at dette er det samme som perioden til $g (x) = \sin x$ . Det ser altså ikke ut til at et tillegg til argumentet $x$ til sinusfunksjonen påvirker perioden.

Oppgave 3

Vi har gitt funksjonen

$f (x) = \sin 2 x, D_{f} = ℝ$

a) Tegn grafen for $x \in [0, 4 π ⟩$ . Tegn også grafen til $g (x) = \sin x$ i det samme koordinatsystemet. Hva er forskjellen på grafene?

Løsning

Grafen til funksjonen f av x er lik sinus til 2 x og grafen til funksjonen g av x er lik sinus til x er tegnet for x-verdier mellom minus pi fjerdedeler og 4 pi. Illustrasjon. — Grafene til sin2x og sinx

Forskjellen på grafen til $f$ og grafen til $g$ er at for hvert toppunkt grafen til $f$ har, har grafen til $g$ to. Det blir tilsvarende når det gjelder bunnpunkter og nullpunkter. Vi kan også si at grafen til $f$ går dobbelt så raskt opp og ned som grafen til $g$ .

b) Finn topp-, bunn- og nullpunktene til funksjonen $f$ ved å lese av direkte på grafen.

Løsning

Vi ser at avstanden i $x$ -retning mellom to nabotoppunkter og mellom to nabobunnpunkter er 2π. Ett av toppunktene er $(\frac{π}{4}, 1)$ , og ett av bunnpunktene er $(\frac{3 π}{4}, - 1)$ . Det betyr at

toppunktene til $f$ er $(\frac{π}{4} + k \cdot π, 1)$
bunnpunktene til $f$ er $(\frac{3 π}{4} + k \cdot π, - 1)$

når $k \in ℤ$ .

Vi ser at det er samme avstand, $\frac{π}{2}$ , mellom to nabonullpunkter. Vi har et nullpunkt for $x = 0$ . Det betyr at

nullpunktene til $f$ er $k \cdot \frac{π}{2}$

når $k \in ℤ$ .

c) Hva er topp-, bunn- og nullpunktene til $f$ hvis $D_{f} = [0, 2 π ⟩$ ?

Løsning

Vi ser av grafen at vi får

to toppunkter, $(\frac{π}{4}, 1)$ og $(\frac{5 π}{4}, 1)$
to bunnpunkter, $(\frac{3 π}{4}, - 1)$ og $(\frac{7 π}{4}, - 1)$
fire nullpunkter, $0, \frac{π}{2}, π$ og $\frac{3 π}{2}$

Merk at nullpunktet $2 π$ er utenfor definisjonsmengden til $f$ .

d) Hva er perioden til funksjonen $f$ ? Sammenlikn med perioden til funksjonen $g$ .

Løsning

Siden avstanden mellom to nabotoppunkter er π, er perioden for funksjonen π. Dette så vi også i oppgave a).

Oppgave 4

Vi har gitt funksjonen

$f (x) = \cos 3 x, D_{f} = ℝ$

a) Tegn grafen til $f$ , og finn topp-, bunn- og nullpunktene til funksjonen ved å lese av direkte på grafen.

Løsning

Grafen til funksjonen f av x er lik cosinus til 3 x er tegnet for x-verdier mellom minus pi tredjedeler og 7 pi tredjedeler. Illustrasjon. — Grafen til cos3x

Merk at ruteavstanden i $x$ -retning er $\frac{π}{6}$ på bildet over. Vi ser at avstanden i $x$ -retning mellom to nabotoppunkter og mellom to nabobunnpunkter er $\frac{2 π}{3}$ . Ett av toppunktene er $(0, 1)$ , og ett av bunnpunktene er $(\frac{π}{3}, - 1)$ . Det betyr at

toppunktene til $f$ er $(k \cdot \frac{2 π}{3}, 1)$
bunnpunktene til $f$ er $(\frac{π}{3} + k \cdot \frac{2 π}{3}, - 1)$

når $k \in ℤ$ .

Vi ser at det er samme avstand, $\frac{π}{3}$ , mellom to nabonullpunkter. Vi har et nullpunkt for $x = \frac{π}{6}$ . Det betyr at

nullpunktene til $f$ er $\frac{π}{6} + k \cdot \frac{π}{3}$

når $k \in ℤ$ .

b) Hva er topp-, bunn- og nullpunktene til $f$ hvis $D_{f} = [0, 2 π ⟩$ ?

Løsning

Vi ser av grafen at vi får

tre toppunkter, $(0, 1), (\frac{2 π}{3}, 1)$ og $(\frac{4 π}{3}, 1)$
tre bunnpunkter, $(\frac{π}{3}, - 1), (π, - 1)$ og $(\frac{5 π}{3}, - 1)$
seks nullpunkter, $\frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}$ , $\frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2}$ og $\frac{11 π}{6}$

c) Hva er perioden til funksjonen? Sammenlikn med perioden til funksjonen $g (x) = \cos x$ .

Løsning

Siden avstanden mellom to nabotoppunkter er $\frac{2 π}{3}$ , er perioden for funksjonen $\frac{2 π}{3}$ . Dette er en tredjedel av perioden til $g (x) = \cos x$ , som vi vet har periode lik 2π (se oppgave 2.2.1 c)). Vi kan også si at grafen til $f$ går tre ganger så raskt opp og ned som grafen til $g$ .

d) Hva vet vi om perioden til funksjonen $h (x) = \sin a x$ sammenliknet med perioden til $g (x) = \sin x$ ?

Tips til oppgaven

Sett opp en oversikt over perioden til funksjonene du har sett på i disse oppgavene.

Løsning

Funksjon	$\sin x$	$\sin 2 x$	$\cos 3 x$	$\sin a x$
Periode	$2 π = \frac{2 π}{1}$	$π = \frac{2 π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{2 π}{a}$

Ut ifra det vi har sett i oppgavene over, ser det ut som om funksjonen $h$ har perioden $\frac{2 π}{a}$ hvis vi følger mønsteret. Ut ifra hva vi har sett, kan vi anta at $\sin k x$ har samme periode som $\cos k x$ .

Oppgave 5

Vi har gitt funksjonen

$f (x) = \tan x, D_{f} = ℝ$

a) Tegn grafen til $f$ for $x \in [0, 4 π ⟩$ . Er $f$ en periodisk funksjon?

Løsning

Grafen til funksjonen f av x er lik tangens til x er tegnet for x-verdier mellom minus pi tredjedeler og 7 pi tredjedeler. Illustrasjon. — Grafen til tanx

Siden $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ og vi vet at sinus- og cosinusfunksjonene er periodiske, må også tangensfunksjonen være periodisk. Her ser det ut som om mønsteret til grafen i intervallet $[0, π ⟩$ gjentar seg. Perioden til funksjonen er altså π.

b) Hva er topp-, bunn- og nullpunktene til $f$ ?

Løsning

Det ser ikke ut som om grafen har noen topp- eller bunnpunkter. Det har sammenheng med at funksjonen ikke kan eksistere der $\cos x = 0$ . Når $\cos x$ nærmer seg 0, vokser $\tan x$ over alle grenser. Når du har lært å derivere tangensfunksjonen, kan du vise at den deriverte alltid er positiv.

Avstanden mellom to nabonullpunkter er π. Siden funksjonen har et nullpunkt for $x = 0$ , kan vi skrive nullpunktene som $k \cdot π, k \in ℤ$ .

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.