Subject Material

Interactive content

Grafen til sinus- og cosinusfunksjonen. Periodiske funksjoner

Vi kan lage funksjoner som for eksempel f(x)=sinx og tegne grafene til dem.

Utforsking av grafen til sinusfunksjonen

Bruk regnearkdelen i GeoGebra til å lage samhørende verdier for $x$ og $\sin x$ . La $x$ gå fra 0 til cirka 6,4 i trinn på 0,4. Tegn verdiene som punkter i grafikkfeltet i GeoGebra.

Tips

Legg inn tallet 0 i celle A1. I celle A2 skriver du =A1+0.4 og kopierer denne nedover til du har fått 6,4.

I celle B1 skriver du =sin(A1) og kopierer den nedover i kolonne B. (Husk at GeoGebra krever parentes rundt argumentet til trigonometriske funksjoner.)

Marker alle tallene, høyreklikk og velg "Lag liste med punkt".

Resultat

Til høyre vises regnearkdelen i GeoGebra med samhørende verdier av x og sinus til x. Til venstre er de samhørende verdiene plottet som punkter i grafikkfeltet i GeoGebra. Punktene ligger i et bølgemønster. Illustrasjon. — Utforsking av sinusfunksjonen med regnearkdelen i GeoGebra

Vi får at punktene ligger i et bølgemønster. (I regnearkdelen på bildet har vi lagd overskrifter ved å skrive "x" og "f(x)=sin x" i cellene A1 og B1. Vi har også fjernet navnene på alle punktene i grafikkfeltet.)

Nedenfor kan du laste ned det ferdige GeoGebra-arket.

Utforsking av sinusfunksjonen 1(GGB)

Hvorfor ble du bedt om å lage $x$ -verdier opp til akkurat 6,4?

Forklaring

6,4 er litt mer enn 2π. Vi har altså brukt $x$ -verdier som dekker første omløp.

Hvordan tror du mønsteret vil se ut hvis du lager punkter tilsvarende andre omløp og videre utover? Skriv inn funksjonen $f (x) = \sin x$ i algebrafeltet i det samme GeoGebra-arket og observer.

Resultat

Det er grunn til å tro at siden sinusverdiene gjentar seg for hvert omløp, må også grafen til sinusfunksjonen gjenta seg.

Grafen til f av x er lik sinus til x er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom 0 og 20. Grafen har et bølgemønster. Illustrasjon. — Grafen til f(x) = sin x pluss noen punkter på grafen

Grafen til $f$ , som vi bare kaller sinusfunksjonen, passer med punktene, og mønsteret gjentar seg – som vi kunne forvente. Vi får et bølgemønster. En slik graf kaller vi også en sinuskurve. Vi sier også at sinusfunksjonen er periodisk fordi mønsteret i grafen gjentar seg.

Skala med inndeling etter π i GeoGebra

Vi viser et lite triks med skalaen på $x$ -aksen:

Bruk GeoGebra-arket du lagde over. Høyreklikk i grafikkfeltet, og velg "Grafikkfelt...".
Velg "xAkse".
Huk av for "Avstand", skriv pi/4 i feltet til høyre og trykk enter.

Hva blir resultatet i grafikkfeltet? Bruk grafen til å finne maksimalpunktene til $f$ .

Resultat

Resultatet er at vi får skalainndeling på $x$ -aksen med brøken $\frac{π}{4}$ .

Grafen til f av x er lik sinus til x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 11 pi fjerdedeler. Illustrasjon. — Grafen til f(x) = sin x

Periodiske funksjoner

En periodisk funksjon er en funksjon der grafen gjentar seg i et fast mønster i $x$ -retning. Perioden vil være avstanden fra et punkt på grafen og neste tilsvarende punkt på grafen, for eksempel avstanden fra et toppunkt til neste toppunkt i en sinusfunksjon.

Hva er perioden til sinusfunksjonen?

Forklaring

Vi kan for eksempel måle avstanden mellom to nabotoppunkter på grafen for å finne perioden.

Grafen til funksjonen f av x er lik sinus til x er tegnet for x-verdier mellom minus pi fjerdedeler og 9 pi fjerdedeler. Avstanden mellom to nabotoppunkter er markert. Illustrasjon. — Perioden til sinusfunksjonen

Perioden er

$\frac{5 π}{2} - \frac{π}{2} = \frac{4 π}{2} = 2 π$

Dette var kanskje ikke noen overraskelse?

Du kan også bruke nullpunktene til å finne perioden, men da kan du ikke måle avstanden mellom to nabonullpunkt. (Hvorfor kan du ikke det?)

I simuleringa nedenfor kan du dra i den svarte glidebryteren og observere sammenhengen mellom vinkelen $x$ og $\sin x$ på to måter samtidig.

Du kan laste ned simuleringa her(GGB)

I simuleringa over får vi, som vi fant lenger opp på siden, at etter en runde på enhetssirkelen vil funksjonsverdiene gjenta seg. Dette bekrefter at sinusfunksjonen $f (x) = \sin x$ er periodisk, og at perioden er 2π.

Vi bruker periodiske funksjoner til å beskrive periodiske fenomener, som for eksempel tidevann. Vi skal se nærmere på dette i kapittelet om modellering og funksjonsanalyse.

En liten høyde med flere bygninger og langgrunn fjære rundt. Et slott troner på toppen av høyden. Foto.

Den lille byen Mont-Saint-Michel i Normandie har en av Frankrikes største tidevannsforskjeller. Tidevannet beveger seg inn og ut med en hastighet på 1 m/s, og det stiger og synker inntil 14 m.

Mont-Saint-Michel var tidligere ei øy halvparten av tida og knyttet til fastlandet den andre halvparten, altså ei såkalt tidevannsøy.

Finn toppunktene til $f$ .

Løsning

Med en skalainndeling på $\frac{π}{4}$ langs $x$ -aksen er det lettere å lese av koordinatene til toppunktene enn når skalaen er for eksempel 1. På bildet her kan vi lese av toppunktene $(\frac{π}{2}, 1)$ og $(\frac{5 π}{2}, 1)$ . Men siden funksjonen er periodisk, har den uendelig mange toppunkter. Avstanden mellom to nabotoppunkter er 2π. Derfor skriver vi $x$ -koordinatene til toppunktene til $f$ ved hjelp av det hele tallet $k$ slik:

$\frac{π}{2} + k \cdot 2 π, k \in ℤ$

Du husker kanskje at $ℤ$ er mengden med alle hele tall?

$ℤ = {. . ., - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, . . .}$

Vi tester formelen over.

$\begin{array}{rcl} k & = & 0 : \frac{π}{2} + 0 \cdot 2 π = \frac{π}{2} \\ k & = & 1 : \frac{π}{2} + 1 \cdot 2 π = \frac{π}{2} + \frac{4 π}{2} = \frac{5 π}{2} \\ k & = & 2 : \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 π = \frac{π}{2} + \frac{8 π}{2} = \frac{9 π}{2} \end{array}$

Formelen stemmer.

Toppunktene til $f$ er

$(\frac{π}{2} + k \cdot 2 π, 1)$ , $k \in ℤ$

Nedenfor kan du laste ned det ferdige GeoGebra-arket.

Utforsking av sinusfunksjonen 2(GGB)

Finn bunnpunktene og nullpunktene til $f$ på tilsvarende måte.

Resultat

Funksjonen vil også ha uendelig mange bunnpunkter og nullpunkter. Avstanden mellom to nabobunnpunkter er 2π som for toppunktene. Vi bruker bunnpunktet $(\frac{3 π}{3}, - 1)$ i første omløp som utgangspunkt, og vi får at bunnpunktene til $f$ er

$(\frac{3 π}{2} + k \cdot 2 π, - 1), k \in ℤ$

Avstanden mellom to nabonullpunkter er π. Siden ett av nullpunktene ligger i origo, kan vi skrive nullpunktene som

$k \cdot π, k \in ℤ$

Cosinusfunksjonen

La funksjonen $g$ være gitt ved

$g (x) = \cos x$ , $x \in [0, 2 π ⟩$

Denne funksjonen kalles cosinusfunksjonen. Hvis du bruker det du nå har lært om sinusfunksjonen, og i tillegg bruker det du vet om $\cos x$ , kan du kanskje forutsi hvordan grafen til $g$ ser ut?

Grafen til cosinusfunksjonen

Grafen til funksjonen g av x er lik cosinus til x er tegnet for x-verdier mellom minus pi fjerdedeler og 4 pi. Illustrasjon. — Grafen til g(x) = cosx

Grafen til cosinusfunksjonen likner veldig på grafen til sinusfunksjonen ...

Nedenfor har vi tegnet grafene til $f (x) = \sin x$ og $g (x) = \cos x$ i det samme koordinatsystemet.

Grafene til funksjonen f av x er lik sinus til x og funksjonen g av x er lik cosinus til x er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 3 pi fjerdedeler og 11 pi fjerdedeler. Grafen til f er lik grafen til g, men forskjøvet mot høyre med pi halve. Illustrasjon. — Grafene til sinus- og cosinusfunksjonen

Grafene er like, men forskjøvet i forhold til hverandre.

Hvor mye er grafen til $\sin x$ forskjøvet i forhold til grafen til $\cos x$ ?

Svar

Grafen til $\cos x$ har toppunkt for $x = 0$ .
Grafen til $\sin x$ har toppunkt for $x = \frac{π}{2}$ .

Det betyr at grafen til $\sin x$ er forskjøvet $\frac{π}{2}$ til høyre i forhold til grafen til $\cos x$ .

Resultatet betyr at vi kan skrive $\sin x = \cos (x + a)$ . Hva er $a$ her?

Svar

Vi kan ta utgangspunkt i at $\cos 0 = \sin \frac{π}{2} (= 1)$ . Vi ønsker at et uttrykk med cosinus skal gi $1$ som svar når $x = \frac{π}{2}$ . Da må argumentet til cosinusfunksjonen gå fra $\frac{π}{2}$ til $0$ , som betyr at det må trekkes fra $\frac{π}{2}$ i argumentet. Det betyr at

$\sin x = \cos (x - \frac{π}{2})$

$a = - \frac{π}{2}$

Identiteten $\sin x = \cos (x - \frac{π}{2})$ er bare én av mange identiteter med de trigonometriske funksjonene som kan settes opp. Det lærer du mer om på teorisiden "Enhetsformelen, supplement- og komplementvinkler".