Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning

Husk at faseforskyvningen går til det skjæringspunktet mellom grafen og likevektslinja der grafen er stigende.

Her er faseforskyvningen positiv (som betyr at tallet $\phi$ i den generelle sinusfunksjonen er negativt).

• Perioden kan vi lese av mellom $x$-verdiene $\frac{\pi }{4}$ og $\frac{5\pi }{4}$. Vi får $p=\frac{5\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\pi$.

• Likevektslinja er $y=1$.

• Maksimalverdien til sinusfunksjonen er 3. Det betyr at amplituden $A=3-1=2$.

• Faseforskyvningen er $x_f=\frac{\pi }{4}$.

Den generelle sinusfunksjonen kan skrives som

$f\left(x\right)=A\sin (kx+\phi )+d$

Vi har fra oppgave b) at

• amplituden er 2, som gir $A=2$

• likevektslinja er $y=1$, som gir $d=1$

• perioden er $\pi$, som gir
  $p=\frac{2\pi }{k}=\pi \iff k=2$

• faseforskyvningen er $\frac{\pi }{4}$, som gir$\begin{array}{rcl}{x}_f & =& -\frac{\phi }{k}=\frac{\pi }{4}\\ \phi & =& -\frac{\pi }{4}·k=-\frac{\pi }{4}·2=-\frac{\pi }{2}\end{array}$

Funksjonsuttrykket blir

$f\left(x\right)=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)+1$

• $A$ står for amplituden til funksjonen og forteller hvor langt grafen til funksjonen svinger ut fra likevektslinja.

• $k$ er et tall som forteller noe om perioden $p$ til sinusfunksjonen. Sammenhengen er at $p=\frac{2\pi }{k}$. Perioden er avstanden i $x$-retning fra et punkt på grafen til neste punkt der grafen er i samme svingetilstand. I noen sammenhenger kaller vi $k$ for frekvens fordi den sier noe om antall svingninger per enhet i $x$-retning.

• Tallet $\phi$ forteller noe om hvor stor faseforskyvningen til sinusfunksjonen er. Faseforskyvningen $x_f$ er gitt ved tallet $-\frac{\phi }{k}$. Det betyr at grafen er forskjøvet $-\frac{\phi }{k}$ i $x$-retning i forhold til grafen til en funksjon der $\phi =0$.

• Linja $y=d$ er likevektslinja grafen til funksjonen svinger om.

Vi leser først av maksimalverdien $f_{maks}$ og minimalverdien $f_{min}$ til funksjonen.

$f_{maks}=1, f_{min}=-3$

Så regner vi ut amplituden $A$ og tallet $d$, som er $y$-verdien til likevektslinja:

$A=\frac{f_{maks}-f_{min}}{2}=\frac{1-\left(-3\right)}{2}=2$

$d=f_{maks}-A=1-2=-1$

Vi leser av perioden $p$ som avstanden mellom to av toppunktene. Vi får

$p=\pi$

Dette gir

$p=\frac{2\pi }{k} \iff k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{\pi }=2$

Vi finner det skjæringspunktet mellom likevektslinja og stigende graf som er nærmest $y$-aksen. Det er punktet $\left(-\frac{\pi }{4},-1\right)$. Det betyr at faseforskyvningen $x_f$ er

$x_f=-\frac{\pi }{4}$

Dette gir

$x_f=-\frac{\phi }{k} \iff \phi =-k·x_f=-2·\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{2}$

Dermed blir funksjonsuttrykket

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& A\sin \left(kx+\phi \right)+d\\ & =& 2\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)-1\end{array}$

Hjelpefigur:

$f_{maks}=1,5, f_{min}=-0,5$

$A=\frac{f_{maks}-f_{min}}{2}=\frac{1,5-\left(-0,5\right)}{2}=1$

$d=f_{maks}-A=1,5-1=0,5$

$p=8,5\pi -2,5\pi =6\pi$

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{6\pi }=\frac{1}{3}$

$x_f=\pi$

$\phi =-k·x_f=-\pi ·\frac{1}{3}=-\frac{\pi }{3}$

Dermed blir funksjonsuttrykket

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& A\sin \left(kx+\phi \right)+d\\ & =& \sin \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)+0,5\end{array}$

$f_{maks}=0, f_{min}=-3$

$A=\frac{f_{maks}-f_{min}}{2}=\frac{0-\left(-3\right)}{2}=\frac{3}{2}$

$d=f_{maks}-A=0-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$

$p=\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}=4$

$x_f=\frac{\pi }{8}$

$\phi =-k·x_f=-4·\frac{\pi }{8}=-\frac{\pi }{2}$

Dermed blir funksjonsuttrykket

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& A\sin \left(kx+\phi \right)+d\\ & =& \frac{3}{2}\sin \left(4x-\frac{\pi }{2}\right)-\frac{3}{2}\end{array}$

$f_{maks}=1,2, f_{min}=0,8$

$A=\frac{f_{maks}-f_{min}}{2}=\frac{1,2-0,8}{2}=0,2=\frac{1}{5}$

$d=f_{maks}-A=1,2-0,2=1$

Vi ser at grafen er i samme svingetilstand når $x=6\pi$ som når $x=18\pi$. Perioden blir

$p=18\pi -6\pi =12\pi$

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{{\displaystyle 12\pi }}=\frac{1}{6}$

$x_f=\frac{-3\pi }{2}$

$\phi =-k·x_f=-\frac{1}{6}·\left(-\frac{3\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{4}$

Dermed blir funksjonsuttrykket

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& A\sin \left(kx+\phi \right)+d\\ & =& \frac{1}{5}\sin \left(\frac{x}{6}+\frac{\pi }{4}\right)+1\end{array}$

Løsningen blir som i oppgave d) til vi kommer til faseforskyvningen, der vi nå får

$x_f=\frac{21\pi }{2}$

Dette gir

$\phi =-k·x_f=-\frac{1}{6}·\left(\frac{21\pi }{2}\right)=-\frac{7\pi }{4}$

Funksjonsuttrykket blir

$g\left(x\right)=\frac{1}{5}\sin \left(\frac{x}{6}-\frac{7\pi }{4}\right)+1$

Stikkordet er periode.

Alt er likt i de to funksjonsuttrykkene bortsett fra $\phi$. Vi har at perioden til funksjonene er $12\pi$. Det betyr at dersom vi for eksempel trekker $12\pi$ fra $x$-verdiene i $f$, har ikke det noen betydning for utregningen av funksjonsverdiene. Vi får

$\begin{array}{rcl}f\left(x-12\pi \right) & =& \frac{1}{5}\sin \left(\frac{x-12\pi }{6}+\frac{\pi }{4}\right)-1\\ & =& \frac{1}{5}\sin \left(\frac{x}{6}-2\pi +\frac{\pi }{4}\right)-1\\ & =& \frac{1}{5}\sin \left(\frac{x}{6}-\frac{8\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\right)-1\\ & =& \frac{1}{5}\sin \left(\frac{x}{6}-\frac{7\pi }{4}\right)-1\\ & =& g\left(x\right)\end{array}$

De to skjæringspunktene har $x$-verdier som gjør at grafen er i samme svingetilstand. Det er derfor det ikke spilte noen rolle for funksjonen hvilket av disse punktene vi brukte. Av samme årsak kan vi egentlig bruke et hvilket som helst skjæringspunkt der grafen er i samme svingetilstand, det vil si at grafen er stigende, når vi skal bestemme funksjonsuttrykket.

Vi bruker i praksis ett av de to skjæringspunktene nærmest $y$-aksen, for det gir ikke mening å operere med en faseforskyvning som er større enn perioden til funksjonen.

Se forslag til framgangsmåte for skissen under overskrifta "Skissering av trigonometriske funksjoner" nederst i teoriartikkelen om periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning.

Direkte fra funksjonsuttrykket får vi

$A=2, k=1, \phi =\frac{\pi }{4}, d=-1$

Det betyr videre at perioden er

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{1}=2\pi$

og faseforskyvningen er

$x_f=-\frac{\phi }{k}=-\frac{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{1}=-\frac{\pi }{4}$

Likevektslinja er $y=-1$.

Funksjonen har maksimalverdi $-1+2=1$ og minimalverdi $-1-2=-3$.

En passende skala på $y$-aksen kan være 1.

Faseforskyvningen betyr at grafen er forskjøvet med $\frac{\pi }{4}$ til venstre, og vi tegner ei pil mellom punktene $\left(0,-1\right)$ og $\left(-\frac{\pi }{4},-1\right)$ for å markere faseforskyvningen.

En passende skala på $x$-aksen kan være $\frac{\pi }{4}$.

Første punkt på grafen til høyre for $\left(-\frac{\pi }{4},-1\right)$ som er i samme svingetilstand, ligger én periode bort, det vil si at $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi =-\frac{\pi }{4}+\frac{8\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$. Vi kan også markere punktet som ligger en halv periode bort, det vil si for $x=\frac{3\pi }{4}$, for der vil grafen krysse likevektslinja på vei nedover.

Vi får toppunkter med $y$-koordinat 1. Ett av toppunktene har $x$-koordinat midt mellom $-\frac{\pi }{4}$ og $\frac{3\pi }{4}$, det vil si $\frac{\pi }{4}$. Vi får et nytt toppunkt i en avstand 1 periode fra det første, det vil si for $x=\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{\pi }{4}+\frac{8\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$.

Vi får bunnpunkter med $y$-koordinat $-3$. Ett av bunnpunktene har $x$-koordinat midt mellom $\frac{3\pi }{4}$ og $\frac{7\pi }{4}$, det vil si $\frac{5\pi }{4}$. Vi får et nytt bunnpunkt for eksempel for $x=\frac{5\pi }{4}-2\pi =\frac{5\pi }{4}-\frac{8\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}$.

Nå kan vi tegne skissen av grafen.

$A=3, k=4, \phi =\frac{\pi }{3}, d=-2$

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$

$x_f=-\frac{\phi }{k}=-\frac{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}{4}=-\frac{\pi }{12}$

Likevektslinje: $y=-2$

Maksimalverdi: $1$

Minimalverdi: $-5$

Skala på $x$-aksen: $\frac{\pi }{12}$

Skala på $y$-aksen: 1 eller 2

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf: $\left(-\frac{\pi }{12},-2\right)$ og $\left(\frac{5\pi }{12},-2\right)$

Skjæringspunkt mellom likevektslinja og synkende graf :$\left(\frac{\pi }{6},-2\right)$

Toppunkter: for $x=\frac{\pi }{24}$ og $x=\frac{13\pi }{24}$

Bunnpunkter: for $x=\frac{7\pi }{24}$ og $x=-\frac{5\pi }{24}$

Nå kan vi tegne skissen av grafen:

$A=\frac{1}{2}, k=1, \phi =-\frac{\pi }{6}, d=0$

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{1}=2\pi$

$x_f=-\frac{\phi }{k}=-\frac{{\displaystyle -\frac{\pi }{6}}}{1}=\frac{\pi }{6}$

Likevektslinje: $y=0$ ($x$-aksen)

Maksimalverdi: $\frac{1}{2}$

Minimalverdi: $-\frac{1}{2}$

Skala på $x$-aksen: $\frac{\pi }{6}$

Skala på $y$-aksen: 0,1 eller 0,2

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf :$\left(\frac{\pi }{6},0\right)$ og $\left(\frac{13\pi }{6},0\right)$

Skjæringspunkt mellom likevektslinja og synkende graf :$\left(\frac{7\pi }{6},0\right)$

Toppunkter: for $x=\frac{2\pi }{3}$ og $x=\frac{8\pi }{3}$

Bunnpunkter: for $x=\frac{5\pi }{3}$ og $x=-\frac{\pi }{3}$

Nå kan vi tegne skissen av grafen:

$A=0,05, k=\frac{1}{8}, \phi =-\frac{3\pi }{4}, d=0,02$

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{{\displaystyle \frac{1}{8}}}=16\pi$

$x_f=-\frac{\phi }{k}=-\frac{{\displaystyle -\frac{3\pi }{4}}}{{\displaystyle \frac{1}{8}}}=-8·\left(-\frac{3\pi }{4}\right)=6\pi$

Likevektslinje: $y=0,02$

Maksimalverdi: $0,07$

Minimalverdi: $-0,03$

Skala på $x$-aksen: $2\pi$

Skala på $y$-aksen: 0,01 eller 0,02

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf: $\left(6\pi ,0.02\right)$ og $\left(22\pi ,0.02\right)$

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og synkende graf :$\left(14\pi ,0.02\right)$ og $\left(-2\pi ,0.02\right)$

Toppunkter: for $x=10\pi$ og $x=-6\pi$

Bunnpunkter: for $x=2\pi$ og $x=18\pi$

Nå kan vi tegne skissen av grafen:

$A=15, k=2\pi , \phi =\pi , d=-5$

$p=\frac{2\pi }{2\pi }=1$

$x_f=-\frac{\phi }{k}=-\frac{{\displaystyle \pi }}{2\pi }=-\frac{1}{2}$

Likevektslinja er $y=-5$

Maksimalverdi: $10$

Minimalverdi: $-20$

Skala på $x$-aksen: $\frac{1}{2}$

Skala på $y$-aksen: 5

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf: $\left(-\frac{1}{2},-5\right)$ og $\left(\frac{1}{2},-5\right)$

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og synkende graf: $\left(0,-5\right)$.

Toppunkter: for $x=-\frac{1}{4}$ og $x=\frac{3}{4}$

Bunnpunkter: for $x=\frac{1}{4}$ og $x=-\frac{3}{4}$

Nå kan vi tegne skissen av grafen:

Vi skriver om funksjonsuttrykket.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& A\sin \left(b\left(x+c\right)\right)+d\\ & =& A\sin \left(bx+bc\right)+d\end{array}$

Det betyr at $b$ er det samme som $k$ i de forrige oppgavene. Videre må $bc$ være det samme som $\phi$. Resten av framgangsmåten blir som før.

Sammenhengen mellom $\phi$ og $bc$ gir

$x_f=-\frac{\phi }{b}=-\frac{bc}{b}=-c$

$c$ er altså det samme som faseforskyvningen, men med motsatt fortegn. Måten funksjonsuttrykket til $f$ er skrevet på her, gjør at vi kan lese av faseforskyvningen direkte.

Omskriving:

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& \sin \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{2}\\ & =& \sin \left(\frac{1}{3}\left(x-\pi \right)\right)+\frac{1}{2}\end{array}$

$A=1, k=\frac{1}{3}, x_f=\pi , d=\frac{1}{2}$

$p=\frac{2\pi }{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=6\pi$

Likevektslinje: $y=\frac{1}{2}$

Maksimalverdi: $1,5$

Minimalverdi: $-0,5$

Skala på $x$-aksen: $\pi$

Skala på $y$-aksen: 0,25

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf: $\left(\pi ,\frac{1}{2}\right)$, $\left(7\pi ,\frac{1}{2}\right)$ og $\left(-5\pi ,\frac{1}{2}\right)$

Skjæringspunkter mellom likevektslinja og synkende graf: $\left(-2\pi ,\frac{1}{2}\right)$ og $\left(4\pi ,\frac{1}{2}\right)$.

Toppunkter: for $x=-\frac{7\pi }{2}$ og $x=\frac{3\pi }{2}$

Bunnpunkter: for $x=-\frac{\pi }{2}$ og $x=-\frac{11\pi }{2}$

Nå kan vi tegne skissen av grafen.

Du kan se grafen tegnet i oppgave 2.2.11 b).

Grafene til $f$ og $g$ har topp- og bunnpunkter for de samme $x$-verdiene, så $f$ og $g$ er i fase.