Omdreiningslegemer

$$ f\left(x\right)=2, x\in \left[0,4\right]$$

$$ g\left(x\right)=x, x\in \left[0,4\right]$$

$$ h\left(x\right)=x+1, x\in \left[0,4\right]$$

$$ i\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}, x\in \left[-2,2\right]$$

1. sylinder

2. kjegle

3. avkortet kjegle

4. kule

$$ f\left(x\right)=2, x\in \left[0,4\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}\begin{array}{ccccc}& & & & \end{array}{V}_f & =& \pi {\int }_0^4{f}^2 dx\\ & =& \pi {\int }_0^4{2}^2 dx\\ & =& \pi {\left[4x\right]}_0^4\\ & =& \pi \left(4·4-4·0\right)\\ & =& 16\pi \end{array}$$

$$ g\left(x\right)=x, x\in \left[0,4\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}\begin{array}{ccccc}& & & & \end{array}{V}_{g }& =& {\int }_0^4{g}^2 dx\\ & =& \pi {\int }_0^4{x}^2 dx\\ & =& \pi {\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^4\\ & =& \pi \left(\frac{1}{3}·4^3-\frac{1}{3}·0^3\right)\\ & =& \frac{64}{3}\pi \end{array}$$

$$ h\left(x\right)=x+1, x\in \left[0,4\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}\begin{array}{ccccc}& & & & \end{array}{V}_{h }& =& {\int }_0^4{h}^2 dx\\ & =& \pi {\int }_0^4{\left(x+1\right)}^2 dx\\ & =& \pi {\int }_0^4\left(x^2+2x+1\right) dx\\ & =& \pi {\left[\frac{1}{3}{x}^3+x^2+x\right]}_0^4\\ & =& \pi \left(\frac{1}{3}·4^3+4^2+4-0\right)\\ & =& \frac{124}{3}\pi \end{array}$$

$$ i\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}, x\in \left[-2,2\right]$$

$$ \begin{array}{rcl} V_i & =& \pi {\int }_{-2}^2{\left(\sqrt{4-x^2}\right)}^{2}dx\\ & =& \pi {\int }_{-2}^2\left(4-x^2\right) dx\\ & =& \pi {\left[4x-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_{-2}^2\\ & =& \pi (4·2-\frac{1}{3}·2^3-\left(4·\left(-2\right)-\frac{1}{3}·{\left(-2\right)}^3\right)\\ & =& \pi \left(8-\frac{8}{3}+8-\frac{8}{3}\right)\\ & =& \frac{32}{3}\pi \end{array}$$

Verdien for u avgrenser det området av den angitte grafen som vi skal bruke i omdreiningen. Hvis verdiene for u endres, vil området av grafen som er med i omdreiningen, endres.

Verdiene for t angir hvor stor omdreiningen skal være i radianer. En omdreining fra $$ 0$$ til $$ 2\mathrm{\pi }$$ vil tilsvare en omdreining på $$ 360$$ grader. Hvis verdiene for t endres, vil omdreiningen kunne bli mer eller mindre enn $$ 360$$ grader.

For eksempel vil en omdreining fra $$ \frac{\mathrm{\pi }}{2}$$ til $$ \mathrm{\pi }$$ være en omdreining på $$ 90$$ grader, og vi vil få et omdreiningslegeme som er en fjerdedel av hva vi hadde fått ved en $$ 360$$ graders omdreining.

Løsning uten hjelpemidler:

$$ f\left(x\right)=\sqrt{x}$$, $$ x\in \left[0,4\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}{V}_f & =& \mathrm{\pi }{\int }_0^4{\left(\sqrt{x}\right)}^{2}dx \\ & =& \mathrm{\pi } {\int }_0^{4}xdx\\ & =& \mathrm{\pi } {\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^4\\ & =& \mathrm{\pi } \left(\frac{1}{2}·4^2-\frac{1}{2}·0^2\right)\\ & =& 8\mathrm{\pi }\end{array}$$

Løsning i CAS:

Den omvendte funksjonen til $$ f\left(x\right)=\sqrt{x}$$ er $$ f^{-1}\left(x\right)=x^2$$. Siden grafen til denne andregradsfunksjonen er en parabel med loddrett symmetrilinje ($$ y$$-aksen), vil grafen til $$ f$$ være halvparten av en parabel med vannrett symmetrilinje ($$ x$$-aksen).

Denne typen romfigur kalles en rotasjonsparaboloide, det vil si den romfiguren vi får dersom vi roterer en parabel om si egen symmetrilinje. På grunn av symmetrien får vi den samme romfiguren om vi roterer en halvpart av parabelen om symmetrilinja.

Vi bruker Overflate(g,2pi,xAkse) for å tegne omdreiningslegemet med y-aksen som omdreiningsakse.

Vi ser at vi får det samme omdreiningslegemet som vi fikk i oppgave b), men det har en annen plassering i det tredimensjonale koordinatsystemet.

$$ g\left(x\right)=x^2, x\in \left[0,2\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& x^2\\ y & =& x^2\\ x & =& \sqrt{y}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{g}^{-1}\left(y\right) & =& \sqrt{y}, y\in \left[0,4\right]\end{array}$$

Siden funksjonen vi bruker som utgangspunkt, $$ g\left(x\right)$$, har definisjonsmengden $$ x\in \left[0,2\right]$$, har den verdimengden $$ y\in \left[0,4\right]$$. Dette betyr at den omvendte funksjonen har definisjonsmengden $$ y\in \left[0,4\right]$$ og skal ha verdimengden $$ x\in \left[0,2\right]$$.

Vi må derfor bruke den positive delen av den omvendte funksjonen, det vil si $$ \begin{array}{rcl}& & g^{-1}\left(y\right)\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \sqrt{y}\end{array}$$.

$$ \begin{array}{rcl}{V}_{g^{-1}} & =& \mathrm{\pi }{\int }_0^4{\left(g^{-1}\left(y\right)\right)}^{2}dy\\ & =& \mathrm{\pi }{\int }_0^4{\left(\sqrt{y}\right)}^{2}dy\\ & =& \mathrm{\pi }{\int }_0^{4}y dy\\ & =& \mathrm{\pi } {\left[\frac{1}{2}{y}^2\right]}_0^4\\ & =& \mathrm{\pi } \left(\frac{1}{2}·4^2-\frac{1}{2}·0^2\right)\\ & =& 8\mathrm{\pi }\end{array}$$

Vi ser at vi får det samme volumet som vi fikk i oppgave a).

$$ \begin{array}{rcl}\frac{x^2}{a^2}+\frac{{\displaystyle y^2}}{b^2} & =& 1\\ \frac{x^2}{3^2}+\frac{{\displaystyle y^2}}{2^2} & =& 1\end{array}$$

2D-grafikkfeltet i GeoGebra:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{x^2}{a^2}+\frac{{\displaystyle y^2}}{b^2} & =& 1\\ \frac{x^2}{3^2}+\frac{{\displaystyle y^2}}{2^2} & =& 1\\ \frac{{\displaystyle y^2}}{4} & =& 1-\frac{x^2}{9}\\ y^2 & =& 4\left(1-\frac{x^2}{9}\right)\\ & & \end{array}$$

Siden vi skal ha en funksjon for den øvre halvdelen av ellipsen, velger vi den positive løsningen for $$ y$$:

$$ \begin{array}{rcl}y & =& \sqrt{4\left(1-\frac{x^2}{9}\right)}\\ y & =& 2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\\ f\left(x\right) & =& 2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\end{array}$$

Hvis vi har definert funksjonen $$ f$$ i algebrafeltet i forbindelse med tegning av omdreiningslegemet, kan vi referere til funksjonen $$ f$$ uten definisjon i CAS. Hvis ikke dette er gjort, så må funksjonen $$ f$$ defineres først.

Volumet av ellipsoiden er $$ 16\mathrm{\pi }$$.

Hvis $$ a<b$$, får vi en ellipsoide som "står på høykant". Hvis $$ a=b$$, får vi en kule.

Volumet for omdreiningslegemet er $$ 16\mathrm{\pi }$$.

Denne oppgaven kan løses på flere måter. Du må uansett bruke de oppgitte verdiene som utgangspunkt.

En mulighet er å gjennomføre en regresjon for å få en sinusfunksjon. Dersom grafen ikke er god nok sammenlignet med vasens form, kan du bruke det du har lært om den generelle sinusfunksjonen til å tilpasse grafen.

$$ f\left(x\right)=A\sin (kx+\phi )+d$$

Trenger du hjelp til å finne en best mulig funksjon, kan du bruke simuleringen i fagartikkelen "Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning".

Vi velger å legge inn punktene (0, 3,25), (7, 6), (12, 3), (18, 4) i regnearket i GeoGebra og deretter gjøre en regresjon med sinus. Resultatet av dette blir følgende funksjon:

$$ f\left(x\right)=4.34+2\sin (0,68x-2.16)$$

For å få en graf som er enda bedre tilpasset til målene til vasen, prøver vi ut endringer på amplituden, faseforskyvningen og likevektslinja, til vi får et funksjonsuttrykk som stemmer ganske bra med de oppgitte målene til vasen:

$$ f\left(x\right)=4.4+1.7\sin (0,36x-0.5)$$

En omdreining av denne grafen om $$ x$$-aksen gir følgende omdreiningslegeme:

Vi må beregne det innvendige volumet av vasen, noe som vi vil kunne beregne ut fra en funksjon $$ g$$ som ligger $$ 0,2$$ lavere enn $$ f$$, men som har samme form.

Indre volum beregnet i CAS:

Blomstervasen har et indre volum på $$ 1 067{\mathrm{cm}}^3$$, det vil si at den rommer cirka 1 liter vann.

Bruk $$ x$$-aksen som omdreiningsakse og ta utgangspunkt i en sirkel med $$ AB$$ som diameter. Denne sirkelen flyttes slik at linja $$ EF$$ ligger langs $$ x$$-aksen. På figuren nedenfor er sentrum av en sirkel med diameter lik 6 flyttet fra $$ \left(0,0\right)$$ til $$ \left(0,-1\right)$$.

Vi tar utgangspunkt i en halvsirkel med radius lik $$ 3$$ og sentrum i origo. Denne halvsirkelen er grafen til en funksjon som er gitt ved $$ f\left(x\right)=\sqrt{3^2-x^2}$$. Hvis sentrum av halvsirkelen skal være i $$ \left(0,1\right)$$, blir funksjonen $$ f\left(x\right)=\sqrt{3^2-x^2}-1$$.

Vi bruker skjæringspunktene mellom sirkelbuen og $$ x$$-aksen i instruksjonen for omdreining i GeoGebra. I figuren som er gitt i "Tips"-boksen, skjærer grafen $$ x$$-aksen i $$ x=-2,83$$ og i $$ x=2,83$$. Vi skriver da følgende instruksjon i algebrafeltet:

Overflate(u,f(u) sin(t),f(u) cos(t),u,-2.83,2.83,t,0,2pi)

Bruk også nå $$ x$$-aksen som omdreiningsakse. Ta utgangspunkt i en sirkel med $$ AB$$ som diameter, og flytt sirkelen slik at linja $$ CD$$ ligger langs $$ x$$-aksen. Beskriv tre deler av sirkelen som vist på figuren nedenfor.

For å få det riktige omdreiningslegemet må hver av disse elementene dreies om $$ x$$-aksen.

Vi tar utgangspunkt i en sirkel med radius lik $$ 3$$ og sentrum i origo. Den øvre halvsirkelen er da gitt ved funksjonen $$ f\left(x\right)=\sqrt{3^2-x^2}$$, mens den nedre halvsirkelen er gitt ved funksjonen $$ g\left(x\right)=-\sqrt{3^2-x^2}$$. Hvis sentrum av halvsirkelen skal være i $$ \left(0,2\right)$$, blir funksjonene $$ f\left(x\right)=\sqrt{3^2-x^2}+2$$ og $$ g\left(x\right)=-\sqrt{3^2-x^2}+2$$.

Den øvre sirkelbuen skal i sin helhet brukes til omdreining. De to delene av den nedre sirkelbuen, $$ AC$$ og $$ DB$$, må ha omdreining hver for seg, og vi bruker skjæringspunktene mellom den nedre sirkelbuen og $$ x$$-aksen i instruksjonen for omdreining. I figuren som er gitt i "Tips"-boksen, skjærer sirkelbuen $$ x$$-aksen i $$ x=-2,24$$ og i $$ x=2,24$$. Vi skriver da de følgende tre instruksjonene i algebrafeltet:

Overflate(u,f(u) sin(t),f(u) cos(t),u,-3,3,t,0,2pi)

Overflate(u,g(u) sin(t),g(u) cos(t),u,-3,-2.24,t,0,2pi)

Overflate(u,g(u) sin(t),g(u) cos(t),u,2.24,3,t,0,2pi)

Dette omdreiningslegemet vil ha et "hulrom" i midten, mens de to forrige var "hele" (massive).

Bruk også nå $$ x$$-aksen som omdreiningsakse. Ta utgangspunkt i en sirkel med $$ AB$$ som diameter, og flytt sirkelen slik at linja $$ CD$$ ligger langs $$ x$$-aksen. Det vil da være sirkelbuen fra $$ E$$ til $$ F$$ som skal dreies om $$ x$$-aksen.

Vi tar som tidligere i oppgaven utgangspunkt i en halvsirkel med radius lik $$ 3$$ og sentrum i origo som er gitt ved funksjonen $$ f\left(x\right)=\sqrt{3^2-x^2}$$. Hvis sentrum av halvsirkelen skal være i $$ \left(0,1\right)$$, blir funksjonen $$ f\left(x\right)=\sqrt{3^2-x^2}+1$$.

Vi bruker skjæringspunktene mellom sirkelbuen og $$ x$$-aksen i instruksjonen for omdreining. I figuren som er gitt i "Tips"-boksen skjærer grafen $$ x$$-aksen i $$ x=-2,83$$ og i $$ x=2,83$$. Vi skriver da følgende instruksjon i algebrafeltet:

Overflate(u,f(u) sin(t),f(u) cos(t),u,-2.83,2.83,t,0,2pi)