Oppgave

Overflate av omdreiningslegemer

Omdreiningslegemer er romfigurer som kan beskrives matematisk, og de framkommer ved rotasjon av en graf. Vi kan bruke integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer, og her skal vi øve på å beregne overflater.

3.3.20

I oppgave 3.3.10 beregner vi volumet til fire omdreiningslegemer.

Du skal nå beregne overflatearealet til de samme omdreiningslegemene ved hjelp av integrasjon. Overflatene i de tre første deloppgavene skal du beregne uten digitale hjelpemidler, mens overflaten i oppgave d) skal du beregne ved hjelp av CAS.

a) $f (x) = 2, x \in [0, 4]$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2, x \in [0, 4] \\ f^{'} (x) & = & 0 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \end{array}$ $\begin{array}{rcl} O & = & 2 π \cdot \int_{a}^{b} f (x) \cdot \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} d x \\ = & 2 π \cdot \int_{0}^{4} 2 \cdot \sqrt{1 + {(0)}^{2}} d x \\ = & 2 π \cdot \int_{0}^{4} 2 d x \\ = & 2 π {[2 x]}_{0}^{4} \\ = & 2 π \cdot (2 \cdot 4 - 2 \cdot 0) \\ = & 16 π \end{array}$

Overflaten til omdreiningslegemet som har form som en sylinder, er $16 π$ .

b) $g (x) = x, x \in [0, 4]$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & x, x \in [0, 4] \\ g^{'} (x) & = & 1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} O & = & 2 π \cdot \int_{a}^{b} g (x) \cdot \sqrt{1 + {(g^{'} (x))}^{2}} d x \\ = & 2 π \cdot \int_{0}^{4} x \cdot \sqrt{1 + {(1)}^{2}} d x \\ = & 2 \sqrt{2} π \cdot \int_{0}^{4} x d x \\ = & 2 \sqrt{2} π {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{4} \\ = & 2 \sqrt{2} π \cdot (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - 0) \\ = & 16 \sqrt{2} π \end{array}$

Overflaten til omdreiningslegemet som har form som ei kjegle, er $\begin{array}{rcl} 16 \sqrt{2} π \end{array}$ .

c) $h (x) = x + 1, x \in [0, 4]$

Løsning

$\begin{array}{rcl} h (x) & = & x + 1, x \in [0, 4] \\ h^{'} (x) & = & 1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} O & = & 2 π \cdot \int_{a}^{b} h (x) \cdot \sqrt{1 + {(h^{'} (x))}^{2}} d x \\ = & 2 π \cdot \int_{0}^{4} (x + 1) \cdot \sqrt{1 + {(1)}^{2}} d x \\ = & 2 \sqrt{2} π \cdot \int_{0}^{4} (x + 1) d x \\ = & 2 \sqrt{2} π {[\frac{1}{2} x^{2} + x]}_{0}^{4} \\ = & 2 \sqrt{2} π (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 4 - 0) \\ = & 24 \sqrt{2} π \end{array}$

Overflaten til omdreiningslegemet som har form som ei avkortet kjegle, er $24 \sqrt{2} π$ .

d) $i (x) = \sqrt{4 - x^{2}}, x \in [- 2, 2]$ (Dette skal beregnes ved hjelp av CAS.)

Løsning

Siden $i (x)$ er en halvsirkel, blir omdreiningslegemet ei kule.

Beregning av overflaten av ei kule ved hjelp av integrasjon i CAS. I linje 1 defineres funksjon i ved å skrive i av x kolon er lik kvadratrot 4 minus x opphøyd i andre kvadratrot slutt. I linje 2 beregnes overflaten ved å skrive OverflateKule kolon er lik 2 ganger pi ganger integral parentes i av x ganger kvadratrot 1 pluss parentes i derivert av x parentes opphøyd i andre komma minus 2 komma 2 parentes slutt. Resultatet er OverflateKule kolon er lik 16 ganger pi. Skjermutklipp. — Bilde: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Overflaten av kula er $16 π$ .

3.3.21

På teorisiden bruker vi integrasjon til å utlede formelen for overflaten av ei kule.

a) Bruk den samme metoden for å utlede formelen for overflaten til en sylinder med radius $s$ og høyde $h$ , uten bruk av digitale hjelpemidler.

Tips

En sylinder vil framkomme ved omdreining av et vannrett linjestykke om $x$ -aksen. Lengden av linjestykket vil da tilsvare høyden til sylinderen, $h$ , mens funksjonsuttrykket vil være en konstant som angir radius, $r$ , i sylinderen.

Løsning

Et generelt funksjonsuttrykk for et linjestykke som gir en sylinder ved omdreining om $x$ -aksen, vil være gitt ved

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & r, x \in [0, h] \end{array}$

$\begin{array}{rcl} O_{s y l i n d e r} & = & 2 π \cdot \int_{a}^{b} f (x) \cdot \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} d x \\ = & 2 π \cdot \int_{0}^{r} h \cdot \sqrt{1 + {(0)}^{2}} d x \\ = & 2 π \cdot \int_{0}^{r} h d x \\ = & 2 π {[h x]}_{0}^{r} \\ = & 2 π \cdot (h \cdot r - h \cdot 0) \\ = & 2 π r h \end{array}$

b) Kontroller beregningen av overflaten til sylinderen i oppgave 3.3.20 a) ved å bruke formelen du kom fram til i oppgave a), uten bruk av digitale hjelpemidler.

Løsning

Sylinderen i oppgave 3.3.20 a) har radius $r = 2$ og høyde $h = 4$ :

$\begin{array}{rcl} O v e r f l a t e_{s y l i n d e r} & = & 2 π r h \\ = & 2 π \cdot 2 \cdot 4 \\ = & 16 π \end{array}$

Vi ser at vi får den samme overflaten i begge beregningene.

c) Utled formelen for overflaten av ei kjegle uten bunn på samme måte som for kule og sylinder. Bruk radius = $r$ og høyde = $h$ . Den generelle formelen for funksjonen som er utgangspunkt for omdreiningen, vil da være $y = f (x) = \frac{r}{h} x$ . Dette gir en rettlinjet graf som går gjennom origo, og for at omdreiningslegemet skal bli ei rett kjegle, må nedre grense være lik $0$ og øvre grense være lik $h$ .

Løsning

$y = f (x) = \frac{r}{h} x$ , som gir $y^{'} = f^{'} (x) = \frac{r}{h}$ .

$\begin{array}{rcl} O v e r f l a t e_{k j e g l e} & = & 2 π \int_{a}^{b} (f (x) \cdot \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x \\ = & 2 π \int_{0}^{h} (\frac{r}{h} x \cdot \sqrt{1 + {(\frac{r}{h})}^{2}}) d x \\ = & 2 π \int_{0}^{h} (\frac{r}{h} x \cdot \sqrt{1 + \frac{r^{2}}{h^{2}}}) d x \\ = & 2 π \int_{0}^{h} (\frac{r}{h} x \cdot \sqrt{\frac{h^{2}}{h^{2}} + \frac{r^{2}}{h^{2}}}) d x \\ = & 2 π \int_{0}^{h} (\frac{r}{h} x \cdot \frac{1}{h} \sqrt{h^{2} + r^{2}}) d x \end{array}$

I ei kjegle er sidekanten, $s$ , hypotenusen i en trekant der høyden, $h$ , er den ene kateten, og radius, $r$ , er den andre kateten. Sidekanten, $s$ , er derfor gitt ved $s = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ .

$\begin{array}{rcl} O v e r f l a t e_{k j e g l e} & = & 2 π \int_{0}^{h} (\frac{r}{h} x \cdot \frac{1}{h} s) d x \\ = & 2 π \frac{r}{h} s \frac{1}{h} \int_{0}^{h} x d x \\ = & 2 π s \frac{r}{h^{2}} \int_{0}^{h} x d x \\ = & 2 π s \frac{r}{h^{2}} {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{h} \\ = & 2 π s \frac{r}{h^{2}} \cdot \frac{1}{2} h^{2} \\ = & π s r \end{array}$

d) Kontroller også beregningen av overflaten til kjegla i oppgave 3.3.20 b) ved å bruke formelen du kom fram til i oppgave c), uten bruk av digitale hjelpemidler.

Løsning

Kjegla i oppgave 3.3.20 b) framkommer ved omdreining av $\begin{array}{rcl} g (x) & = & x, x \in [0, 4] \end{array}$ . Dette gir ei kjegle med radius = 4 og høyde = 4. Lengden av sidekanten blir da $s = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ .

$\begin{array}{rcl} O v e r f l a t e_{k j e g l e} & = & π \cdot r \cdot s \\ = & π \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{2} \\ = & 16 π \sqrt{2} \end{array}$

Vi får den samme overflaten i begge beregningene.

3.3.22

Evangelista Torricelli (1608–1647) var en italiensk matematiker og fysiker. Innen fysikk er han kanskje mest kjent for å ha oppfunnet kvikksølvbarometeret, men han var også en av bidragsyterne til utviklingen av integralregningen.

I arbeidet med integralregningen oppdaget Torricelli noen helt spesielle egenskaper ved omdreiningslegemet som framkommer ved omdreining av grafen til funksjonen $y = \frac{1}{x}, x \geq 1$ om $x$ -aksen.

Omdreiningslegeme som ser ut som en langstrakt trakt og kan ligne på musikkinstrumentet lur. Skjermutklipp. — Gabriels horn (Torricellis trompet). Bilde: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Torricelli viste at dette omdreiningslegemet, som i ettertid er blitt kalt både Torricellis trompet og Gabriels horn, har endelig volum og uendelig overflate.

a) Beregn det endelige volumet for et horn som framkommer ved omdreining av $y = \frac{1}{x}, x \in [1, \infty 〉$ , uten bruk av digitale hjelpemidler. Kontroller deretter utregningen ved å beregne det bestemte integralet i CAS.

Løsning

$\begin{array}{rcl} V o l u m & = & π \int_{1}^{\infty} {(\frac{1}{x})}^{2} d x \\ = & π \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x \\ = & π \cdot \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x \\ = & π \cdot \lim_{t \to \infty} {[- \frac{1}{x}]}_{1}^{t} \\ = & π \cdot \lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{t} - (- \frac{1}{1})) \\ = & π (0 - (- 1)) \\ = & π \end{array}$

Vi har vist at når integralets øvre grenseverdi går mot uendelig, vil volumet gå mot den endelige verdien $π$ .

Beregning av volum ved hjelp av CAS:

Beregning av volum i CAS, ei linje. Det står Volum av horn kolon er lik pi ganger Integral parentes parentes 1 delt på x parentes slutt opphøyd i andre komma 1 komma uendelig parentes slutt. Resultatet er Volum av horn kolon er lik pi. Skjermutklipp. — Bilde: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

b) Vis ved hjelp av CAS at det samme hornet har uendelig overflate.

Løsning

$\begin{array}{rcl} O v e r f l a t e & = & \int_{a}^{b} 2 π \cdot f (x) \cdot \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} d x \\ = & 2 π \int_{a}^{b} \frac{1}{x} \cdot \sqrt{1 + {(- \frac{1}{x^{2}})}^{2}} d x \\ = & 2 π \int_{a}^{b} \frac{1}{x} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} d x \end{array}$

Beregning av overflaten av Torricellis trompet i CAS, ei linje. Det står Integral parentes parentes 1 delt på x ganger kvadratrot 1 pluss 1 delt på x opphøyd i fjerde kvadratrot slutt parentes slutt komma 1 komma uendelig parentes slutt. Resultatet blir uendelig. Skjermutklipp. — Bilde: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Vi har vist at når integralets øvre grenseverdi går mot uendelig, vil overflatearealet også gå mot uendelig.

c) Undersøk volumet av et omdreiningslegeme som framkommer ved omdreining av $y = \frac{1}{x}, x \in [0, 10 ⟩$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} V o l u m & = & π \int_{0}^{10} {(\frac{1}{x})}^{2} d x \\ = & π \int_{0}^{10} \frac{1}{x^{2}} d x \\ = & π \cdot \lim_{t \to 0} \int_{t}^{10} \frac{1}{x^{2}} d x \\ = & π \cdot \lim_{t \to 0} {[- \frac{1}{x}]}_{t}^{10} \\ = & π \cdot \lim_{t \to 0} (- \frac{1}{10} - (- \frac{1}{t})) \\ = & π \cdot \lim_{t \to 0} (\frac{1}{t} - \frac{1}{10}) \\ = & \infty \end{array}$

Vi ser at volumet av omdreiningslegemet går mot uendelig. Årsaken er at grafen til $y = \frac{1}{x}$ går mot uendelig når $x$ går mot 0.

3.3.20

3.3.21

3.3.22

Regler for bruk av teksten "Overflate av omdreiningslegemer"