Volum og buelengde
3.3.1
Vi kan beregne buelengden til en graf fra til
Dette vil selvfølgelig også gjelde for lengden av grafen til en lineær funksjon.
a) Bestem den eksakte buelengden til funksjonen
Tips
Du kan bruke pytagorassetningen som den ene måten og integrasjon som den andre måten.
Løsning
Metode 1: pytagorassetningen
Siden grafen i dette tilfellet er ei rett linje, kan vi bruke pytagorassetningen for å finne lengden av grafen, der den ene kateten går langs det angitte intervallet langs
Pytagorassetningen gir da følgende buelengde,
Metode 2: integrasjon
b) Vi ønsker å bestemme buelengden til funksjonen
Bruk derfor CAS for beregne den eksakte buelengden til funksjonen
Løsning
Siden den eksakte verdien av buelengden blir et komplisert uttrykk, beregner vi også tilnærmet verdi for buelengden.
3.3.2
Som nevnt er det ofte vanskelig å bestemme buelengde for funksjoner som ikke er lineære, og i mange tilfeller viser det seg at det er umulig å bestemme dette ved bruk av CAS. I slike tilfeller kan vi bestemme en tilnærmet verdi ved bruk av numeriske metoder.
Fra teorisiden har vi følgende sammenheng for lengden av et linjestykke mellom to punkter på en graf:
a) Lag en algoritme for et program som beregner buelengden til funksjonen
Løsning
Inndata og definisjoner:
Vi definerer funksjonen.
Vi oppretter variabel for buelengden og setter den lik 0.
Programmet skal be om minste
-verdi, størstex -verdi og avstanden mellomx -verdiene,x .d x
Ei løkke benyttes til beregning. Denne bruker minste
Løkke start:
beregnes ut fra gjeldended y -verdi.x Bit av buelengden beregnes ut fra formel ved hjelp av
ogd x .d y Totalverdien av buelengden økes med lengden av beregnet bit.
Neste
-verdi beregnes.x
Løkke slutt:
Beregnet buelengde skrives ut.
b) Lag programmet som algoritmen beskriver.
Løsning
3.3.3
Volum av en romfigur er gitt ved
der
Ei kule er et eksempel på en romfigur, og vi har vist på teorisiden at volumet av en kule er gitt ved
der
a) Bruk sammenhengen som er gitt over til å beregne volumet av ei kule med radius lik 2 cm ved hjelp av integrasjon, uten bruk av digitale hjelpemidler.
Løsning
b) Bruk formelen for volum av kule,
Løsning
3.3.4
På teorisiden så vi at hvis vi deler ei kule med radius
Vi kan bruke denne sammenhengen til å beregne volumet av ei kule numerisk.
a) Lag en algoritme for et program som beregner volumet av ei kule. Radius og antall skiver skal oppgis av brukeren ved kjøring av programmet.
Løsning
Inndata:
Verdi for radius oppgis.
Antall skiver oppgis.
Beregninger/startverdier:
Startverdi for
settes likx .- r Bredden på skivene,
, settes lik diameter delt på antall skiver.d x Startverdi for totalt volum settes lik 0.
Ei løkke benyttes til beregning av volumet for kula ved å summere volumet for alle skivene. Denne bruker
Løkke start:
Ny
-verdi beregnes.x Volum av skive blir beregnet ut fra standard volumformel.
Totalverdi for volum økes med beregnet volum av skive.
Løkke slutt:
Beregnet volum skrives ut.
b) Lag et program som beregner volumet av ei kule numerisk.