Overflate av omdreiningslegemer

Vi kan tenke at en graf er sammensatt av mange små bueelementer med lengde $$ ∆s$$, slik vi illustrerte i fagartikkelen "Volum og buelengde". Fra denne siden har vi at $$ ∆s$$ er gitt ved

$$ \begin{array}{rcl}∆s& =& \sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}·∆x\end{array}$$

Når grafen til en funksjon, $$ f\left(x\right)$$, roteres om $$ x$$-aksen, vil det si at hvert enkelt bueelement roteres på samme måte og danner hvert sitt sirkelformede bånd med $$ x$$-aksen som sentrum i sirkelen.

Omkretsen av en sirkel er generelt gitt ved $$ O=2\pi r$$. Hvis vi lar $$ ∆s$$ gå mot null, vil arealet av båndet ha en form som er tilnærmet lik et rektangel. Arealet av det sirkelformede båndet ved $$ x=x_i$$ vil derfor være gitt ved

$$ A_{x_i}=2\pi ·r_{x_i}·∆s$$

Siden radius i en slik omdreiningssirkel er gitt ved $$ r_{x_i}=f\left(x_i\right)$$, kan vi sette opp sammenhengen

$$ A_{x_i}=2\pi ·{r_x}_i·∆s=2\pi ·f\left(x_i\right)·∆s$$

Vi setter inn uttrykket for $$ ∆s$$:

$$ A_{x_i}=2\pi ·f\left(x_i\right)·∆s=2\pi ·f\left(x_i\right)·\sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}·∆x$$

Hvis vi summerer arealene av alle de sirkelformede båndene som omdreiningslegemet består av, vil vi finne overflaten av omdreiningslegemet.

Vi gjenkjenner prinsippet ved bestemt integrasjon. Vi kan sette opp følgende formel for overflaten av et omdreiningslegeme ved rotasjon om $$ x$$-aksen av grafen til en funksjon $$ f$$ fra $$ x=a$$ til $$ x=b$$:

$$ \begin{array}{rcl}O & =& {\int }_a^{b}2\pi ·f\left(x\right)·\sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}dx\\ & =& 2\pi ·{\int }_a^{b}f\left(x\right)·\sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}dx\end{array}$$

Vi kan kontrollere denne formelen ved å bruke den til å bestemme et uttrykk for overflaten av ei kule med radius lik $$ r$$.

Dersom vi roterer grafen til en kvart sirkel $$ 360°$$fra $$ x=0$$ til $$ x=r$$, får vi ei halvkule med radius $$ r$$. Vi tar derfor igjen utgangspunkt i sirkellikningen $$ x^2+y^2=r^2$$ og finner funksjonsuttrykket for en kvart sirkel:

$$ f\left(x\right)=\sqrt{r^2-x^2}, x\in \left[0,r\right]$$

Det gir

$$ \frac{∆y}{∆x}=f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}$$

Overflaten av ei kule vil ut fra dette være gitt ved 2 ganger overflaten av ei halvkule:

$$ \begin{array}{rcl}{O}_{kule} & =& 2·2\pi {\int }_a^b\left(f\left(x\right)\sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}\right)dx\\ & =& 4\pi {\int }_0^r\left(\sqrt{r^2-x^2}·\sqrt{1+{\left(\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)}^2}\right)dx\\ & =& 4\pi {\int }_0^r\left(\sqrt{r^2-x^2}·\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\right)dx\\ & =& 4\pi {\int }_0^r\left(\sqrt{r^2-x^2}·\sqrt{\frac{r^2-x^2}{r^2-x^2}+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\right)dx\\ & =& 4\pi {\int }_0^r\left(\sqrt{r^2-x^2}·\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}\right)dx\\ & =& 4\pi {\int }_0^r\left(\sqrt{r^2-x^2}·\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)dx\\ & =& 4\pi {\int }_0^{r}r dx\\ & =& 4\pi ·{\left[rx\right]}_0^r\\ & =& 4\pi r^2\end{array}$$

Vi kommer fram til den kjente formelen for overflaten av ei kule.