Hopp til innhold
Fagartikkel

Løsning av sammensatte trigonometriske likninger

Hvordan løser vi likninger som inneholder flere ulike trigonometriske funksjoner?

Når vi skal løse sammensatte trigonometriske likninger, prøver vi å omforme dem til enkle trigonometriske likninger på formen

trigonometrisk funksjon = tall

Eksempel 1: bruk av enhetsformelen

Vi skal uten hjelpemidler løse likningen

cos2x-3sin2x=-2 ,   x[0, 2π

Hva er (det største) problemet med denne likningen?

Forklaring

Det største problemet er at vi har både sinus og cosinus i samme likning.

Hvordan håndterer vi dette problemet?

Svar

Vi kan omforme cos2x til sin2x eller motsatt ved hjelp av enhetsformelen sin2x+cos2x=1.

Vi starter med å omforme cosinusleddet ved å bruke enhetsformelen.

     cos2x-3sin2x = -21-sin2x-3sin2x=-2               -4sin2x=-3                     sin2x=34

Vi får en andregradslikning der sinx er variabelen. Videre får vi

sinx = ±34sinx = 123      sinx=-123

Hvorfor trenger vi ikke å sette på tillegget "...+k·2π" her?

Forklaring

Argumentet til sinusfunksjonen er kun x, og da finner vi alle løsningene i første omløp direkte. Dersom argumentet til den trigonometriske funksjonen er noe mer enn bare en x, eller hvis likningen blir gitt med et annet løsningsområde for x enn første omløp, må vi ta med "...+k·2π" og prøve med ulike verdier for k.

Vi skal lete etter løsninger i første omløp. Den første likningen gir supplementvinklene π3 og 2π3. Løsningene til den andre finner vi ut ifra de vinklene som har motsatt sinusverdi: sinπ+v=-sinv. Dette gir vinklene π3+π=4π3 og 2π3+π=5π3. Løsningen blir

L=π3, 2π3, 4π3, 5π3

Kontroller at du får samme svar med CAS.

Eksempel 2: omforme til tangenslikning

Vi skal uten hjelpemidler finne løsningene til likningen

2cos2x+2sin2x=0

når  x[0, 4π

Vi kan løse denne likningen ved å dele på cos2x i alle ledd.

  2cos2x+2sin2x = 02cos2xcos2x+2sin2xcos2x=0cos2x  ,   cos2x0          2+2tan2x=0                tan2x=-1

Det er vinkler i andre og fjerde kvadrant som har negativ tangensverdi. I første omløp får vi vinklene 3π4 og 7π4. Det betyr at løsningen kan skrives som

2x=3π4+k·π      2x=7π4+k·π

der k.

Hvorfor skriver vi "...+k·π" i løsningen og ikke "...+k·2π"?

Forklaring

Siden tangensfunksjonen er periodisk med periode π, det vil si at tanv=tanπ+v, må vi skrive "...+k·π" i løsningen. (Sinus- og cosinusfunksjonen har derimot periode 2π.)

Forklar hvorfor vi kan slå sammen de to løsningene til én likning.

Forklaring

Forskjellen på de to løsningene 3π4 og 7π4 er π. Den første likningen gir dermed de samme løsningene som den andre, men for en k-verdi som er 1 mindre. Vi trenger derfor ikke ta med den andre løsningen.

Vi får

2x = 3π4+k·π ,    kx = 3π8+k·π2

Foreløpig har vi skrevet løsningen som om x kan ha alle mulige verdier ved hjelp av det hele tallet k. Det er fordi vi kan ha mange løsninger innenfor løsningsområdet. Ved å prøve med ulike verdier for k får vi totalt 8 løsninger innenfor de to første omløpene. Løsningsmengden blir

L=3π8,7π8,11π8,15π8,19π8,23π8,27π8,31π8

Metoden med å dele på cos2x i alle ledd førte fram. Hva må vi likevel sjekke før vi sier oss fornøyd med løsningen?

Forklaring

I løsningen over har vi anført at cos2x0. Det er fordi vi har dividert med cos2x, som da ikke kan være 0. Men vi må sjekke om cos2x=0 gir en løsning av likningen.

Vi kan løse likningen cos2x=0 på vanlig måte og sjekke ved å sette løsningene inn i den opprinnelige likningen. Men vi kan også komme fram til løsningen slik:

Hvis cos2x=0, vet vi at enten er sin2x=1, eller så ersin2x=-1. Høyresiden av den opprinnelige likningen er 0, så dette er ikke mulig. cos2x=0 er derfor ikke en løsning av likningen, og løsningsmengden fra forrige boks er den endelige løsningen på likningen.

Kontroller at du får samme løsning med CAS.

Vil metoden med å dele på cosinusfunksjonen virke dersom høyresiden av likningen for eksempel er 1?

Svar

  2cos2x+2sin2x = 12cos2xcos2x+2sin2xcos2x=1cos2x  ,   cos2x0          2+2tan2x=1cos2x

Vi kommer ikke videre med løsningen. Det må være 0 på høyre side av likningen dersom denne teknikken skal virke. Løsningen av denne likningen går ut på å slå sammen sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen til én sinusfunksjon. En slik utforming tar vi for oss på teorisiden "Sammenslåing av trigonometriske funksjoner".

Film om løsning av likning med både sinus og cosinus

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0