Sammenslåing av trigonometriske funksjoner

Vi ønsker å løse likningen

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$

Forklar hvorfor denne likningen ikke kan løses ved å dele på $$ \cos x$$ i alle ledd.

Vi trenger en ny løsningsmetode for denne likningen.

Utforsking av venstre side av likningen

Vi skal utforske venstresiden av likningen. Tegn grafen til uttrykket på venstre side. Hva får du, og hva betyr det?

Resultat

Vi setter $$ f\left(x\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$$ og tegner grafen med GeoGebra.

Vi får at grafen er en sinuskurve. Det betyr at det må være mulig å skrive venstresiden av likningen som én sinusfunksjon. Dersom vi klarer det, ender vi opp med en enkel likning med kun sinusfunksjonen.

Hvordan kan vi finne uttrykket for sinusfunksjonen som er tegnet i boksen over, ut ifra grafen?

Finn uttrykket for $$ f\left(x\right)$$ med metoden beskrevet over.

Løsning

Utgangspunktet er den generelle sinusfunksjonen

$$ f\left(x\right)=A\sin (kx+\phi )+d$$

Vi får av grafen at

• amplituden er 2, som gir $$ A=2$$

• likevektslinja er $$ y=0$$, som gir $$ d=0$$

• perioden $$ p$$ er $$ 2\pi $$, som gir
  $$ p=\frac{2\pi }{k}\iff k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{2\pi }=1$$

• faseforskyvningen $$ x_f$$ er $$ -\frac{\pi }{3}$$, som gir $$ 𝜑=-x_f·k=-\left(-\frac{\pi }{3}\right)·1=\frac{\pi }{3}$$

Funksjonsuttrykket blir

$$ f\left(x\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$$

Resultatet må bety at

$$ \sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$$

En slik omforming kalles også for sinusomforming.

Vis at sammenhengen over er en identitet.

Løsning av likningen

Nå kan vi løse den opprinnelige likningen.

$$ \begin{array}{rcl}\sin x+\sqrt{3}\cos x & =& 1\\ 2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right) & =& 1\\ \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right) & =& \frac{1}{2}\\ x+\frac{\pi }{3} & =& \frac{\pi }{6}+k·2\pi \vee x+\frac{\pi }{3} = \pi -\frac{\pi }{6}+k·2\pi \\ x & =& -\frac{\pi }{6}+k·2\pi \vee x=\frac{\pi }{2}+k·2\pi ,\end{array}$$

der $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. På løsningsmengdeform får vi

$$ L=\{-\frac{\pi }{6}+k·2\pi , \frac{\pi }{2}+k·2\pi \}, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Vi får samme løsning med CAS i GeoGebra.

Hvordan kan vi omforme en sum av en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon til én sinusfunksjon uten å tegne grafen slik vi gjorde over?

Vi ser igjen på den generelle sinusfunksjonen $$ A\sin \left(kx+\phi \right)$$ med $$ d=0$$, og vi bruker formelen for sinus til en sum av vinkler.

$\begin{array}{rcl}A\sin \left(kx+\phi \right)& = & A\left(\sin kx·\cos \phi +\cos kx·\sin \phi \right)\\ & & \\ & =& \underset{a}{\underbrace{A\cos \phi }}·\sin kx+\underset{b}{\underbrace{A\sin \phi }}·\cos kx\\ & & \\ & =& a\sin kx+b\cos kx\end{array}$

Vi får derfor at vi kan omforme en sum av en cosinusfunksjon og en sinusfunksjon med samme $$ k$$ dersom

$A\cos \phi =a$, og $A\sin \phi =b$

Hvor mange ukjente størrelser er det i disse to likningene?

Dette likningssettet er ikke det enkleste å løse for hånd med vanlige metoder som innsettingsmetoden. Vi finner enklest løsningen ved først å utnytte at $$ {\cos }^2𝜑+{\sin }^2𝜑=1$$:

$$ \begin{array}{rcl}\sqrt{a^2+b^2} & =& \sqrt{{\left(A\cos \phi \right)}^2+\left(A\sin \phi \right){}^2}\\ & =& \sqrt{A^2({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )}\\ & =& \sqrt{A^2·1}\\ & =& A\end{array}$$

Da har vi funnet $$ A$$. Vi finner $$ 𝜑$$ ved å sette opp uttrykket $$ \frac{b}{a}$$.

$$ \frac{b}{a}=\frac{A\sin 𝜑}{A\cos 𝜑}=\tan 𝜑$$

En tangenslikning har mange løsninger. Vi kan holde oss til første omløp, for vi trenger bare én løsning. Likningen har to løsninger i første omløp, men bare én av dem kan brukes. Forklaringen på det er:

• Vi har at $$ A>0$$ siden den regnes ut fra et rotuttrykk.

• Siden $$ a=A\cos 𝜑$$, må derfor $$ \cos 𝜑$$ ha samme fortegn som $$ a$$.

• Siden $$ b=A\sin 𝜑$$, må også $$ \sin 𝜑$$ ha samme fortegn som $$ b$$.

I hvilken kvadrant i koordinatsystemet havner punktet $$ \left(a,b\right)$$ dersom $$ a<0$$ og $$ b>0$$?

Figuren viser et eksempel der punktet $$ \left(a,b\right)$$ blir liggende i andre kvadrant. Det betyr, som vi skrev over, at $$ a<0$$ og $$ b>0$$. Siden $$ \cos 𝜑$$ skal ha samme fortegn som $$ a$$ og $$ \sin 𝜑$$ samme fortegn som $$ b$$, må vinkelen $$ 𝜑$$ også ligge i andre kvadrant.

Konklusjonen må bli at vi må velge den vinkelen $$ 𝜑$$ som ligger i samme kvadrant som punktet $$ \left(a,b\right)$$. Tilsvarende blir det om punktet $$ \left(a,b\right)$$ ligger i noen av de andre kvadrantene.

Tangensfunksjonen eksisterer ikke for alle vinkler. Hvorfor skaper ikke det problemer for oss?

Vi prøver løsningsteknikken på likningen vi studerte øverst på siden. Du bør prøve å løse likningen på egen hånd før du går videre.

Likningen vi skal løse, er

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$

Vi må slå sammen de to leddene på venstre side. Her har vi at $$ a=1$$ og $$ b=\sqrt{3}$$. Da får vi at

$$ A=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{1+3}=2$$

og

$$ \tan 𝜑=\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$$

Hvilken kvadrant skal vinkelen $$ 𝜑$$ ligge i?

Vi gjenkjenner $$ \sqrt{3}$$ som en av de eksakte trigonometriske verdiene, og vi får at

$$ 𝜑=\frac{\pi }{3}$$

Da kan vi omforme likningen til en enkel trigonometrisk likning.

$$ \begin{array}{rcl}\sin x+\sqrt{3}\cos x & =& 1\\ 2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right) & =& 1\end{array}$$

Dette er det samme som vi kom fram til grafisk lenger oppe på siden. Resten av framgangsmåten er som ved den grafiske løsningen. Vi får at

$$ L=\{-\frac{\pi }{6}+k·2\pi , \frac{\pi }{2}+k·2\pi \}, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Et lite spørsmål til slutt: Hvorfor kan vi ikke bruke metoden på denne siden til å slå sammen $$ \sin 2x+\sqrt{3}\cos x$$ til en ren sinusfunksjon?

Nedenfor har vi lagd et interaktivt GeoGebra-ark der du kan dra i gliderne $$ k_1$$ og $$ k_2$$ og regulere verdien for $$ k$$ i de to funksjonene $$ f$$ og $$ g$$, som er en sinus- og en cosinusfunksjon. Grafen til $$ f$$ er tegnet med blått, og grafen til $$ g$$ er tegnet med grønt. Summen av funksjonene er funksjonen $$ h$$ som er tegnet med rødt.

Start med å sette $$ k_1=k_2=1$$. Hvordan ser grafen til $$ h$$ ut?

Sett deretter $$ k_1=2$$. Hvordan ser grafen til $$ h$$ ut?

Prøv med ulike verdier for $$ k_1$$ og $$ k_2$$. Hvordan må de to parametrene være for at den røde grafen til summen $$ h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$$ skal bli en ren sinuskurve? Stemmer påstanden i forklaringsboksen over?

Sammenslåing av trigonometriske funksjoner med GeoGebra

GeoGebra kan slå sammen trigonometriske funksjoner for oss med kommandoen TrigKombiner().

Vi får det samme som vi kom fram til ved regning for hånd over. Det er to argumenter til kommandoen. Det første argumentet er det uttrykket som skal slås sammen. Det andre argumentet er hvilken funksjon det skal legges vekt på under sammenslåingen. Prøv kommandoen TrigKombiner(sin(x)+sqrt(3)·cos(x),cos(x)) og se hva du får!

Du kan også bruke GeoGebra til å gå motsatt veg med kommandoen TrigUtvid().

Oppsummering av metoder vi kan bruke ved løsning av sammensatte trigonometriske likninger

Kan du skrive opp tre framgangsmåter som kan brukes til å løse sammensatte trigonometriske likninger?