Vi får en andregradslikning der cosx er variabelen. Videre får vi
cosx=±14cosx=12∨cosx=-12
Vi skal lete etter løsninger i første omløp. Den første likningen gir vinklene π3 og 2π-π3=5π3. Løsningene til den andre finner vi ut ifra de vinklene som har motsatt cosinusverdi: cosv+π=-cosv. Dette gir vinklene π3+π=4π3 og 2π-4π3=2π3. Løsningen blir
L=π3,2π3,4π3,5π3
Ble det samme løsning som på teorisiden?
2.3.31
a) Tegn en skisse av enhetssirkelen og bruk den til å løse likningen
sinx=cosx,x∈[0,2π⟩
Løsning
Vi har at vinkelen π4 har samme sinus- og cosinusverdi, 122. Den tilsvarende vinkelen i tredje kvadrant, 5π4, har også samme sinus- og cosinusverdi, -122. I andre og fjerde kvadrant har sinus og cosinus motsatt fortegn og kan ikke være like. Vi får
L=π4,5π4
b) Løs likningen i oppgave a) ved regning. Kontroller svaret med CAS.
Merk måten vi skriver cos2v på i GeoGebra. Merk også at GeoGebra ikke alltid tar utgangspunkt i løsninger i første omløp, slik som i den andre løsningen her.
Vi må sjekke om cosπx=0 kan være en løsning av likningen. Da er i tilfelle sinπx=±1, og venstresiden av likningen kan ikke bli null. cosπx=0 gir derfor ingen løsning av likningen.
L=16,76,136,196,256,316,376
b) cos22x-sin22x=1,x∈[0,4π⟩
Løsning
Vi eliminerer for eksempel sin22x ved hjelp av enhetsformelen:
Vi må sjekke om likningen kan ha løsning når cos2x=0, som betyr når cosx=0. Da er sinx=±1, og det første leddet på venstresiden er forskjellig fra null. Da har ikke likningen løsning siden det står 0 på høyresiden. Vi får
Vi kommer dessverre ikke videre manuelt og løser likningen med CAS i GeoGebra.
f) 4sin22x-233sin2x·cos2x+2cos22x=3
Tips til oppgaven
Erstatt tallet 3 på høyre side av likningen med ledd av typen cos22x og sin22x ved hjelp av enhetsformelen. Bruk deretter tilsvarende framgangsmåte som i oppgave c).
Vi må sjekke om likningen kan ha løsning når cos22x=0, som betyr når cos2x=0. Da er sin2x=±1 og sin22x=1. I likningen får vi da at 4·1=3, så dette gir ikke flere løsninger.
-π6 er innenfor verdimengden til arcsinx, så likningen har løsning. Vi får
sinarcsinx=sin-π6x=-12
Merk at GeoGebra ikke klarer å finne den eksakte løsningen med "Løs". "NLøs" finner heldigvis riktig løsning. Merk også at GeoGebra her har endret skrivemåten til de omvendte funksjonene selv om vi skrev inn arccosx og arcsinx.