Her kan du øve på å løse mer sammensatte trigonometriske likninger.
2.3.40
Vi ønsker å skrive funksjonene nedenfor på formen . I hvilken kvadrant vil vinkelen 𝜑 ligge for hver av funksjonene etter at de er omskrevet?
Tips til oppgaven
Her må vi huske på at
a er tallet foran sinusleddet i funksjonen
b er tallet foran cosinusleddet
a) fx=-2sinx+2cosx
Løsning
Vi får at a=-2 og b=2.
Punktet a,b=-2,2 har negativ x-koordinat og positiv y-koordinat, så vinkelen 𝜑 må ligge i andre kvadrant.
b) gx=-2sinx-cosx
Løsning
Punktet a,b=-2,-1 har negativ x-koordinat og y-koordinat, så vinkelen 𝜑 må ligge i tredje kvadrant.
c) hx=-2cosx+2sinx
Løsning
Her må vi legge merke til at cosinusleddet er skrevet først. Punktet a,b=2,-2 har positiv x-koordinat og negativ y-koordinat, så vinkelen 𝜑 må ligge i fjerde kvadrant.
d) fx=2cosx+3sinx
Løsning
Punktet a,b=3,2 har positiv x-koordinat og y-koordinat, så vinkelen 𝜑 må ligge i første kvadrant.
2.3.41
Skriv disse funksjonene på formen Asinkx+𝜑. Kontroller at svarene er riktige ved å bruke formelen for sinus til en sum av vinkler. Regn mest mulig for hånd.
a) fx=2sinx+2cosx
Tips til oppgaven
Husk formlene for A og 𝜑:
A=a2+b2,tan𝜑=ba
a er tallet foran sinusleddet, og b er tallet foran cosinusleddet.
Vi kommer ikke videre med regning for hånd og bruker CAS i GeoGebra til å finne 𝜑.
I linje 1 ser vi at GeoGebra lager et eksakt uttrykk ved hjelp av den omvendte funksjonen til tangens. Men til vårt bruk er det best med en tilnærmet verdi.
Vi får
jx=10sin3x+5,96
Vi kan ikke kontrollere resultatet manuelt slik vi har gjort i de andre oppgavene, men vi kan bruke formelen for sinus til summen av to vinkler i CAS.
Resultatet stemmer.
f) kx=2sinx2+3cosx2
Løsning
Vi får
a=2,b=3
A=a2+b2=22+32=4+9=13
2,3, og dermed 𝜑, ligger i første kvadrant.
tan𝜑=32
Vi kommer ikke videre med regning for hånd og bruker CAS i GeoGebra til å finne 𝜑.
Vi får
kx=13sinx2+0,98
Kontroll:
Her får vi bare tilnærmet riktig svar siden vi gjør utregningen med tilnærmede verdier, men det er godt nok for oss akkurat her. Vi kan få mer nøyaktig svar ved å erstatte tallet 0,98 med Høyreside($1) forutsatt at vi har utregningen av 𝜑 i linje 1 i CAS-vinduet.
2.3.42
Løs likningene ved regning for hånd hvis det er mulig. Kontroller svaret ved å løse likningene med CAS.
a) 2cos2x+2sin2x=2
Løsning
Vi må slå sammen cosinus- og sinusfunksjonen for å løse likningen.
A=a2+b2=22+22=4=2
Vinkelen 𝜑 må ligge i første kvadrant. Vi får
tanφ=ba=22=1⇔φ=π4
Kommentar: Vi kan bruke ekvivalenstegnet siden vi har slått fast at 𝜑 skal ligge i første kvadrant.
Vi får løsninger for k=0 og k=1 for begge de generelle løsningene.
L=0,π3,π,4π3
d) 2sin2x=2sinx-6sinx·cosx,0≤x<2π
Løsning
2sin2x=2sinx-6sinx·cosx sinx2sinx+6cosx-2=0
sinx=0∨2sinx+6cosx-2=0
Vi starter med den første likningen.
sinx=0x=0∨x=π
Den andre likningen gir
2sinx+6cosx=2
Vi må slå sammen sinus- og cosinusfunksjonen.
A=a2+b2=22+62=2+6=22
tan𝜑=62=62=3
Vinkelen 𝜑 må ligge i første kvadrant. Vi får
𝜑=π3
Likningen blir
22sinx+π3=2sinx+π3=12=122
x+π3=π4+k·2π∨x+π3=3π4+k·2πx=-π12+k·2π∨x=5π12+k·2π
For den første får vi løsning når k=1, for den andre får vi løsning når k=0. Løsningsmengden for den opprinnelige likningen blir
L=0,5π12,π,23π12
Merk at vi kunne ha løst den opprinnelige likningen ved å dividere alle ledd i likningen med sinx. Da ville vi bare ha stått igjen med den andre likningen vi løste over. Men da måtte vi ha sjekket om sinx=0 gir løsning av likningen, og det får vi siden alle ledd i likningen blir null. Vi hadde derfor kommet fram til samme løsning – rimeligvis.
Vi får løsninger for k=1 og k=2 for begge de generelle løsningene.
L=2π3,5π6,5π3,11π6
2.3.43
a) Skriv algoritmen til en funksjon "minFi(a, b)" som ut ifra konstantene a og b i uttrykkene asinkx og bcoskx regner ut 𝜑 i det sammenslåtte sinusuttrykket Asinkx+𝜑.
Til å regne ut 𝜑 kan du bruke funksjonen "atan(x)" fra Python-biblioteket "Math". Funksjonen regner ut vinkelen 𝜑 ut ifra at tan𝜑=x. NB: Funksjonen følger den vedtatte verdimengden for den omvendte tangensfunksjonen, arctanx, og gir bare vinkler i området 〈-π2,π2〉. Funksjonen "atan(x)" må derfor "korrigeres" for at pythonfunksjonen "minFi(a, b)" skal kunne gi vinkler i andre, tredje og fjerde kvadrant i første omløp.
Tips til oppgaven
Første trinn må være å sjekke at dersom både a og b er større enn null, er 𝜑 i første kvadrant, og funksjonen "atan(x)" trenger ikke å korrigeres. Funksjonen "minFi" kan i dette tilfellet returnere atan(b/a). Du må lage tilsvarende tester for de andre kvadrantene.
Til korrigeringen kan du få bruk for tallet π, som du kan hente fra biblioteket "Math" med kommandoen pi.
Forslag til algoritme til minFi(a, b)
Dersom a>0 og b>0 (første kvadrant): returner atan(b/a).
Hvis ikke: dersom a>0 og b<0 (fjerde kvadrant): returner atan(b/a) + 2π.
Hvis ikke: dersom a<0 og b>0 (andre kvadrant): returner atan(b/a) + π.
Hvis ikke: (tredje kvadrant): returner atan(b/a) + π.
b) Skriv algoritmen til et program som kan slå sammen uttrykkene fra oppgave a) ved at brukeren av programmet skriver inn konstantene a,b og k. Programmet skal bruke funksjonen "minFi(a, b)" til å regne ut konstanten 𝜑, og til slutt skal programmet skrive ut det sammenslåtte uttrykket Asinkx+𝜑.
Forslag til algoritme
Skriv til skjermen: "Dette programmet slår sammen uttrykket asinkx+bcoskx til en enkelt sinusfunksjon."
Skriv til skjermen: "Skriv inn a: "
Ta imot tallet fra brukeren og lagre det i variabelen a.