Enhetsformelen, supplement- og komplementvinkler

Definisjonene av cosinus- og sinusfunksjonen ut ifra figuren gir

$$ \begin{array}{rcl}a & =& \cos v\\ b & =& \sin v\end{array}$$

Bruk pytagorassetningen.

Pytagorassetningen gir

$$ a^2+b^2=1^2$$
$$ {\left(\cos v\right)}^2+{\left(\sin v\right)}^2=1$$

I andre, tredje eller fjerde kvadrant vil minst én av de trigonometriske verdiene $$ \sin v$$ og $$ \cos v$$ være negativ. Det er ikke noe problem for enhetsformelen siden verdiene blir kvadrert. Se eksempelet på bildet nedenfor når $$ v$$ er i andre kvadrant.

Vi observerer at de to skjæringspunktene (blått og rødt på figuren) mellom vinkelbeina til $$ u$$ og $$ v$$ og enhetssirkelen speiler hverandre om $$ y$$-aksen. Det betyr at de to punktene har samme $$ y$$-koordinat og motsatt $$ x$$-koordinat.

Siden $$ y$$-koordinatene tilsvarer sinus til vinkelen, får vi at

$$ \sin u=\sin v$$

Alternativt kan vi skrive dette som

$$ \sin \left(180°-v\right)=\sin v$$

$$ \sin \left(\pi -v\right)=\sin v$$

Supplementvinkler har samme sinusverdi.

Siden skjæringspunktene med enhetssirkelen har motsatt $$ x$$-koordinat, vil vinklene $$ u$$ og $$ v$$ ha motsatt cosinusverdi. Matematisk skriver vi dette som

$$ \cos u=-\cos v$$

eller

$$ \cos \left(180°-v\right)=-\cos v$$

eller

$$ \cos \left(\pi -v\right)=-\cos v$$

I en av oppgavene skal du utforske og se om formlene gjelder dersom vinkelen $$ v$$ blir større enn 180°.

$$ u=90°-v$$

eller

$$ u=\frac{\pi }{2}-v$$

$$ \begin{array}{rcl}\sin v & =& \frac{b}{c}, \cos v=\frac{a}{c}, \tan v=\frac{b}{a}\\ \sin u & =& \frac{a}{c}, \cos u=\frac{b}{c}, \tan u=\frac{a}{b}\end{array}$$

Vi får at

$$ \begin{array}{rcl}\cos v & =& \sin u\\ \sin v & =& \cos u\\ \tan v & =& \frac{b}{a}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{a}{b}}}=\frac{1}{\tan u}\end{array}$$

Den første formelen blir

$$ \cos v=\sin \left(90°-v\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-v\right)$$

Med ord: Cosinus til en vinkel er lik sinus til komplementvinkelen.

Tilsvarende får vi at

$$ \sin v=\cos \left(90°-v\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-v\right)$$

Med ord: Sinus til en vinkel er lik cosinus til komplementvinkelen.

$$ \tan v=\frac{1}{\tan \left(90°-v\right)}=\frac{1}{\tan \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-v\right)}$$

Med ord: Tangens til en vinkel er lik 1 delt på tangens til komplementvinkelen.

Merk: Her har vi bare vist at setningene gjelder for vinkler mellom 0° og 90°, men det er mulig å vise at setningen gjelder for alle vinkler $v$.

$$ \tan \left(180\begin{array}{rcl}& & °\end{array}\begin{array}{rcl}& & -\end{array}\begin{array}{rcl}& & v\end{array}\right)=\frac{\sin \left(180\begin{array}{rcl}& & °\end{array}\begin{array}{rcl}& & -\end{array}\begin{array}{rcl}& & v\end{array}\right)}{\cos \left(180\begin{array}{rcl}& & °\end{array}\begin{array}{rcl}& & -\end{array}\begin{array}{rcl}& & v\end{array}\right)}=\frac{\sin v}{-\cos v}=-\tan v$$

I den venstre enhetssirkelen over har vi at vinkelen som er markert og ligger i tredje kvadrant, er 180 grader større enn vinkel $$ v$$. Fra figuren får vi at disse to vinklene har sinus- og cosinusverdier med motsatt fortegn av hverandre. Det betyr at

$$ \begin{array}{rcl}\sin \left(v+180°\right) & =& -\sin v\\ \cos \left(v+180°\right) & =& -\cos v\end{array}$$

Vi får videre at

$$ \tan \left(v+180°\right)=\frac{\sin \left(v+180°\right)}{\cos \left(v+180°\right)}=\frac{-\sin v}{-\cos v}=\tan v$$

I den høyre enhetssirkelen over er vinklene $$ v$$ og $$ -v$$ markert. Figuren gir at vinklene har samme cosinusverdi, mens sinusverdiene har motsatt fortegn. Det betyr at

$$ \begin{array}{rcl}\sin \left(-v\right) & =& -\sin v\\ \cos \left(-v\right) & =& \cos v\\ \tan \left(-v\right) & =& \frac{\sin \left(-v\right)}{\cos \left(-v\right)}=\frac{-\sin v}{\cos v}=\tan v\end{array}$$

Grunnleggende trigonometriske formler:

$$ \sin v=\cos \left(\frac{\pi }{2}-v\right)$$ ,    $$ \cos v=\sin \left(\frac{\pi }{2}-v\right)$$

$$ $ \tan v=\frac{1}{\tan \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}-v}\right)}$$$ ,    $$ $ {\cos }^{2}v+{\sin }^{2}v=1$$$

$$ -\cos v=\cos \left(\pi -v\right)$$ ,    $$ \sin v=\sin \left(\pi -v\right)$$ ,    $$ $ -\tan v=\tan \left(\pi -v\right)$$$

$$ -$ \cos v=\cos \left(\pi +v\right)$$$ ,    $$ -$ $ \sin v=\sin \left(\pi +v\right)$$$$ ,    $$ $ \tan v=\tan \left(\pi +v\right)$$$

$$ \cos v=\cos \left(-v\right)$$ ,    $$ -\sin v=\sin \left(-v\right)$$ ,    $$ -\tan v=\tan \left(-v\right)$$