Eksempel på anvendelse av parameterframstilling

Vi vil i denne artikkelen se på et eksempel på hvordan vi kan anvende rette linjer i virkeligheten. I oppgavene vil du også finne noen eksempler på andre kurver.

For båter som ferdes på havet, ønsker vi til enhver tid oversikt over avstander mellom dem og avstander til eventuelle skjær i sjøen. Farten til båtene kan det også være greit å ha oversikt over.

Reiseruta til to båter de første 5 timene er beskrevet med parameterframstillingene $m$ og $n$ gitt ved

$$ m:\left\{\begin{array}{l}x=20+30t\\ y=60-40t\end{array}\right. , n:\left\{\begin{array}{l}x=20s\\ y=-30+20s\end{array}\right.$$

Parametrene $s$ og $t$ står for antall timer siden båtene startet. Lengdemålene både i $$ x$$-retningen og $$ y$$-retningen er gitt i kilometer.

Parameteren $$ t$$ er tida til båt $$ A$$, båten som følger reiseruta $$ m$$. Denne båten starter når $$ t=0$$, det vil si i punktet

$$ \left(20+30·0, 60-40·0\right)=\left(20, 60\right)$$

Etter for eksempel 30 minutter er båten i punktet

$$ \left(20+30·0,5, 60-40·0,5\right)=\left(35, 40\right)$$

På tilsvarende måte er parameteren $$ s$$ tida til båt $$ B$$, båten som følger reiseruta $$ n$$. Hvilket punkt starter denne båten i, og hvor er denne båten 30 minutter etter at den starter?

Vil båtene kollidere?

For å finne svaret på dette må vi første finne ut om båtenes reiserute krysser hverandre. Hvordan kan vi ved regning finne skjæringspunktet mellom linjene som beskriver reiserutene til båtene?

I skjæringspunktet er både $y$-koordinatene og $x$-koordinatene like store. Vi setter uttrykkene for $x$-koordinatene lik hverandre, og gjør det samme med uttrykkene for $y$-koordinatene. Da får vi to likninger med to ukjente:

$$ \begin{array}{l}20+30t=20s \left(1\right)\\ \\ 60-40t=-30+20s \left(2\right)\end{array}$$

Den første likningen gir

$$ \begin{array}{rcl}20+30t & =& 20s\\ & \Downarrow & \\ s & =& \frac{2+3t}{2}\end{array}$$

Innsatt i likning 2 får vi

$$ \begin{array}{rcl}60-40t & =& -30+20s\\ & \Downarrow & \\ 60-40t & =& -30+20·\frac{2+3t}{2}\\ & \Downarrow & \\ 60-40t & =& -30+20+30t\\ & \Downarrow & \\ -70t & =& -70\\ & \Downarrow & \\ t & =& 1\end{array}$$

Da har vi verdien til parameteren $t$ i skjæringspunktet. Innsatt i parameterframstillingen for linja $m$ får vi

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}x=20+30·1=50\\ \\ y=60-40·1=20\end{array} \\ \end{gathered}$$

Skjæringspunktet er $$ (50, 20)$$.$$

I GeoGebra kan du finne skjæringspunktet mellom kurvene ved kommandoen "Skjæring(<Objekt>,<Objekt>)", og du skriver Skjæring(m,n).

Har vi nå funnet ut at båtene kolliderer?

Begrenset bruk

Bilde: NTB scanpix, Shutterstock

Vi antar at båtene startet samtidig. Da vil tidsparametrene starte samtidig for begge båtene.

I skjæringspunktet er $x$-koordinaten lik 50.

Som vi regnet ut over, vil båt $$ A$$ nå dette punktet når  $$ t=1$$, det vil si etter 1 time.

For å finne ut når båt $$ B$$ er i det samme punktet, kan vi sette $$ x$$-koordinaten lik 50:

$$ \begin{array}{rcl}20s & =& 50\\ & \Downarrow & \\ s & =& 2,5\end{array}$$.

Det vil si at båt $$ B$$ er i punktet først etter 2,5 timer, altså vil ikke båtene kollidere.

Hvis vi derimot lar båt $$ B$$ starte 1,5 timer før båt $$ A$$, vil de nå skjæringspunktet samtidig, og det vil være akutt fare for kollisjon.

I den interaktive figuren under kan du selv se hva som skjer når båtene starter samtidig. Trykk på knappen for å slå sporingen av og på, og dra i den sorte knappen:

I parameterframstillingene for båtene har vi brukt ulike parametre for båt $$ A$$ og båt $$ B$$. Det er fordi vi i utgangspunktet ikke kan si at de starter samtidig, og da må parameterne være ulike. Hvis vi bestemmer at båtene starter samtidig, kan vi bruke den samme parameteren i begge parameterframstillingene.

$$ m:\left\{\begin{array}{l}x=20+30t\\ y=60-40t\end{array}\right. , n:\left\{\begin{array}{l}x=20t\\ y=-30+20t\end{array}\right.$$

Vi kan nå finne et uttrykk som viser avstanden mellom båtene som en funksjon av $$ t$$.

Vektoren mellom et vilkårlig punkt på reiseruta til båt $$ A$$ og et vilkårlig punkt på reiseruta til båt $$ B$$ kan skrives som

$$ \left[20t-(20+30t), -30+20t-(60-40t)\right]=\left[-20-10t, -90+60t\right]$$

Lengden til denne vektoren viser avstanden mellom båtene som funksjon av tida.

$$ \begin{array}{rcl}\left|\left[-20-10t, -90+60t\right]\right| & =& \sqrt{{\left(-20-10t\right)}^2+{\left(-90+60t\right)}^2}\\ & =& \sqrt{3700t^2-10400t+8500}\end{array}$$

Vi tegner grafen til avstandsfunksjonen og finner grafisk den minste verdien denne funksjonen kan ha.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

Båtene $$ A$$ og $$ B$$ har minst avstand etter 1,4 timer. Da er avstanden 35 kilometer.

Løsning i CAS

Vi kan løse alle trinnene i eksempelet over i CAS. Legg merke til at vi må kalle vektorene for henholdsvis $$ m\left(t\right)$$ og $$ n\left(s\right)$$ for at vi skal kunne bruke dem videre i CAS. Dette gir oss notasjon som vektorfunksjoner, som vi vil komme inn på lenger ned på sida.

Vi begynner med å definere vektorene og å finne posisjonene til båt $$ A$$ etter en time og etter en halv time og båt $$ B$$ etter en halv time:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

Vi fortsetter med å sette opp likningssettet og finne punktet der de to rutene krysser hverandre:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

Til slutt finner vi korteste avstand:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

I posisjonen$$ \left(42, 31\right) $$ligger det et skjær. Reiseruta til båt $$ A$$ bør av sikkerhetsmessige grunner ikke være nærmere enn 200 meter fra skjæret.

Vi finner den minste avstanden fra skjæret til båtens reiserute.
En vektor mellom skjæret og et generelt punkt på båtens reiserute er gitt ved

$$ \left[20+30t-42, 60-40t-31\right]=\left[30t-22, -40t+29\right] $$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

Båt $$ A$$ har sin korteste avstand til skjæret når denne vektoren står normalt på retningsvektoren for båtens reiserute, det vil si når skalarproduktet mellom retningsvektoren og avstandsvektoren er lik 0. Her velger vi å løse i CAS:

Den korteste vektoren mellom skjæret og båtens reiserute blir da

$$ \left[30·\frac{91}{125}-22, -40·\frac{91}{125}+29\right] =\left[-\frac{4}{25},-\frac{3}{25}\right]$$

Denne vektoren har lengde

$$ \sqrt{\frac{16}{{25}^2}+\frac{9}{{25}^2}}=\sqrt{\frac{25}{25·25}}=\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}$$

Den korteste avstanden fra skjæret til reiseruta til båt $$ A$$ er $$ \frac{1}{5}\mathrm{km}=200 \mathrm{m}$$. Det vil si at reiseruta til båt $$ A$$ holder sikker avstand til skjæret.

Til nå har vi stort sett arbeidet med parameterframstillinger på koordinatform. Vi minner om at denne måten å skrive ei linje på er en omskriving av posisjonsvektoren.

Vi tar for oss båt $$ A$$ og skriver parameterframstillingen slik:

$$ m:\left\{\begin{array}{l}x=20+30t\\ y=60-40t\end{array}\right.=\left[20+30t,60-40t\right]$$

Ofte velger vi å skrive parameterframstillinger som det vi kaller vektorfunksjoner. Akkurat som vi ofte bruker $$ f\left(x\right)$$ som standardnavn på vanlige funksjoner, bruker vi $$ \overrightarrow{r}\left(t\right)$$ som standardnavn på vektorfunksjoner som angir posisjonen til et punkt. Da blir posisjonen til båt $$ A$$ slik:

$$ $ \overrightarrow{r}\left(t\right)=\left[20+30t,60-40t\right]$$$

Du har tidligere jobbet med å finne vekstfarten til funksjoner ved hjelp av derivasjon. Dette kan vi også gjøre med vektorfunksjoner. Vi finner fartsvektoren, oftest gitt ved $$ \overrightarrow{v}\left(t\right)$$ , ved å derivere begge koordinatene hver for seg. Farten finner vi ved å regne ut lengden av denne fartsvektoren. Vi finner farten til båt $$ A$$:

$$ \overrightarrow{v}\left(t\right)={\overrightarrow{r}}^{ \text{'}}\left(t\right)=\left[30,-40\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}v =\left|\overrightarrow{v}\right|& =& \sqrt{{30}^2+{\left(-40\right)}^2}\\ & =& \sqrt{2 500}\\ & =& 50\end{array} \\ & & \end{array}$$

Siden parameteren $$ t$$ står for timer og enheten på aksene er km, betyr dette at farten til båt $$ A$$ er 50 km/h. (Som oftest oppgis farten i knop til sjøs.)

Når vi har med rette linjer å gjøre, vil farten alltid bli konstant, og dermed vil akselerasjonen være lik 0. I oppgavene vil du møte på oppgaver med andre kurver. Da kan vi også finne akselerasjonen ved å derivere enda en gang.