Parameterframstillinger for linjer

Vi bruker $$ \overrightarrow{AB}$$:

$$ \overrightarrow{r_l}=\overrightarrow{AB}=\left[3-2,4-2\right]=\left[1,2\right]$$

Vi finner stigningstallet til ei linje ved å dele endringen i $$ y$$ på endringen i $$ x$$. Det betyr at vi kan finne stigningstallet til ei linje ved å dele $$ y$$-komponenten i retningsvektoren på $$ x$$-komponenten:

$$ \mathrm{stigningstallet} = \frac{y_{\overrightarrow{r_l}}}{x_{\overrightarrow{r_l}}}=\frac{2}{1}=2$$

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=2+2t\end{array}\right.$$

Hvis $$ B$$ skal ligge på linja, må vi finne en $$ t$$ slik at begge koordinatene til $$ B$$ passer i parameterframstillingen til $$ l$$. Vi setter først $$ x=3$$, og så sjekker vi om den $$ t$$-verdien vi da får gir $$ y=4$$:

$$ \begin{array}{l}x=2+t\\ 3=2+t\\ t=1\\ \\ y=2+2·1=2+2=4\end{array}$$

Vi ser at punktet $$ B$$ ligger på linja.

For å tegne linja for hånd trenger vi ett punkt i tillegg til startpunktet i parameterframstillingen, som er $$ \left(3,1\right)$$.

Vi setter inn $$ t=1$$:

$$ \begin{array}{l}x=3-2·1=3-2=1\\ y=1+1=2\end{array}$$

Vi tegner inn de to punktene og trekker linja mellom dem.

For å tegne linja i GeoGebra skriver vi

Kurve(3-2t,1+t,t,-3,3)

for å få fram linja. Husk at vi må velge et intervall for $$ t$$ for at GeoGebra skal kunne tegne linja.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

Vi bruker den samme retningsvektoren som i $$ m$$:

$$ \left\{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=2+t\end{array}\right.$$

Vi ser på retningsvektorene til linjene:

$$ \overrightarrow{r_l}=\left[-4,2\right]=2·\left[-2,1\right]=2·\overrightarrow{r_m}$$

Siden retningsvektorene er parallelle, er også linjene parallelle.

Vi ser at punktet (1,2) ligger både på $$ m$$ og $$ n$$. I tillegg har vi at de to vektorene er parallelle. Dermed er de to linjene identiske.

To linjer står vinkelrett på hverandre dersom de to retningsvektorene står vinkelrett på hverandre. Vi viser at skalarproduktet mellom de to retningsvektorene er lik 0:

$$ \left[-2,1\right]·\left[-1,-2\right]=\left(-2\right)·\left(-1\right)+1·\left(-2\right)=2-2=0$$

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=3-5t\\ y=-2+2t\end{array}\right.$$

Vi undersøker $$ B$$ først:

$$ \begin{array}{l}-2=3-5t\\ -5=-5t\\ t=1\\ \\ y=-2+2·1=-2+2=0\end{array}$$

$$ B$$ ligger altså på linja.

Så undersøker vi $$ C$$:

$$ \begin{array}{l}2=3-5t\\ -1=-5t\\ t=\frac{1}{5}\\ \\ y=-2+2·\frac{1}{5}=-2+\frac{2}{5}\ne 4\end{array}$$

Vi ser at $$ C$$ ikke ligger på linja.