Å anvende parameterframstillinger

Vi begynner med linje $$ l$$:

$$ \begin{array}{llll}x=0& & & y=0\\ 2t=0& & & 2-t=0\\ t=0& & & t=2\\ y=2-0=2& & & x=2·2=4\end{array}$$

Linja $$ l$$ sine skjæringspunkter med aksene er $$ (0,2)$$ og $$ (4,0)$$.

$$ \begin{array}{lll}x=0& & y=0\\ 3+s=0& & 2+s=0\\ s=-3& & s=-2\\ y=2+\left(-3\right)=-1& & x=3+\left(-2\right)=1\end{array}$$

Linja $$ m$$ sine skjæringspunkter med aksene er $$ (0,-1)$$ og $$ (1,0)$$.

$$ \begin{array}{lll}2t=3+s& 2-t=2+s& \\ s=2t-3& 2-t=2+\left(2t-3\right)& \\ & 3=3t\Rightarrow t=1& \\ & & \\ x=2·1=2& & \\ y=2-1=1& & \end{array}$$

Skjæringspunktet er $$ (2,1)$$.

For at kulene skal være på det samme stedet samtidig, må $$ s = t$$ i skjæringspunktet:

$$ \begin{array}{lll}2t=3+s& 2-t=2+s& \\ s=2t-3& 2-t=2+\left(2t-3\right)& \\ & 3=3t\Rightarrow t=1& \\ s=2·1-3=-1& & \end{array}$$

Vi ser at de to parameterne ikke er like, altså er ikke kulene i skjæringspunktet samtidig.

Vi finner farten ved å finne lengden av fartsvektorene.

Først $$ l$$:

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{l}\left(t\right) & =& \left[2t,2-t\right]\\ \overrightarrow{v}\left(t\right) & =& \left[2,-1\right]\\ v & =& \sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}\\ & =& \sqrt{5}\\ & & \end{array}$$

Kula sin fart er $$ \sqrt{5} \mathrm{m}/\mathrm{s}$$.

Så $$ m$$:

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{m}\left(t\right) & =& \left[3+s,2+s\right]\\ {\overrightarrow{m}}^{\text{'}}\left(t\right) & =& \left[1,1\right]\\ v & =& \sqrt{1^2+1^2}\\ & =& \sqrt{2}\end{array}$$

Denne kula sin fart er $$ \sqrt{2} \mathrm{m}/\mathrm{s}$$.

Vi bytter parameter i den ene linja og løser likningssystemet:

$$ \begin{array}{lll}5t=15+3s& 2t=20-3s& \\ t=3+\frac{3}{5}s& 2\left(3+\frac{3}{5}s\right)=20-3s& \\ & 6+\frac{6}{5}s=20-3s\Rightarrow s=\frac{10}{3}& \\ x=15+3·\frac{10}{3}=25& & \\ y=20-3·\frac{10}{3}=10& & \end{array}$$

Vi har at koordinatene til det felles busstoppet er $$ (25,10)$$.

Hvis bussene skal være på busstoppet samtidig, må det finnes en $$ t$$ slik at begge linjene gir punktet $$ (25,10)$$. Vi vet at $$ \frac{10}{3}$$ gir dette for linje $$ b$$. Vi sjekker for linje $$ a$$:

$$ \begin{array}{l}x=5·\frac{10}{3}=\frac{50}{3}\ne 25\\ y=2·\frac{10}{3}=\frac{20}{3}\ne 10\end{array}$$

Bussene er altså ikke på busstoppet samtidig.

Vi vet at bussen fra stasjon $$ B$$ bruker 3 minutter og 20 sekunder til det felles busstoppet. (Dette vet vi fordi  $$ t=\frac{10}{3}$$.)

Vi finner ut hva $$ t$$ er i møtepunktet for bussen som kommer fra sentralstasjonen:

$$ \begin{array}{l}x=5·t=25\\ y=2·t=10\\ t=5\end{array}$$

Bussen fra sentralstasjonen er på møtepunktet klokka 15.25, det vil si at bussen fra stasjon $$ B$$ må gå tidligst 15.21.40 fra stasjonen.

Her opererer vi med konstant fart, selv om vi vet at busser stopper på busstoppene:

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}\left(t\right) & =& \left[5t,2t\right]\\ {\overrightarrow{a}}^{\text{'}}\left(t\right) & =& \left[5,2\right]\\ v & =& \sqrt{5^2+2^2}\\ & =& \sqrt{29}=5,38\approx 5,4\end{array}$$

Siden enheten på aksene er 100 m og parameteren $$ t$$ står for minutter, betyr det at bussen beveger seg 540 m per minutt. Vi gjør om til $$ \mathrm{km}/\mathrm{h}$$:

$$ \begin{array}{rcl}1\min & =& \frac{1}{60}\mathrm{h}\\ 540\mathrm{m} & =& 0,54\mathrm{km}\\ 0,54\mathrm{km}/\min & =& \frac{0,54\mathrm{km}}{{\displaystyle \frac{1}{60}}\mathrm{h}}\\ & =& 32,4\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ & & \end{array}$$

Vi finner en retningsvektor:

$$ \begin{array}{l}{\overrightarrow{r}}_l=\overrightarrow{AB}=\left[2-\left(-3\right),3-4\right]=\left[5,-1\right]\\ l:\left\{\begin{array}{l}x=2+5t\\ y=3-t\end{array}\right.\end{array}$$

Her valgte vi punkt $$ B$$ som utgangspunkt for parameterframstillingen, men vi kunne også ha valgt $$ A$$:

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=-3+5t\\ y=4-t\end{array}\right.$$

$$ m:\left\{\begin{array}{l}x=0+7s\\ y=0+2s\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{l}x=7s\\ y=2s\end{array}\right.$$

$$ \begin{array}{llll}2+5t=7s& & 3-t=2s& \\ & & t=3-2s& \\ 2+5\left(3-2s\right)=7s& & & \\ 17=17s\Rightarrow s=1& & & \\ & & & \\ x=7& & & \\ y=2& & & \end{array}$$

Skjæringspunktet er $$ (7,2)$$.

Vi må finne en vektor som står vinkelrett på retningsvektoren til $$ l$$. Vi vet at vektorene $$ \left[x,y\right] \mathrm{og} \left[-y,x\right]$$ er ortogonale, så vi kan bruke følgende vektor:

$$ {\overrightarrow{r}}_n=\left[1,5\right]$$

Vi må først finne en parameterframstilling for linja:

$$ n:\left\{\begin{array}{l}x=7+s\\ y=2+5s\end{array}\right.$$

Så setter vi de to koordinatene lik 0 for å finne skjæringspunktene:

$$ \begin{array}{l}x=7+s=0\\ s=-7\\ y=2+5·\left(-7\right)=2-35=-33\\ \\ y=2+5s=0\\ s=-\frac{2}{5}\\ x=7+\left(-\frac{2}{5}\right)=\frac{33}{5}\end{array}$$

Skjæringspunktene er altså $$ (0,-33)$$ og $$ \left(\frac{33}{5},0\right).$$

Vi skriver Kurve(20t,2+20t-4.9t2,t,0,5) i GeoGebra og får denne kurven:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Tove Annette Holter

Spydet treffer bakken når  $$ y=0$$. Vi løser likningen (løs den gjerne i CAS):

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}2+20t+4,9t^2=0\\ t=-0,1\vee t=4,18\end{array} \\ \end{gathered}$$

Vi kan bare bruke den positive løsningen, så spydet lander etter cirka 4,18 sekunder.

Lengden på kastet finner vi ved å sette inn  $$ t=4,18$$  i $$ x$$-koordinaten.

Her må vi finne ekstremalpunktet til kurven. I en vanlig funksjon gjør vi dette ved å sette den deriverte lik 0, og det gjør vi også i en vektorfunksjon. Siden det er høyden vi skal finne, er det $$ y$$-koordinaten vi må derivere:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(2+20t-4,9t^2\right)}^{\text{'}} & =& 0\\ t & =& 2,04\end{array}$$

Vi setter inn i $$ y$$-koordinaten:

$$ \begin{array}{rcl}y & =& 2+20·2,04-4,9·2,{04}^2\\ & =& 22,41\\ & \approx & 22,4\end{array}$$

Vi ser at spydet er på sitt høyeste etter cirka 2 sekunder, og at spydet er cirka 22,4 m over bakken da.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{s}\left(t\right)& =& \left[20t,2+20t-4,9t^2\right]\\ \overrightarrow{v}\left(t\right) & =& {\overrightarrow{s}}^{ \text{'}}\left(t\right)=\left[20,20-9,8t\right]\\ \overrightarrow{a}\left(t\right) & =& {\overrightarrow{s}}^{ \text{'}\text{'}}\left(t\right)={\overrightarrow{v}}^{ \text{'}}\left(t\right)=\left[0,-9,8\right]\\ a & =& \left|\overrightarrow{a}\left(t\right)\right|\\ & =& \sqrt{0^2+{\left(-9,8\right)}^2}\\ & =& \sqrt{9,8^2}\\ & =& 9,8\end{array}$$

Akselerasjonen er altså 9,8 m/s².