Parameterframstillinger for linjer

Gitt to punkter $A$ og $B$. La $P$ være et vilkårlig punkt på linja gjennom $A$ og $B$. Da vil det alltid finnes en skalar $t$ slik at

$\overrightarrow{AP}=t·\overrightarrow{AB}$

Posisjonsvektoren til punktet $P$ kan da skrives som

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\\ & & \\ \overrightarrow{OP}& =& \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{AB}\end{array}$

Når $$ t$$ gjennomløper alle verdier, vil $$ P$$ gjennomløpe hele linja.
Variabelen $$ t$$ kalles en parameter.
Posisjonsvektoren $\overrightarrow{OP}$ beskriver linja gjennom $A$ og $B$ ved hjelp av parameteren $$ t$$, og vi har en parameterframstilling av linja.

La $A$ ha koordinatene $(1, 4)$, og $B$ koordinatene $(3, 3)$.

Parameterframstillingen for linja $$ l$$ gjennom $A$ og $B$ blir

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{AB}\\ & & \\ & =& \left[1, 4\right]+t\left[3-1, 3-4\right]\\ & & \\ & =& \left[1, 4\right]+t\left[2, -1\right]\\ & & \\ & =& \left[1+2t, 4-t\right]\end{array}$

På koordinatform får vi

$x=1+2t \wedge y=4-t$

Det er vanlig å skrive parameterframstillingen til linja $$ l$$ på formen

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=4-t\end{array}\right.$$

Ved papir og blyant

Vi lager en tabell som viser $x$- og $y$-koordinatene for utvalgte verdier av $t$.

$x=1+2t \wedge y=4-t$

Vi kan så plotte punktene, $x$- og $y$- koordinatene, i et koordinatsystem, og trekke en kurve gjennom punktene. I dette tilfelle blir kurven ei rett linje.

Digitalt

På skrivelinja i GeoGebra kan du bruke kommandoen "Kurve(<Uttrykk>,<Uttrykk>,<Parametervariabel>,<Start>,<Slutt>)" og for eksempel skrive Kurve(1+2t, 4-t, t, -1, 5) for å få plottet linjestykket for $t$-verdier mellom $$ -1$$ og 5.

(Legg merke til at dette ikke er det samme som at $$ x$$ ligger mellom -1 og 5!)

I stedet for å kjenne to punkter på linja, er det nok å kjenne ett punkt $A=\left(x_0, y_0\right)$ på linja og en tilfeldig vektor $\left[a, b\right]$ som er parallell med linja. Vi kaller en slik vektor for en retningsvektor for linja.

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\\ & & \\ & =& \left[x_0, y_0\right]+t·\left[a, b\right]\\ & & \\ & =& \left[x_0+at, y_0+bt\right]\end{array}$$

Nyttig å vite!

Legg også merke til at linjene

$$ m: \left\{\begin{array}{l}x=x_1+at\\ y=y_1+bt\end{array}\right. \mathrm{og} n: \left\{\begin{array}{l}x=x_2-bt\\ y=y_2+at\end{array}\right.$$

står normalt på hverandre siden retningsvektorene til linjene gjør det.

$\left[a, b\right]\perp \left[-b, a\right]$

siden

$[a, b]·[-b, a]=a·\left(-b\right)+b·a=0$