Hopp til innhold

Fagstoff

Parameterframstillinger for linjer

Ei linje kan beskrives ved posisjonsvektoren til et generelt punkt på linja.

Parameterframstilling

Bildet viser to punkter, A og B, og ei linje gjennom disse punktene. Dessuten vises et punkt P på linja, i tillegg til posisjonsvektorene til alle punktene. Skjermutklipp. — Parameterframstilling

Gitt to punkter $A$ og $B$ . La $P$ være et vilkårlig punkt på linja gjennom $A$ og $B$ . Da vil det alltid finnes en skalar $t$ slik at

$\vec{A P} = t \cdot \vec{A B}$

Posisjonsvektoren til punktet $P$ kan da skrives som

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & \vec{O A} + \vec{A P} \\ \vec{O P} & = & \vec{O A} + t \cdot \vec{A B} \end{array}$

Når $t$ gjennomløper alle verdier, vil $P$ gjennomløpe hele linja.
Variabelen $t$ kalles en parameter.
Posisjonsvektoren $\vec{O P}$ beskriver linja gjennom $A$ og $B$ ved hjelp av parameteren $t$ , og vi har en parameterframstilling av linja.

La $A$ ha koordinatene $(1, 4)$ , og $B$ koordinatene $(3, 3)$ .

Parameterframstillingen for linja $l$ gjennom $A$ og $B$ blir

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & \vec{O A} + t \cdot \vec{A B} \\ = & [1, 4] + t [3 - 1, 3 - 4] \\ = & [1, 4] + t [2, - 1] \\ = & [1 + 2 t, 4 - t] \end{array}$

På koordinatform får vi

$x = 1 + 2 t \land y = 4 - t$

Det er vanlig å skrive parameterframstillingen til linja $l$ på formen

$l : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 4 - t \end{cases}$

Hvordan framstiller vi kurven?

Ved papir og blyant

Vi lager en tabell som viser $x$ - og $y$ -koordinatene for utvalgte verdier av $t$ .

$x = 1 + 2 t \land y = 4 - t$

Vi kan så plotte punktene, $x$ - og $y$ - koordinatene, i et koordinatsystem, og trekke en kurve gjennom punktene. I dette tilfelle blir kurven ei rett linje.

t	0	1	2	3	4	5
x	1	3	5	7	9	11
y	4	3	2	1	0	-1

Digitalt

På skrivelinja i GeoGebra kan du bruke kommandoen "Kurve(<Uttrykk>,<Uttrykk>,<Parametervariabel>,<Start>,<Slutt>)" og for eksempel skrive Kurve(1+2t, 4-t, t, -1, 5) for å få plottet linjestykket for $t$ -verdier mellom $- 1$ og 5.

(Legg merke til at dette ikke er det samme som at $x$ ligger mellom -1 og 5!)

Bildet viser linja x lik 2 t pluss 1, y lik minus t pluss 4 for t mellom minus 1 og 5. Skjermutklipp.

Generell kurve

Bildet viser ei linje med et fast punkt A lik x-null y-null på linja og et vilkårlig punkt P lik x y på linja. Dessuten vises vektoren a,b parallell med linja. Skjermutklipp. — Parameterframstilling

I stedet for å kjenne to punkter på linja, er det nok å kjenne ett punkt $A = (x_{0}, y_{0})$ på linja og en tilfeldig vektor $[a, b]$ som er parallell med linja. Vi kaller en slik vektor for en retningsvektor for linja.

Vi får

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & \vec{O A} + \vec{A P} \\ = & [x_{0}, y_{0}] + t \cdot [a, b] \\ = & [x_{0} + a t, y_{0} + b t] \end{array}$

Ei linje $l$ gjennom punktet $A = (x_{0}, y_{0})$ med retningsvektor $[a, b]$ , har parameterframstillingen
$l : \{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \end{cases}$

Nyttig å vite!

Legg også merke til at linjene

$m : \{\begin{cases} x = x_{1} + a t \\ y = y_{1} + b t \end{cases} og n : \{\begin{cases} x = x_{2} - b t \\ y = y_{2} + a t \end{cases}$

står normalt på hverandre siden retningsvektorene til linjene gjør det.

$[a, b] ⊥ [- b, a]$

siden

$[a, b] \cdot [- b, a] = a \cdot (- b) + b \cdot a = 0$

Video: Tom Jarle Christiansen

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist faglig oppdatert 10.05.2021

Læringsressurser

Parameterframstillinger til linjer i planet