Skjæring med koordinataksene. Linja på likningsform.

For å finne skjæringen med $$ x$$-aksen setter vi $$ y$$ lik 0:

$$ \begin{array}{l}1+t=0\\ t=-1\\ x=3-2·\left(-1\right)=3+2=5\end{array}$$

Skjæringspunktet med $$ x$$-aksen er altså $$ \left(5,0\right)$$.

For å finne skjæringen med $$ y$$-aksen setter vi $$ x$$ lik 0:

$$ \begin{array}{l}3-2t=0\\ 3=2t\\ t=\frac{3}{2}\\ y=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\end{array}$$

Skjæringen med $$ y$$-aksen er $$ \left(0,\frac{5}{2}\right)$$.

Vi finner først en parameterframstilling for linja:

$$ l:=\left\{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=4+t\end{array}\right.$$

Så finner vi skjæringspunktene på samme måte som i a).

$$ \begin{array}{l}x=2-2t=0\\ 2t=2\\ t=1\\ y=4+1=5\\ \\ y=4+t=0\\ t=-4\\ x=2-2·\left(-4\right)=2+8=10\end{array}$$

Skjæringspunktene er altså $$ \left(0,5\right)$$ og $$ \left(10,0\right)$$.

Siden linja har stigningstall 3, betyr det at hvis man går ett skritt på $$ x$$-aksen, må man gå 3 skritt på $$ y$$-aksen. Da kan vi bruke vektoren $$ \overrightarrow{r}=\left[1,3\right]$$.

$$ l:=\left\{\begin{array}{l}x=2+1t\\ y=0+3t\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{l}2+t\\ 3t\end{array}\right.$$

Vi setter $$ x$$ lik 0:

$$ \begin{array}{l}2+t=0\\ t=-2\\ \\ y=3·\left(-2\right)=-6\end{array}$$

Vi har at linja krysser $$ y$$-aksen i $$ \left(0,-6\right)$$ og har stigningstallet 3. Det gir likningen

$$ y=3x-6$$

Vi finner først en retningsvektor for linja:

$$ \overrightarrow{AB}=\left[5-1,1-5\right]=\left[4,-4\right]$$

Vi kan bruke denne vektoren, men vi kan også bruke en hvilken som helst vektor som er parallell med denne. Det kan ofte være lurt å "forkorte" vektoren, så vi bruker
$$ {\overrightarrow{r}}_l=\frac{1}{4}\left[4,-4\right]=\left[1,-1\right]$$.

Dette gir følgende parameterframstilling:

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=5-t\end{array}\right.$$

Vi finner et uttrykk for $$ t$$ ved hjelp av den ene variabelen. Her velger vi $$ x$$:

$$ \begin{array}{l}x=1+t\\ t=x-1\\ y=5-\left(x-1\right)=5-x+1\\ y=-x+6\end{array}$$

$$ \begin{array}{l}\mathrm{stigningstall}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{1-5}{5-1}=\frac{-4}{4}=-1\\ y-y_1=a\left(x-x_1\right)\\ y-5=-1\left(x-1\right)\\ y=-x+1+5\\ y=-x+6\end{array}$$