Posisjonsvektor og vektor mellom punkter

Vektoren fra origo $O(0, 0)$ til punktet $P(7, 2)$ har koordinatene
$$ \overrightarrow{OP}=7·\overrightarrow{e_x}+2·\overrightarrow{e_y}=\left[7, 2\right]$$

Vi ser at koordinatene til vektoren er de samme som koordinatene til punktet, og $$ \overrightarrow{OP}$$ kalles for posisjonsvektoren til punktet $P$.

Gitt punktene $A(2, 4)$ og $B(7, 1)$.

Vektoren mellom punktene er tegnet på figuren.

Vi skal finne koordinatene til vektoren som har utgangspunkt i $A$ og endepunkt i $B$, $$ \overrightarrow{AB}$$.

Kan du lese av koordinatene på figuren til høyre?

Vi kan også finne koordinatene ved «å gå en omvei om origo» og bruke posisjonsvektorene til de to punktene.

Vi har:

$$ \begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OA}\\ \\ \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \end{array}$$

Vektoren fra punkt $A$ til punkt $B$, $\overrightarrow{AB}$ kan altså uttrykkes ved hjelp av posisjonsvektorene til punktene $A$ og $B$. Litt regning fører oss fram til koordinatformen til vektoren:

$$ $ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}& =& \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB } = -\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\\ & =& \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\ & =& \left[7, 1\right]-\left[2, 4\right]\\ & =& \left[7-2, 1-4\right]\\ & =& \left[5, -3\right]\\ & & \end{array}$$$

La nå punktene $A$ og $B$ være gitt som to generelle punkter i planet $A=\left(x_1, y_1\right)$ og $B=\left(x_2, y_2\right)$. Også nå kan $\overrightarrow{AB}$ uttrykkes ved hjelp av posisjonsvektorene til punktene $A$ og $B$ .

På koordinatform får vi

$$ $ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB} & =& \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\\ & =& -\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\\ & =& \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\ & =& \left[x_2, y_2\right]-\left[x_1, y_1\right]\\ & =& \left[x_2-x_1, y_2-y_1\right]\\ & & \end{array}$$$

Forutsatt at alle vektorene har lengde forskjellig fra null, gjelder:

Vi kan bruke det vi nå vet, til å undersøke om to vektorer på koordinatform er parallelle. Vi minner om at $\overrightarrow{a}=\left[3, 4\right]$ og $\overrightarrow{b}=\left[6, 8\right]$ er parallelle.

$$ \begin{array}{l}2·\left[3, 4\right]=\left[6, 8\right]\\ \\ \overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b} \mathrm{fordi} 2·\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\end{array}$$