Hopp til innhold

Fagstoff

Posisjonsvektor og vektor mellom punkter

Vi kan beskrive en vektor mellom to punkter på koordinatform. En viktig type vektor er vektoren fra origo til et kjent punkt.

Posisjonsvektor

Posisjonsvektor til punktet P med koordinatene 7 og 2 går fra origo til punktet P. Graf. — Posisjonsvektor

Vektoren fra origo $O (0, 0)$ til punktet $P (7, 2)$ har koordinatene
$\vec{O P} = 7 \cdot \vec{e_{x}} + 2 \cdot \vec{e_{y}} = [7, 2]$

Vi ser at koordinatene til vektoren er de samme som koordinatene til punktet, og $\vec{O P}$ kalles for posisjonsvektoren til punktet $P$ .

Posisjonsvektoren til et punkt er vektoren fra origo til punktet. Denne vektoren viser punktets posisjon i forhold til origo.

Posisjonsvektoren til et punkt $(x, y)$ har koordinatene $[x, y]$ .

Å finne vektoren mellom to punkter

Posisjonsvektoren O A fra origo til punktet A med koordinatene 2 og 4 og posisjonsvektoren O B fra origo til punktet B med koordinatene 7 og 1 er tegnet i samme koordinatsystem. Vektoren A B fra punktet A til punktet B er også tegnet inn. Illustrasjon.

Gitt punktene $A (2, 4)$ og $B (7, 1)$ .

Vektoren mellom punktene er tegnet på figuren.

Vi skal finne koordinatene til vektoren som har utgangspunkt i $A$ og endepunkt i $B$ , $\vec{A B}$ .

Kan du lese av koordinatene på figuren til høyre?

Tips

Vi kan se at vi må gå 5 skritt i positiv x-retning og 3 skritt i negativ y-retning, altså har vi at vektoren har koordinatene $[5, - 3]$

Vi kan også finne koordinatene ved «å gå en omvei om origo» og bruke posisjonsvektorene til de to punktene.

Vi har:

$\begin{array}{l} \vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B}, \vec{A O} = - \vec{O A} \\ \vec{A B} = - \vec{O A} + \vec{O B} \end{array}$

Vektoren fra punkt $A$ til punkt $B$ , $\vec{A B}$ kan altså uttrykkes ved hjelp av posisjonsvektorene til punktene $A$ og $B$ . Litt regning fører oss fram til koordinatformen til vektoren:

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & \vec{A O} + \vec{O B} = - \vec{O A} + \vec{O B} \\ = & \vec{O B} - \vec{O A} \\ = & [7, 1] - [2, 4] \\ = & [7 - 2, 1 - 4] \\ = & [5, - 3] \end{array}$

La nå punktene $A$ og $B$ være gitt som to generelle punkter i planet $A = (x_{1}, y_{1})$ og $B = (x_{2}, y_{2})$ . Også nå kan $\vec{A B}$ uttrykkes ved hjelp av posisjonsvektorene til punktene $A$ og $B$ .

På koordinatform får vi

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & \vec{A O} + \vec{O B} \\ = & - \vec{O A} + \vec{O B} \\ = & \vec{O B} - \vec{O A} \\ = & [x_{2}, y_{2}] - [x_{1}, y_{1}] \\ = & [x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}] \end{array}$

Gitt punktene $A (x_{1}, y_{1})$ og $B (x_{2}, y_{2})$ .

Da er $\vec{A B} = [x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}]$

Parallelle vektorer

Forutsatt at alle vektorene har lengde forskjellig fra null, gjelder:

$\vec{a} ∥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} = t \cdot \vec{b} t \in ℝ$

Vi kan bruke det vi nå vet, til å undersøke om to vektorer på koordinatform er parallelle. Vi minner om at $\vec{a} = [3, 4]$ og $\vec{b} = [6, 8]$ er parallelle.

$\begin{array}{l} 2 \cdot [3, 4] = [6, 8] \\ \vec{a} ∥ \vec{b} fordi 2 \cdot \vec{a} = \vec{b} \end{array}$

Video om posisjonsvektor

Video: Tom Jarle Christiansen

Video om vektor mellom punkter

Video: Tom Jarle Christiansen

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist faglig oppdatert 02.02.2022

Læringsressurser

Vektorer på koordinatform