Fagartikkel

Skalarproduktet til vektorer gitt på koordinatform

Vi får en enkel regneregel for skalarproduktet når vektorene er gitt med koordinater. Nå kan vi lett sjekke om vektorer er ortogonale!

Før du jobber med denne teoriartikkelen, kan det være lurt å prøve seg på oppgave 4.2.30 på sida Skalarproduktet til vektorer gitt på koordinatform

Formel for skalarpodukt for vektorer på koordinatform

Vi minner om at enhetsvektorene $\vec{e_{x}}$ og $\vec{e_{y}}$ står vinkelrett på hverandre, og at enhetsvektorene har lengden 1. Det innebærer at vi får følgende resultater:

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{x}} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 0^{o} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \\ \vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{y}} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 0^{o} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \\ \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{y}} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 90^{o} = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \end{matrix}$

Dette kan vi bruke for å finne en regneregel for skalarproduktet når vi har vektorene på koordinatform:

$\begin{array}{rcl} [x_{1}, y_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}] & = & (x_{1} \vec{e_{x}} + y_{1} \vec{e_{y}}) \cdot (x_{2} \vec{e_{x}} + y_{2} \vec{e_{y}}) \\ = & x_{1} \vec{e_{x}} \cdot x_{2} \vec{e_{x}} + x_{1} \vec{e_{x}} \cdot y_{2} \vec{e_{y}} + y_{1} \vec{e_{y}} \cdot x_{2} \vec{e_{x}} + y_{1} \vec{e_{y}} \cdot y_{2} \vec{e_{y}} \\ = & x_{1} \cdot x_{2} \cdot \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{x}} + x_{1} \cdot y_{2} \cdot \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{y}} + y_{1} \cdot x_{2} \cdot \vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{x}} + y_{1} \cdot y_{2} \cdot \vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{y}} \\ = & x_{1} \cdot x_{2} \cdot 1 + x_{1} \cdot y_{2} \cdot 0 + y_{1} \cdot x_{2} \cdot 0 + y_{1} \cdot y_{2} \cdot 1 \\ = & x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} \end{array}$

For skalarproduktet mellom vektorer gitt med vektorkoordinater gjelder

$[x_{1}, y_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}] = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}$

Eksempel

Skalarprodukt i CAS. Linje 1: a kolon er lik parentes 2 komma tre parentes slutt. Linje 2: b kolon er lik parentes 4 komma 5 parentes slutt. Linje 3: Skalarprodukt parentes a komma b parentes slutt, svaret gitt som 23. Linje 4: a multiplisert med b, svaret gitt som 23. Line 5: parentes 2 komma 3 parentes slutt multiplisert med parentes 4 komma 5 parentes slutt. svaret gitt som 23. Skjermutklipp. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

$[2, 3] \cdot [4, 5] = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 23$

Med CAS i GeoGebra bruker du vanlig tegn for multiplikasjon (stjernetegn). Vi anbefaler som tidligere å definere vektorene i CAS først, men som du ser på nederste linje i bildet til høyre, kan du også bruke en lettere vei til målet. Det er viktig å være klar over at denne måten å regne med vektorer på kan by på problemer i noen situasjoner!

Ortogonale vektorer

Vi minner om at forutsatt at begge vektorene har lengde forskjellig fra null, gjelder:

$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Vi kan nå bruke regneregelen for skalarproduktet for å undersøke om to vektorer er ortogonale.

Hvis vi først ser på vektorene vi jobbet med lenger oppe, hadde vi at

$[2, 3] \cdot [4, 5] = 23$

Disse vektorene er altså ikke ortogonale.

La oss undersøke om $\vec{a} = [3, 4]$ og $\vec{b} = [4, - 3]$ er ortogonale:

$\begin{array}{l} [3, 4] \cdot [4, - 3] = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (- 3) = 0 \\ \vec{a} ⊥ \vec{b} fordi \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \end{array}$

Generelt har vi at de to vektorene $[x, y]$ og $[y, - x]$ er ortogonale fordi $[x, y] \cdot [y, - x] = x \cdot y + y \cdot (- x) = x y - x y = 0$

Video om skalarprodukt av vektorer på koordinatform

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0