Lengden av en vektor gitt på koordinatform

Vi har sett at når en vektor prikkes med seg selv, får vi at:

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}& = & \left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{a}\right|·\cos 0° \\ & & \\ {\overrightarrow{a}}^2& =& {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2·1 \\ & & \\ {\overrightarrow{a}}^2& =& {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2 \end{array}$$

Det betyr at vi har

$$ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^2}$$

For en vektor gitt på koordinatform får vi da

$\left|\left[x, y\right]\right|=\sqrt{{\left[x, y\right]}^2}=\sqrt{\left[x, y\right]·\left[x, y\right]}=\sqrt{x^2+y^2}$

Illustrert med Pytagoras

Vi kan også illustrere formelen for lengden av en vektor ved hjelp av Pytagoras’ læresetning. Vi tegner vektoren $$ \left[3,4\right]$$ i et koordinatsystem. For enkelhets skyld velger vi å tegne den fra origo. Vi ser at vi får en rettvinklet trekant hvor de to katetene er 3 og 4 enheter lange. Da finner vi lengden på hypotenusen slik:

$$ \begin{array}{c}{h}^2=3^2+4^2\\ h=\sqrt{3^2+4^2}\end{array}$$

Generelt har vi altså, som over: $$ \left|\left[x, y\right]\right|=\sqrt{x^2+y^2}$$

Regneeksempel

$\left|\left[6, 8\right]\right|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

Med CAS i GeoGebra skriver vi lengde(vektor((6,8)) for å finne lengden av en vektor.

Vi har sett hvordan vi finner vektoren mellom to punkter i planet, og hvordan vi finner lengden av en vektor. Da kan vi finne avstanden mellom to punkter som lengden til vektoren mellom punktene.

Vi ser på punktene $A(2, 3)$ og $B(5, 7)$. Avstanden mellom $A$ og $B$ er

$$ \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\left[5-2, 7 -3\right]\right|=\sqrt{{\left(5-2\right)}^2+{\left(7-3\right)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Gitt vektorene

$$ \overrightarrow{p}=\left[1, 2\right] \mathrm{og} \overrightarrow{q}=\left[3, 1\right]$$

La $\alpha$ være vinkelen mellom vektorene. (Vi minner om at vinkelen mellom to vektorer er den minste vinkelen mellom dem når vektorene plasseres med samme utgangspunkt.)

Definisjon av skalarproduktet gir da

$$ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{p}·\overrightarrow{q}& = & \left|\overrightarrow{p}\right|·\left|\overrightarrow{q}\right|·\mathrm{cos\alpha }\\ & & \\ \left[1, 2\right]·\left[3, 1\right]& =& \left|\left[1, 2\right]\right|·\left|\left[3, 1\right]\right|·\mathrm{cos\alpha }\\ & & \\ \mathrm{cos\alpha }& =& \frac{\left[1, 2\right]·\left[3, 1\right]}{\left|\left[1, 2\right]\right|·\left|\left[3, 1\right]\right|}\\ & & \\ \mathrm{cos\alpha }& =& \frac{1·3+2·1}{\sqrt{1^2+2^2}·\sqrt{3^2+1^2}}\\ & & \\ \mathrm{cos\alpha }& =& \frac{5}{\sqrt{5}·\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ & & \\ \alpha & =& {\cos }^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=45°\end{array}$$

Vinkel mellom vektorer i GeoGebra

Vi kan regne ut vinkelen mellom to vektorer i GeoGebra. Her er det viktig å være klar over at GeoGebra har som default å regne ut vinkler i et annet vinkelmål enn grader, nemlig radianer. Dette vinkelmålet vil du bli bedre kjent med i R2. I linje 4 ser du hvordan du kan gjøre om til grader ved å bruke Vinkel-kommandoen en gang til.