Fullstendige kvadraters metode

Vi observerer først at vi har positivt andregradsledd og konstantledd. Det midterste leddet er positivt, og vi kan dermed gå videre med å undersøke om vi kan skrive uttrykket på formen $$ {\left(k+p\right)}^2=k^2+2kp+p^2$$.

$$ \begin{array}{rcl}k & =& \sqrt{x^2}=x\\ p & =& \sqrt{9}=3\\ 6x & =& 2·3·x =\hspace{0.17em}2kp\end{array}$$

Vi ser at $$ x^2+6x+9 ={\left(x+3\right)}^2$$, og dermed har vi et fullstendig kvadrat.

Her ser vi at konstantleddet er negativt, dermed har vi ikke et fullstendig kvadrat.

Her har vi negativt andregradsledd og negativt konstantledd. Da har vi ikke et fullstendig kvadrat. Legg likevel merke til at vi kan bruke andre kvadratsetning til å faktorisere uttrykket ved å trekke $$ -1$$ utenfor en parentes:

$$ \begin{array}{rcl}$ -x^2+6x-9$ & =& -(x^2-6x+9) \\ & =& -{\left(x-3\right)}^2\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}k & =& \sqrt{16x^2}=4x\\ p & =& \sqrt{9}=3\\ 24x & =& 2·3·4x=2kp\end{array}$$

Vi ser at vi har et fullstendig kvadrat:

$$ 16x^2+24x+9={\left(4x+3\right)}^2$$

$$ \begin{array}{rcl}k & =& \sqrt{x^2}=x\\ p & =& \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}x & =& 2·\frac{1}{3}·x=2kp\end{array}$$

Vi ser at $$ $ x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}$={\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2$$, og dermed har vi et fullstendig kvadrat.

$$ \begin{array}{rcl}k & =& \sqrt{x^2}=x\\ p & =& \sqrt{25}=25\\ 5x & =& 2·\frac{5}{2}·x\ne 2kp\end{array}$$

Vi ser at det midterste leddet ikke følger mønsteret, og vi har ikke et fullstendig kvadrat.

Vi har at $$ k=\sqrt{x^2}=x$$ og at $$ 2ab=4x$$. Vi regner ut p:

$$ \begin{array}{rcl}2kp & =& 4x\\ 2xp & =& 4x |:2x\\ p & =& 2\end{array}$$

Vi får at vi må legge til $$ p^2=2^2=4$$.

Det fullstendige kvadratet blir $$ x^2+4x+4={\left(x+2\right)}^2$$.

$$ $ \begin{array}{rcl}2kp & =& 10x\\ 2xp & =& 10x |:2x\\ p & =& 5\\ & & \end{array}$$$

Vi ser at vi må legge til $$ p^2=5^2=25$$.

Det fullstendige kvadratet blir $$ x^2-10x+25$$.

$$ \begin{array}{rcl}k & =& \sqrt{16x^2}=4x\\ 2kp & =& 2·4x·p=8xp\\ 8x & =& 8xp\Rightarrow p=1\end{array}$$

Vi ser at vi må legge til $$ p^2=1^1=1$$.

Det fullstendige kvadratet blir $$ 16x^2+8x+1$$.

$$ \begin{array}{rcl}{(x+1)}^2-4 & =& {\left(x+1\right)}^2-2^2\\ & =& \left(\left(x+1\right)+2\right)\left(\left(x+1\right)-2\right)\\ & =& \left(x+3\right)\left(x-1\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{\left(x-5\right)}^2-81 & =& {\left(x-5\right)}^2-9^2\\ & =& \left(\left(x-5\right)-9\right)\left(\left(x-5\right)+9\right)\\ & =& \left(x-14\right)\left(x+4\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{\left(x-0,5\right)}^2-2,25 & =& {\left(x-0,5\right)}^2-1,5^2\\ & =& \left(\left(x-0,5\right)+1,5\right)\left(\left(x-0,5\right)-1,5\right)\\ & =& \left(x+1\right)\left(x-2\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{\left(x+13\right)}^2-169 & =& {\left(x+13\right)}^2-{13}^2\\ & =& \left(\left(x+13\right)+13\right)\left(\left(x+13\right)-13\right)\\ & =& \left(x+26\right)\left(x+0\right)\\ & =& x\left(x+26\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}$ x^2-2x-3$ & =& $ x^2-2·1x+1^2-1^2-3$\\ & =& x^2-2·1·1x+1^2-4\\ & =& {\left(x-1\right)}^2-2^2\\ & =& \left(\left(x-1\right)+2\right)\left(\left(x-1\right)-2\right)\\ & =& \left(x+1\right)\left(x-3\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}$ x^2-6x+5$ & =& x^2-2·3·x+3^2-3^2+5\\ & =& x^2-2·3·x+3^2-4\\ & =& {\left(x-3\right)}^2-2^2\\ & =& \left(\left(x-3\right)+2\right)\left(\left(x-3-2\right)\right)\\ & =& \left(x-1\right)\left(x-5\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-14x+48 & =& x^2-2·7·x+7^2-7^2+48\\ & =& x^2-2·7·x+7^2-1\\ & =& {\left(x-7\right)}^2-1^2\\ & =& \left(\left(x-7\right)+1\right)\left(\left(x-7\right)-1\right)\\ & =& \left(x-6\right)\left(x-8\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-8x-9 & =& x^2-2·4·x+4^2-4^2-9\\ & =& x^2-2·4·x+4^2-25\\ & =& {\left(x-4\right)}^2-5^2\\ & =& \left(\left(x-4\right)+5\right)\left(\left(x-4\right)-5\right)\\ & =& \left(x+1\right)\left(x-9\right)\end{array}$$

Siden vi har en koeffisient foran andregradsleddet, kan det være lurt å være litt grundigere når vi svarer på oppgaven:

$$ \begin{array}{rcl}k & =& \sqrt{4x^2}=2x\\ 2kp & =& 2·2x·p = 4xp \Rightarrow p=1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}$ 4x^2+4x-15$ & =& {\left(2x\right)}^2+2·1·2x+1^2-1^2-15\\ & =& {\left(2x\right)}^2+2·1·2x+1^2-16\\ & =& {\left(2x+1\right)}^2-4^2\\ & =& \left(\left(2x+1\right)+4\right)\left(\left(2x+1\right)-4\right)\\ & =& \left(2x+5\right)\left(2x-3\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-x-0,75 & =& x^2-2·\frac{1}{2}·x+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{3}{4}\\ & =& x^2-2·\frac{1}{2}·x+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}\\ & =& {\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-1\\ & =& \left(\left(x-\frac{1}{2}\right)+1\right)\left(\left(x-\frac{1}{2}-1\right)\right)\\ & =& \left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right) = \left(x+0,5\right)\left(x-1,5\right)\end{array}$$

Her har vi en koeffisient i andregradsleddet, men vi ser at 2 er felles faktor i alle ledd, så vi kan faktorisere den ut først:

$$ \begin{array}{rcl}2x^2-8x-42 & =& 2\left(x^2-4x-21\right)\\ & =& 2\left(x^2-2·2·x+2^2-2^2-21\right)\\ & =& 2\left({\left(x-2\right)}^2-25\right)\\ & =& 2\left(\left(x-2\right)+5\right)\left(\left(x-2\right)-5\right)\\ & =& 2\left(x+3\right)\left(x-7\right)\end{array}$$