Faktorisering av andregradsuttrykk
Å faktorisere et uttrykk vil si å skrive uttrykket som et produkt av faktorer. Vi kan for eksempel skrive tallet 6 som produktet av 2 og 3 siden . Et eksempel på et andregradsuttrykk som skrives som et produkt av faktorer, er
Hvis uttrykket vi skal faktorisere kun har ett ledd, faktoriserer vi ved å skille ut to eller flere enkeltfaktorer. Vi kan ofte faktorisere et ledd på flere ulike måter, for eksempel kan tallet 12 skrives både som
Eksempel
Vi skal faktorisere uttrykket
Det er mange ulike måter å faktorisere flerleddede uttrykk på. Vi begynner her med noen metoder du kanskje kan fra før, før vi går videre.
Uttrykk med felles faktorer i alle ledd
For uttrykk som inneholder flere ledd med felles faktorer, kan vi "gå motsatt vei" av det vi gjør når vi multipliserer et tall med et parentesuttrykk. Det betyr at hvis alle leddene i uttrykket inneholder samme faktor, kan vi sette denne felles faktoren utenfor parentes. Det kan lønne seg å begynne med å faktorisere hvert ledd så langt som mulig først. Etter hvert vil du kunne se direkte hva som er felles faktorer.
Eksempler
Uttrykket er nå faktorisert til ett ledd og består av produktet av faktorene
Vi kan kontrollere at faktoriseringen er riktig ved å multiplisere faktorene:
Vi får tilbake det opprinnelige uttrykket.
Pass på hvis du setter et negativt tall utenfor en parentes. Da må du skifte fortegn inne i parentesen, slik som i det neste eksempelet:
Det som skjer matematisk, er at vi har
Et uttrykk som kan skrives på formen
Et eksempel på et andregradsuttrykk er
Et andregradsuttrykk inneholder alltid et andregradsledd, det vil si at vi må ha at koeffisienten
Når vi skal faktorisere andregradsuttrykk, har vi ulike framgangsmåter ut fra hvordan uttrykket vårt ser ut. Vi viser noen eksempler.
Når konstantleddet mangler
Når konstantleddet mangler, får vi et uttrykk på formen
Når førstegradsleddet mangler
Hvis
Eksempler
🤔 Tenk over: Vi kan bruke konjugatsetningen når konstantleddet, c, er negativt. Kan vi faktorisere uttrykket hvis c er positiv?
Når vi kan bruke kvadratsetningene
Noen uttrykk er enkle å faktorisere fordi vi kan kjenne dem igjen som fullstendige kvadrater, det vil si uttrykk som kan faktoriseres med to like faktorer. Her kan vi bruke kvadratsetningene baklengs.
Vi har at
Vi ser nå på uttrykket
Ved hjelp av "stirremetoden"
Veldig mange andregradsuttrykk kan faktoriseres nokså enkelt selv om vi ikke kan bruke noen av metodene over. Her på NDLA har vi valgt å kalle dette for "stirremetoden", andre kjenner den kanskje som "ostehullsmetoden", "heltallsmetoden" eller et helt annet navn. Uansett hva vi velger å kalle den, er det viktig å vite at det ikke er noe magisk eller mystisk som skjer, vi ser ("stirrer") på uttrykket og leter rett og slett etter tall som kan passe i faktoriseringen.
Vi ser på det generelle uttrykket for andregradsuttrykk der
Vi regner på uttrykket og får
Dette betyr at hvis
Eksempel 1
Vi ser på uttrykket
Vi må finne to tall, d og e, slik at
Den eneste mulige kombinasjonen for d og e av disse som gir
Eksempel 2
Vi skal faktorisere uttrykket
Først setter vi tallet 2 utenfor en parentes og får
Så kan vi faktorisere
Vi har her flere kombinasjoner av to tall som gir produkt lik
Det er bare
Faktorisering i GeoGebra
I CAS i GeoGebra kan du faktorisere ved å klikke på knappen "Faktoriser" i verktøylinja eller ved å skrive kommandoen "Faktoriser".