Hopp til innhold
Fagartikkel

Faktorisering av andregradsuttrykk

Her skal du lære om å faktorisere andregradsuttrykk.

Hva er faktorisering?

Å faktorisere et uttrykk vil si å skrive uttrykket som et produkt av faktorer. Vi kan for eksempel skrive tallet 6 som produktet av 2 og 3 siden 2·3=6. Et eksempel på et andregradsuttrykk som skrives som et produkt av faktorer, er (x+3)(3x-4). Uttrykket er skrevet som ett ledd, men vi ser at hver av faktorene inneholder to ledd. Hvis vi regner ut og trekker sammen uttrykket, får vi et andregradsuttrykk på den generelle formen ax2+bx+c. Her skal vi lære ulike metoder for å gå fra den generelle formen til en faktorisert form.

Faktorisering av enleddede uttrykk

Hvis uttrykket vi skal faktorisere kun har ett ledd, faktoriserer vi ved å skille ut to eller flere enkeltfaktorer. Vi kan ofte faktorisere et ledd på flere ulike måter, for eksempel kan tallet 12 skrives både som 2·6 og som 3·4. Ofte kan det være lurt å faktorisere så mye som mulig for å se alle mulighetene.

Eksempel

Vi skal faktorisere uttrykket 36a(ab)2. Hvis vi skal faktorisere så mye som mulig, får vi

36aab2=2·2·3·3·a·a·b·a·b=2·2·3·3·a·a·a·b·b

Faktorisering av flerleddede uttrykk

Det er mange ulike måter å faktorisere flerleddede uttrykk på. Vi begynner her med noen metoder du kanskje kan fra før, før vi går videre.

Uttrykk med felles faktorer i alle ledd

For uttrykk som inneholder flere ledd med felles faktorer, kan vi "gå motsatt vei" av det vi gjør når vi multipliserer et tall med et parentesuttrykk. Det betyr at hvis alle leddene i uttrykket inneholder samme faktor, kan vi sette denne felles faktoren utenfor parentes. Det kan lønne seg å begynne med å faktorisere hvert ledd så langt som mulig først. Etter hvert vil du kunne se direkte hva som er felles faktorer.

Eksempler

2x4-12x2 = 2·x·x·x·x-2·2·3·x·x= 2·x·xx·x-2·3= 2x2x2-6

Uttrykket er nå faktorisert til ett ledd og består av produktet av faktorene 2, x2 og (x26).

Vi kan kontrollere at faktoriseringen er riktig ved å multiplisere faktorene:

2x2x2-6=2x2·x2-2x2·6=2x4-12x2

Vi får tilbake det opprinnelige uttrykket.

Pass på hvis du setter et negativt tall utenfor en parentes. Da må du skifte fortegn inne i parentesen, slik som i det neste eksempelet:

-2x3-4x=-2xx2+2

Det som skjer matematisk, er at vi har -1 som faktor, og hele denne faktoren, med fortegnet, setter du utenfor parentesen:

-2x3-4x =  (-1)·2·x·x·x+(-1)·2·2·x= (-1)·2·xx·x+2= -2xx2+2

Faktorisering av andregradsuttrykk

Et uttrykk som kan skrives på formen ax2+bx+c der a0, kalles et andregradsuttrykk.

Et eksempel på et andregradsuttrykk er x2+4x-5. Leddet x2 kalles andregradsleddet, og her er a=1. 4x kalles førstegradsleddet, og b=4. -5 kalles konstantleddet, og c=-5.

Et andregradsuttrykk inneholder alltid et andregradsledd, det vil si at vi må ha at koeffisienten a0. I de andre leddene kan koeffisientene, det vil si b og/eller c, være lik 0 slik at førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle. To eksempler på det siste er x2+4 og 3x2+2x.

Når vi skal faktorisere andregradsuttrykk, har vi ulike framgangsmåter ut fra hvordan uttrykket vårt ser ut. Vi viser noen eksempler.

Når konstantleddet mangler

Når konstantleddet mangler, får vi et uttrykk på formen ax2+bx. Da vil faktoren x forekomme i begge ledd, og vi kan sette x utenfor parentesen slik vi gjorde over:

2x2-6x=2xx-3

Når førstegradsleddet mangler

Hvis b=0, får vi et uttrykk på formen ax2+c. Hvis c<0, kan vi faktorisere ved hjelp av konjugatsetningen: (a+b)(a-b)=a2-b2.

Eksempler

x2-4 = x2-22 = x+2x-24x2-25 =2x2-52 = 2x+52x-5-2x2+18 = -2x2-9=-2x+3x-3x2-3 = x2-32=x+3x-3x+12-9 = x+12-32=x+1+3x+1-3=x+4x-2

🤔 Tenk over: Vi kan bruke konjugatsetningen når konstantleddet, c, er negativt. Kan vi faktorisere uttrykket hvis c er positiv?

Forklaring

Dersom både andregradsleddet og konstantleddet er positive, kan vi ikke faktorisere uttrykket. Vi ganger sammen to generelle parenteser for å vise hvorfor:

(ax+b)(cx+d) = ac+adx+bcx+bd

Vi ser at hvis adx+bcx skal kunne bli lik 0, må produktene ad og bc være like store med motsatt fortegn. For å få til det må enten én eller tre av konstantene a,b,c og d være negativ.

Når vi kommer til faktorisering ved hjelp av nullpunktmetoden, vil det bli enda lettere å forstå hvorfor et uttrykk som for eksempel x2+4 ikke kan faktoriseres. Du kan lese mer om nullpunktmetoden på teorisiden "Faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden".

Når vi kan bruke kvadratsetningene

Noen uttrykk er enkle å faktorisere fordi vi kan kjenne dem igjen som fullstendige kvadrater, det vil si uttrykk som kan faktoriseres med to like faktorer. Her kan vi bruke kvadratsetningene baklengs.

Vi har at a+b2 = a2+2ab+b2, og at a-b2 = a2-2ab+b2.

Vi ser nå på uttrykket x2+6x+9. Vi legger merke til at førstegradsleddet er et partall, og at konstantleddet er et kvadrattall. Vi kan skrive om uttrykket og kjenne igjen en kvadratsetning:

x2+6x+9 = x2+2·3x+32= x2+3x+3x+32= x+32

Ved hjelp av "stirremetoden"

Veldig mange andregradsuttrykk kan faktoriseres nokså enkelt selv om vi ikke kan bruke noen av metodene over. Her på NDLA har vi valgt å kalle dette for "stirremetoden", andre kjenner den kanskje som "ostehullsmetoden", "heltallsmetoden" eller et helt annet navn. Uansett hva vi velger å kalle den, er det viktig å vite at det ikke er noe magisk eller mystisk som skjer, vi ser ("stirrer") på uttrykket og leter rett og slett etter tall som kan passe i faktoriseringen.

Vi ser på det generelle uttrykket for andregradsuttrykk der a=1, det vil si x2+bx+c. Hvordan kan vi få splittet dette opp i to faktorer, slik at vi får uttrykket på formen x+dx+e?

Vi regner på uttrykket og får

x+dx+e=x2+ex+dx+ab = x2+d+ex+de

Dette betyr at hvis de=c og d+e=b, har vi at

x2+bx+c=x+dx+e

Eksempel 1

Vi ser på uttrykket x2+5x+6.

Vi må finne to tall, d og e, slik at de=6 og d+e=5. Det lønner seg å starte med å faktorisere konstantleddet. Her kan vi få flere ulike faktoriseringer:

6 = 2·3= 1·6= -2·(-3)= (-1)·-6

Den eneste mulige kombinasjonen for d og e av disse som gir d+e=5, er d=2 og e=3 (eller omvendt). Det betyr at vi kan faktorisere uttrykket vårt:

x2+5x+6=x+2x+3

Eksempel 2

Vi skal faktorisere uttrykket 2x2-8x-42.

Først setter vi tallet 2 utenfor en parentes og får

2x2-8x-42=2x2-4x-21

Så kan vi faktorisere x2-4x-21.

Vi har her flere kombinasjoner av to tall som gir produkt lik -21:

-21 = 3·-7= -3·7= -1·21= 1·-21

Det er bare 3+-7 som er lik -4. Det betyr at

2x2-8x-42=2x2-4x-21=2x+3x-7

Faktorisering i GeoGebra

I CAS i GeoGebra kan du faktorisere ved å klikke på knappen "Faktoriser" i verktøylinja eller ved å skrive kommandoen "Faktoriser".

Video om faktorisering av enleddede uttrykk

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0

Video om faktorisering av flerleddede uttrykk

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0