Kvadratsetningene. Konjugatsetningen
Generelt har vi at
Hvordan blir resultatet dersom parentesuttrykkene er like eller nesten like?
Før du leser videre, kan du prøve selv å regne ut uttrykkene nedenfor og se om du kan finne en forenklet måte å regne ut slike uttrykk på.
Den første kvadratsetningen
Når vi multipliserer med seg selv, får vi kvadratet .
Når vi multipliserer ut parentesene, får vi to like ledd, , som vi slår sammen til .
Geometrisk ser du at arealet av det store kvadratet ovenfor med sidelengder er lik summen av arealene av de to like store lyse rektanglene og de to mørke kvadratene.
Dette resultatet er kjent som den første kvadratsetningen.
Den andre kvadratsetningen
Vi multipliserer videre med seg selv og får kvadratet .
Her får vi to like ledd, , som vi slår sammen til .
Ser du at vi kan illustrere dette geometrisk hvis vi tar utgangspunkt i et kvadrat med sider ?
Dette resultatet er kjent som den andre kvadratsetningen.
Konjugatsetningen
Vi multipliserer så med .
Her får vi leddene og , som til sammen blir lik null og faller bort.
Ser du at vi kan illustrere dette også geometrisk ved å starte med et kvadrat med sidekanter ?
tilsvarer det lyse området i den første figuren nedenfor.
Hvis vi så tenker oss at vi flytter rektangelet som er merket med en stjerne, ser vi at det lyse området også tilsvarer .
Dette resultatet er kjent som konjugatsetningen, men kalles også den tredje kvadratsetningen (selv om den ikke beskriver et kvadrattall).
Oppsummering
Første kvadratsetning:
Andre kvadratsetning:
Konjugatsetningen:
Det er fristende å la være å pugge kvadratsetningene og heller multiplisere hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. Det vil ikke være særlig lurt. Kvadratsetningene er nemlig spesielt nyttige til å faktorisere andregradsuttrykk, og da må du bruke dem motsatt vei.
Eksempel på bruk av kvadratsetningene
Med CAS i GeoGebra: