Hopp til innhold
Fagartikkel

Kvadratsetningene. Konjugatsetningen

Kvadratsetningene er svært sentrale i algebra.

De tre kvadratsetningene

Generelt har vi at

a+b·c+d=ac+ad+bc+bd

Hvordan blir resultatet dersom parentesuttrykkene er like eller nesten like?

Før du leser videre, kan du prøve selv å regne ut uttrykkene nedenfor og se om du kan finne en forenklet måte å regne ut slike uttrykk på.

a+ba+b=a-ba-b=a+ba-b=

Den første kvadratsetningen

Når vi multipliserer a+b med seg selv, får vi kvadratet a+b2.

a+b2 = a+b·a+b         =a·a+a·b+b·a+b·b         =a2+ab+ab+b2         =a2+2ab+b2

Når vi multipliserer ut parentesene, får vi to like ledd, ab+ab, som vi slår sammen til 2ab.

Geometrisk ser du at arealet av det store kvadratet ovenfor med sidelengder a+b er lik summen av arealene av de to like store lyse rektanglene og de to mørke kvadratene.

Dette resultatet er kjent som den første kvadratsetningen.

Den andre kvadratsetningen

Vi multipliserer videre a-b med seg selv og får kvadratet a-b2.

a-b2 = a-b·a-b         =a·a-a·b-b·a+b·b         =a2-ab-ab+b2         =a2-2ab+b2

Her får vi to like ledd, -ab-ab , som vi slår sammen til -2ab.

Ser du at vi kan illustrere dette geometrisk hvis vi tar utgangspunkt i et kvadrat med sider a?

Dette resultatet er kjent som den andre kvadratsetningen.

Konjugatsetningen

Vi multipliserer så a+b med a-b.

a+b·a-b = a·a-a·b+b·a-b·ba+b·a-b=a2-ab+ab-b2a+b·a-b=a2-b2

Her får vi leddene ab og -ab, som til sammen blir lik null og faller bort.

Ser du at vi kan illustrere dette også geometrisk ved å starte med et kvadrat med sidekanter a?

a2-b2 tilsvarer det lyse området i den første figuren nedenfor.

Hvis vi så tenker oss at vi flytter rektangelet som er merket med en stjerne, ser vi at det lyse området også tilsvarer a+ba-b.

Dette resultatet er kjent som konjugatsetningen, men kalles også den tredje kvadratsetningen (selv om den ikke beskriver et kvadrattall).

Oppsummering

Første kvadratsetning:

a+b2=a2+2ab+b2

Andre kvadratsetning:

a-b2=a2-2ab+b2

Konjugatsetningen:

a+ba-b=a2-b2

Det er fristende å la være å pugge kvadratsetningene og heller multiplisere hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. Det vil ikke være særlig lurt. Kvadratsetningene er nemlig spesielt nyttige til å faktorisere andregradsuttrykk, og da må du bruke dem motsatt vei.

Eksempel på bruk av kvadratsetningene

4x+22 + 2x-32-3x-2x+2 = 4x2+2·x·2+22+2x2-2·2x·3+32-3x2-22=4x2+4x+4+4x2-12x+9-3x2-4=4x2+16x+16+4x2-12x+9-3x2-12=4x2+16x+16+4x2-12x+9-3x2+12=5x2+4x+37

Med CAS i GeoGebra: