Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Definisjon av bestemt integral som grenseverdi

Geometrisk vil et bestemt integral representere arealet som er begrenset av x-aksen, to loddrette linjer gjennom to x-verdier og kurven y = f(x). Vi kan ut fra dette definere det bestemte integralet som grenseverdien for en sum.

Vi ser på funksjonen f gitt ved

fx=14x2-x+4

Nedenfor har vi tegnet grafen til f i et koordinatsystem. Vi skal se hvordan vi kan finne arealet, A, av det området som er farget blått.

Rektangelmetoden

Det blå området er avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x=3  og x=7. Vi kan finne en tilnærmet verdi for arealet, A, hvis vi deler området under grafen inn i rektangler som vist på figuren nedenfor.

I GeoGebra kan du legge inn funksjonen og få frem rektanglene med kommandoen SumUnder(f, 3, 7, 4). Tallene 3 og 7 er nedre og øvre grense langs x-aksen, og det siste tallet, 4, er antallet rektangler vi deler intervallet mellom 3 og 7 opp i.

Vi ser at bredden av alle rektanglene i vårt tilfelle er 1, mens høyden varierer. Høyden er gitt ved funksjonsverdien for hver av x-verdiene.

Vi kaller summen av de fire rektanglene for A4. Vi får da

A4 = f3·1+f4·1+f5·1+f6·1=3,25+4+5,25+7=19,5

Vi ser tydelig av figuren ovenfor at det samlede arealet av de fire rektanglene er mindre enn arealet av hele det blå området. Vi mangler de fire "nestentrekantene" mellom grafen og de fire rektanglene.

Men vi kan likevel si at A4 er en tilnærming for A .

For å få en bedre tilnærming kan vi dele området i stadig flere rektangler. I GeoGebra kan du øke antall rektangler, det vil si at du øker det siste tallet i kommandoen SumUnder(). I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor kan du endre antallet rektangler ved å dra i glideren. Hva skjer med arealet av alle rektanglene når antallet rektangler øker?

Vi ser at rektanglene dekker mer og mer av det blå området jo flere rektangler vi lager.

Vi tenker oss at vi fortsetter å øke antall rektangler "i det uendelige". Bredden til rektanglene, som vi kaller x, vil gå mot null, og summen av arealene til rektanglene vil nærme seg arealet under kurven som grenseverdi.

Denne summen kaller vi for en Riemann-sum, oppkalt etter den tyske matematikeren Bernhard Riemann, som presenterte denne definisjonen i 1854.

Vi bruker den greske bokstaven Σ (stor sigma som er grekernes S) som betegnelse for sum av flere ledd. Det vil si at  37fx·x  betegner summen av arealene til rektanglene med bredde x etter samme mønster som vist ovenfor.

For å markere grenseverdien for denne summen når x går mot null, bruker vi symbolet , og vi angir nedre og øvre grense ved å sette tallene på symbolet, altså slik: 37.

Vi får da at arealet under grafen kan skrives som

A=limx037fx·x=37fxdx

Det er dette uttrykket som defineres som det bestemte integralet av f(x) fra  x=3  til x=7.

Det bestemte integralet fra a til b defineres som

abfx dx=limx0abfx·x

Geometrisk vil det bestemte integralet abfxdx representere arealet som er begrenset av x-aksen, linjene  x=a og  x=b og grafen til funksjonen f(x).

Trapesmetoden

En annen måte å finne en tilnærmet verdi for arealet A på, er å dele området under grafen inn i trapeser. Dette er vist på figuren nedenfor, og vi har brukt kommandoen TrapesSum(f, 3, 7, n), der verdien av n bestemmes av en glider.

Hvis vi deler det området i fire trapeser, vil arealet av det første trapeset være gitt ved

A=f3+f42·x

Summen av arealene til de fire trapesene blir ut fra dette

A4=f3+f42·x+f4+f52·x+f5+f62·x+f6+f72·x

Dette uttrykket kan forenkles slik:

A4=(f3+2·f4+2·f5+2·f6+f7)·x2

Generelt kan vi si at trapesmetoden går ut på å gjøre en tilnærming av integralet abfxdx med n trapeser, der x0 er nedre grense, mens xn er øvre grense:

abfxdx  An=(fx0+2·fx1+          +2·fxn-1+fxn)·x2

Tips

På siden "Integraler med GeoGebra" vil du lære å finne den beste tilnærmingen til arealet under grafen ved å bruke kommandoen Integral(Funksjon,Start,Slutt). Prøv den gjerne allerede nå med funksjonen vi har arbeidet med her, og sammenlign med resultatene fra eksemplene.

Video om bestemte integraler

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0