Analysens fundamentalteorem

Vi ser på funksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-x+4$

I fagartikkelen "Definisjon av bestemt integral som grenseverdi" bruker vi GeoGebra og finner ut at arealet $A$ under grafen til $f$ i området $x\in [3, 7]$ er $$ 22,33$$. Dette definerer vi til å være det bestemte integralet fra 3 til 7 av funksjonen.

$A={\int }_3^7(\frac{1}{4}{x}^2-x+4) dx=22,33$

Ha dette i bakhodet inntil videre.

Vi finner det ubestemte integralet til $f$ ved hjelp av GeoGebra.

Vi setter øvre og nedre grense fra arealberegningen ovenfor inn i funksjonen $$ F\left(x\right)$$ og regner ut ved hjelp av CAS:

Vi ser at dette er det samme resultatet som vi fikk da vi regnet ut det bestemte integralet tidligere. Legg også merke til at integrasjonskonstanten c₁ forsvinner. Hvorfor skjer dette?

Det kan vises at denne sammenhengen gjelder generelt, og dette er et grunnleggende resultat i matematikken som kalles "analysens fundamentalteorem". Det er også vanlig å bruke betegnelsen "fundamentalsetningen i matematisk analyse".

Vi kan formulere resultatet slik:

Vi kan altså regne ut det bestemte integralet til en funksjon fra $$ x=a$$ til $$ x=b$$ ved hjelp av det ubestemte integralet til funksjonen.

Dette betyr i praksis at vi kan beregne arealet, $A$, av området som er avgrenset av grafen til funksjonen $f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-x+4$, $x$-aksen og linjene $x=3$ og $x=7$, ved hjelp av det ubestemte integralet til $$ f$$:

$$ \begin{array}{rcl}A& = & {\int }_3^7\left(\frac{1}{4}{x}^2-x+4\right) dx\\ & & \\ & =& {\left[\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+4x\right]}_3^7\\ & & \\ & =& \left(\frac{7^3}{12}-\frac{7^2}{2}+4·7\right)-\left(\frac{3^3}{12}-\frac{3^2}{2}+4·3\right)\\ & & \\ & =& \frac{7^3-3^3}{12}-\frac{7^2-3^2}{2}+4·7-4·3\\ & & \\ & =& \frac{316}{12}-\frac{40}{2}+16\\ & & \\ & =& \frac{79}{3}-\frac{12}{3}\\ & & \\ & =& \frac{67}{3}\\ & & \\ & \approx & 22,33\end{array}$$

Vi skal ikke bevise analysens fundamentalteorem her, men vi kan illustrere det gjennom et eksempel. Vi kommer også tilbake til fundamentalteoremet når vi skal arbeide mer med beregninger av bestemte integraler og arealer.

Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f\left(x\right)=3x$$.

Vi skal finne arealet avgrenset av grafen til $f$ og
$x$ -aksen mellom $x=0$ og $x=4$.

Vi bruker formelen for arealet av en trekant og får

$A=\frac{g·h}{2}=\frac{4·\left(3·4\right)}{2}=24$

Bruker vi en tilfeldig variabel $x$ som grense i stedet for 4, får vi

$$ A\left(x\right)=\frac{x·\left(3x\right)}{2}=\frac{3x^2}{2}=\frac{3}{2}{x}^2$$

Vi ser at dette uttrykket er akkurat det samme som den antideriverte til $3x$, og vi kan ut fra dette sette opp følgende sammenheng:

$A={\int }_0^{4}3x dx={\left[\frac{3}{2}{x}^2\right]}_0^4=\frac{3}{2}·4^2=24$