Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Ubestemte integraler

Derivasjon og integrasjon er motsatte regnearter. Det ubestemte integralet til en gitt funksjon er en ny funksjon som er slik at den deriverte er lik den opprinnelige funksjonen.

Derivert og antiderivert

Funksjonen Fx=x2 har funksjonen fx=2x som derivert.

Den "motsatte" operasjonen går ut på å finne en funksjon som har 2x som derivert. Funksjonen Fx=x2 er en slik funksjon. Det er vanlig å si at x2 er en antiderivert til 2x .

Kan du finne flere funksjoner som har 2x som derivert?

Løsning

Det finnes uendelig mange funksjoner som har 2x som derivert. For eksempel har vi at x2+3'=2x og x2-2'=2x.

Den deriverte til x2+3 er også lik 2x. Derfor er også x2+3 en antiderivert til 2x. Hvis C er en konstant, er enhver funksjon på formen x2+C en antiderivert til 2x.

Det er vanlig å bruke integral i stedet for antiderivert.

Begreper, symboler og definisjoner

Vi sier at x2+C er det ubestemte integralet til 2x fordi x2+C ikke er én bestemt funksjon, men en hel klasse av funksjoner som har 2x som derivert. Konstanten C kalles integrasjonskonstanten.

Som symbol for et ubestemt integral til f brukes fxdx.Vi leser dette som "det ubestemte integralet til f(x)". Symbolet (lang S) kalles for et integraltegn, og funksjonen f(x) som skal integreres, kalles for integranden. Symbolet dx tas med blant annet for å vise at de funksjonene F(x) vi kommer fram til, er funksjoner av variabelen x. Det er x som er integrasjonsvariabelen. Du skal også se at dette er en praktisk skrivemåte i forbindelse med integrasjonsmetoder. Symbolet dx kan leses som "derivert med hensyn på x".

Definisjon av ubestemt integral

fxdx=Fx+C  hvis  F'x=fx

Det ubestemte integralet av f(x) er lik F(x) pluss en konstant som ofte kalles C.

Symbolet kalles et integraltegn.

Funksjonen f(x) kalles integranden.

Konstanten C kalles integrasjonskonstanten.

Vi sier at vi integrerer eller antideriverer f(x) når vi finner F(x).

Symbolet dx viser at det er x som er integrasjonsvariabelen.

Eksempel

Vi tar utgangspunkt i et andregradsuttrykk og påstår at vi har følgende sammenheng:

x2+3x+4dx=13x3+32x2+4x+C

Hvordan kan vi kontrollere om dette er riktig?

Løsning

Vi kan kontrollere integrasjonen ved å gå motsatt vei, det vil si at vi utfører derivasjonen:

13x3+32x2+4x+C'=13·3x2+32·2x+4+0=x2+3x+4

Se også gjennomgangen av løsningen i filmen under.

Hva er integranden i denne sammenhengen?

Løsning

Integranden er x2+3x+4.

Hvorfor står det C i resultatet av integrasjonen?

Løsning

Det er fordi en derivasjon av en konstant gir null som resultat, og resultatfunksjonen kan derfor inneholde en konstant som vi ikke vet størrelsen på. Vi angir dette som integrasjonskonstanten C.

Hvorfor står det dx bak andregradsuttrykket?

Løsning

dx viser at det er x som er integrasjonsvariabelen.

Film om ubestemte integraler

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0