Derivasjon og integrasjon er motsatte regnearter. Det ubestemte integralet til en gitt funksjon er en ny funksjon som er slik at den deriverte er lik den opprinnelige funksjonen.
Derivert og antiderivert
Funksjonen har funksjonen som derivert.
Den "motsatte" operasjonen går ut på å finne en funksjon som har som derivert. Funksjonen er en slik funksjon. Det er vanlig å si ater en antiderivert til2x.
Kan du finne flere funksjoner som har 2x som derivert?
Løsning
Det finnes uendelig mange funksjoner som har 2x som derivert. For eksempel har vi at x2+3'=2x og x2-2'=2x.
Den deriverte til x2+3 er også lik 2x. Derfor er også x2+3 en antiderivert til 2x. Hvis C er en konstant, er enhver funksjon på formen x2+C en antiderivert til 2x.
Det er vanlig å brukeintegral i stedet for antiderivert.
Begreper, symboler og definisjoner
Vi sier at x2+C erdet ubestemte integralet til 2x fordi x2+C ikke er én bestemt funksjon, men en hel klasse av funksjoner som har 2x som derivert. Konstanten C kalles integrasjonskonstanten.
Som symbol for et ubestemt integral til f brukes ∫fxdx.Vi leser dette som "det ubestemte integralet til f(x)". Symbolet ∫(lang S) kalles for et integraltegn, og funksjonen f(x) som skal integreres, kalles for integranden. Symbolet dx tas med blant annet for å vise at de funksjonene F(x) vi kommer fram til, er funksjoner av variabelen x. Det er x som er integrasjonsvariabelen. Du skal også se at dette er en praktisk skrivemåte i forbindelse med integrasjonsmetoder. Symbolet dx kan leses som "derivert med hensyn på x".
Definisjon av ubestemt integral
∫fxdx=Fx+ChvisF'x=fx
Det ubestemte integralet av f(x) er lik F(x) pluss en konstant som ofte kalles C.
Symbolet ∫kalles et integraltegn.
Funksjonen f(x) kalles integranden.
Konstanten C kalles integrasjonskonstanten.
Vi sier at vi integrerer eller antiderivererf(x) når vi finner F(x).
Symbolet dx viser at det er x som er integrasjonsvariabelen.
Eksempel
Vi tar utgangspunkt i et andregradsuttrykk og påstår at vi har følgende sammenheng:
∫x2+3x+4dx=13x3+32x2+4x+C
Hvordan kan vi kontrollere om dette er riktig?
Løsning
Vi kan kontrollere integrasjonen ved å gå motsatt vei, det vil si at vi utfører derivasjonen:
13x3+32x2+4x+C'=13·3x2+32·2x+4+0=x2+3x+4
Se også gjennomgangen av løsningen i filmen under.
Hva er integranden i denne sammenhengen?
Løsning
Integranden er x2+3x+4.
Hvorfor står det C i resultatet av integrasjonen?
Løsning
Det er fordi en derivasjon av en konstant gir null som resultat, og resultatfunksjonen kan derfor inneholde en konstant som vi ikke vet størrelsen på. Vi angir dette som integrasjonskonstanten C.
Hvorfor står det dx bak andregradsuttrykket?
Løsning
dx viser at det er x som er integrasjonsvariabelen.