Med CAS i GeoGebra (der fm står for gjennomsnittsverdien av f):
c) Hvordan kan du kontrollere at beregningen uten hjelpemidler i b) er riktig, uten å bruke digitale hjelpemidler?
Løsning
Siden grafen i a) er ei rett linje, kan vi også beregne gjennomsnittsverdien ved å finne gjennomsnittet av f0 og f2.
f=f0+f22=4+102=7
d) Tegn grafen til gx=1,5x2+4 i det samme koordinatsystemet som grafen til f. Vis at g0=f0 og g2=f2.
Løsning
Vi skriver inn funksjonen gx=1,5x2+4 og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktene mellom f og g. Resultatet viser at g0=f0 og g2=f2.
e) Forklar uten å regne hvorfor gjennomsnittsverdien g til g i intervallet [0,2] er mindre enn gjennomsnittsverdien f til f i samme intervall.
Løsning
Selv om g0=f0 og g2=f2, vil gjennomsnittsverdien g være mindre enn f fordi grafen til g ligger under grafen til f i hele intervallet [0,2].
f) Bestem gjennomsnittsverdien, g , til gx=1,5x2+4 i intervallet [0,2] ved hjelp av integrasjon både med og uten bruk av digitale hjelpemidler.
b) Hva forteller gjennomsnittsverdien i dette tilfellet om arealet som avgrenses av grafen og x-aksen i det angitte området?
Løsning
Når gjennomsnittet blir lik 0, betyr det at det er like mye areal underx-aksen som over den i det aktuelle området .
3.1.37
a) Finn ∫-15fxdx når du får vite at gjennomsnittsverdien til f i intervallet [-1,5] er 3.
Løsning
Opplysningen gir oss at
15--1∫-15fxdx=316∫-15fxdx=3∫-15fxdx=18
b) Vi antar at funksjonen f>0 i et intervall [a,b]. Vi har gitt et rektangel med areal lik 4, lengde lik b-a og bredde lik gjennomsnittsverdien av funksjonen f på intervallet [a,b].
Finn ∫abfxdx.
Løsning
Fra utgangspunktet f=1b-a∫abfxdx får vi at
∫abfxdx=f·b-a
Høyresiden kan dermed oppfattes som arealet av rektangelet som er beskrevet i oppgaveteksten. Se også teorisiden. Siden arealet av rektangelet er 4, får vi at
∫abfxdx=4
3.1.38
a) På teorisiden har vi at gjennomsnittsverdien f for fx=12x2 i intervallet [1,4] er 3,5.
Hva må øvre grense for intervallet endres til for at f=4?
Tips til oppgaven
Bruk CAS og sett opp en likning.
Løsning
Vi må løse likningen f=1b-1∫1bfxdx=4.
Vi får at b=4,32 gir en gjennomsnittsverdi på 4.
Her brukte vi funksjonen "NLøs" fordi funksjonen "Løs" ikke klarte å finne løsningen.
b) Tegn funksjonen fx=12x2-1 for x-verdier i intervallet [-4,4], og bestem b slik at gjennomsnittsverdien f til funksjonen f i intervallet [-3,b] er 2.
Løsning
Vi må løse likningen
f=1b--3∫-3bfxdx=2
Vi må være på vakt og se etter flere løsninger. Derfor tegnet vi først grafen i denne oppgaven. Den første løsningen kommer automatisk når vi skriver inn likningen uten å angi noen verdi for b (b=1 kommer automatisk). Hvis vi studerer grafen, ser vi at gjennomsnittsverdien vil fortsette å synke om b blir større enn -1,85. Men siden grafen er stigende for positive x-verdier, må gjennomsnittsverdien etter hvert øke og passere 2 for en verdi for b som er større enn 0. For å finne denne verdien for b gjentar vi likningen fra linje 2, men prøver oss med en større verdi for b, se linje 3. Da får vi b=4,85 som løsning.
Flere løsninger kan det ikke være siden funksjonen fortsetter å vokse etter som x øker. Gjennomsnittsverdien er 2 når
b=-1,85∨b=4,85
3.1.39
Funksjonen
fx=-0,05x2+1,5x-6,23
beskriver temperaturen mellom klokka 06.00 og klokka 20.00 en dag på høsten i Trondheim der x er antall timer etter midnatt.
a) Lag en algoritme for et program som beregner gjennomsnittstemperaturen numerisk i det oppgitte intervallet. Lag programmet slik at antall rektangler kan angis når programmet kjøres.
Løsning
Vi tar utgangspunkt i algoritmen i oppgave 3.1.2, der vi bruker venstre endepunktsum i beregningen av integralet.
Funksjonen fx angis fra start i programmet.
Totalt integral må settes lik null fra start.
Programmet skal gi deg mulighet til å angi det antallet rektangler som området skal deles inn i.
Startverdi for x settes lik nedre grense for x, som er a.
Bredden av hvert rektangel, ∆x, beregnes ved å ta den totale bredden på området og dividere på antall rektangler.
Programmet skal først beregne en tilnærmet verdi for integralet. Dette gjøres ved hjelp av ei løkke, der arealet til hvert rektangel beregnes, og dette legges til for hver runde i løkka i en totalsum.
Arealet til hvert rektangel beregnes ved å multiplisere høyden med bredden, det vil si f(xn)·∆xn.
For hver gang et areal er beregnet, øker x-verdien med ∆x, som er bredden av hvert rektangel.
Løkka gjentas så lenge x-verdien er mindre enn eller lik x2.
Til slutt skal det totale integralet deles på differansen b-a, og resultatet, som blir gjennomsnittstemperaturen, skrives ut.