I oppgavene nedenfor bruker vi analysens fundamentalteorem. Gjør oppgavene uten hjelpemidler.
AF-1
a) Regn ut ut ifra disse opplysningene:
f(x)=g'(x)
g1=32,g2=72
Løsning
At f(x)=g'(x), betyr at gx er en antiderivert av fx. Da får vi videre at
∫12fxdx=gx12=g2-g1=72-32=2
b) Regn ut ∫12fxdx ut ifra disse opplysningene:
f(x)=g'(x)
gx=2x2-1
Løsning
∫12fxdx=gx12=2x2-112=2·22-1-2·12-1=8-1-2+1=6
AF-2
Funksjonen gx har definisjonsmengde Dg=[-1,4]. Grafen til g er tegnet på bildet.
En annen funksjon f er slik at f(x)=g'(x).
a) Bruk informasjon fra bildet og at f(x)=g'(x), til å bestemme∫03fxdx.
Løsning
∫03fxdx=gx03=g3-g0=3-0=3
b) Hva skal den øvre integrasjonsgrensa b være for at ∫0bfxdx=0?
Løsning
Hvis vi sammenlikner med svaret over, får vi at
gb-g0=0gb=g0gb=0
Vi må bruke det høyre nullpunktet, som betyr at b=2.
c) Hva skal den øvre integrasjonsgrensa b være for at ∫0bfxdx skal bli størst mulig? Regn ut dette integralet.
Løsning
Vi har at
∫0bfxdx=gx0b=gb-g0
For at dette integralet skal være så stort som mulig, må gb være så stor som mulig. Den største verdien for g er 8, som betyr at b=4.
d) Hva skal integrasjonsgrensene a og b være for at ∫abfxdx skal bli størst mulig? Regn ut dette integralet.
Løsning
Vi har at
∫abfxdx=gxab=gb-ga
For at dette integralet skal være så stort som mulig, må gb være så stor som mulig og ga så liten som mulig. Den største verdien for g er 8, som betyr at b=4. Den minste verdien for g er -1, som betyr at a=1.
Den største verdien for integralet blir derfor
g4-g1=8--1=9
e) Hva skal integrasjonsgrensene a og b være for at ∫abfxdx skal bli minst mulig? Regn ut dette integralet. Vi krever at b>a.
Løsning
For at integralet skal være så lite som mulig, må gb være så liten som mulig og ga så stor som mulig. Siden grafen til funksjonen g er synkende i intervallet [-1,1], vil vi få minst verdi for integralet når vi integrerer mellom endepunktene i dette intervallet. Det betyr at a=-1 og b=1.
Den minste verdien for integralet blir derfor
g1-g-1=-1-3=-4
AF-3
Funksjonen gx har definisjonsmengde Dg=[-1,4]. Grafen til g er tegnet på bildet.
En annen funksjon f er slik at f(x)=g'(x).
a) Bruk informasjon fra bildet og at f(x)=g'(x), til å bestemme∫-10fxdx.
Løsning
∫-10fxdx=gx-10=g0-g-1=0--8=8
b) Forklar hvorfor ∫-1bfxdx ikke kan være negativt når b∈-1,4.
Løsning
∫-1bfxdx=gx-1b=gb-g-1
Siden g-1 er absolutt minimum, vil gb≥g-1 for alle b∈-1,4. Da vil differansen gb-g0≥0 for alle b∈-1,4.
c) Beskriv hvordan ∫-1bfxdx endrer seg når b∈-1,4.
Løsning
∫-1bfxdx=gx-1b=gb-g-1
Integralet er 0 når b=-1. Så øker det i verdi til b=0,5 der g har et toppunkt. Så minker det til g har bunnpunkt, det vil si b≈2,2. Så øker det igjen til det får sin største verdi i det absolutte maksimumet til g der b=4.
d) Løs likningen ∫-1bfxdx=6.
Løsning
Likningen gir
∫-1bfxdx=gx-1b=gb-g-1=6gb=6+g-1=6-8=-2
Ved å lese av på grafen får vi at løsningen er
b≈-0,4∨b≈2,0∨b≈2,5.
AF-4
Funksjonen gx har definisjonsmengde Dg=[-3,3]. Grafen til g er tegnet på bildet.
En annen funksjon f er slik at f(x)=g'(x).
a) Bruk informasjon fra bildet og at f(x)=g'(x), til å bestemme∫-31fxdx.
Løsning
∫-31fxdx=gx-31=g1-g-3=-1-1=-2
b) Løs likningen ∫-3bfxdx=-1.
Løsning
Likningen gir
∫-3bfxdx=gx-3b=gb-g-3=-1gb=-1+g-3=-1+1=0
Ved å lese av på grafen får vi at løsningen er b=-2∨b=2.
c) Forklar uten å regne hvorfor ∫-3bfxdx aldri kan bli større enn 0.
Løsning
Vi har at
∫-3bfxdx=gx-3b=gb-g-3
Siden det er ingen funksjonsverdier for gx som er større enn funksjonsverdien g-3, kan ikke integralet bli positivt.
d) Tegn fortegnslinje for ∫-2bfxdx når b∈-3,3.
Løsning
∫-2bfxdx=gx-2b=gb-g-2=gb-0=gb
Integralet er større enn null dersom gb er større enn null, som betyr der grafen ligger over x-aksen. Det blir derfor som å tegne fortegnslinje for g.