Løs først likningssettene ved regning for hånd. Kontroller svarene ved å løse likningssettene grafisk og ved bruk av CAS.
a) x-y=12x-3y=-2
Løsning
Løsning ved regning for hånd:
x-y=1x=1+y21+y-3y=-22+2y-3y=-2-y=-4y=4x=1+4=5
Grafisk løsning:
Vi skriver inn de to likningene (kalt "l1" og "l2" på figuren) og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til likningene. Skjæringspunktet har x-koordinat lik 5 og y-koordinat lik 4, og dette er løsningen på likningssettet.
2 kg torskefilet og 1,5 kg ulkefilet koster til sammen 385 kroner. 3 kg torskefilet og 0,5 kg ulkefilet koster 315 kroner. Hva er kiloprisen for torske- og ulkefileten?
Løsning
Vi setter prisen for torskefilet lik x kroner og prisen for ulkefilet lik y kroner, og får
Torskefileten koster 80 kroner per kg, og ulkefileten koster 150 kroner per kg.
1.2.23
Lærer Hansen kjøpte en dag til sammen 115 epler og pærer. Han betalte 415 kroner. Hvert eple kostet 3 kroner, og hver pære kostet 4 kroner. Hvor mange epler og hvor mange pærer kjøpte han?
Løsning
Hvis lærer Hansen kjøpte x epler og y pærer, får vi følgende likninger:
x+y=1153x+4y=415
Vi løser likningssettet med CAS i GeoGebra:
Lærer Hansen kjøpte 45 epler og 70 pærer.
Likningssettet kan også løses ved regning for hånd:
Vi løser likningssettet med kommandoen "Løs" i CAS i GeoGebra.
Her kan vi vurdere å trykke på knappen ≈ for å få løsningen skrevet på desimalform.
1.2.25 Utfordring!
Per har kjøpt ny påhengsmotor. Oljeblandingen til motoren skal være 1 dL olje til 10 L bensin. Per har stående 10 L oljeblanding til sin gamle påhengsmotor. Der er blandingsforholdet 2 dL olje til 10 L bensin. Han har også en kanne med 10 L ren bensin. Hvordan kan han blande for å få 5 L riktig blanding på den nye motoren sin?
Løsning
Vi setter mengden oljeblanding lik x L og mengden ren bensin lik y L. Videre bruker vi at summen av mengdene skal bli 5 L til den første likningen. Til den andre likningen bruker vi at mengden olje fra oljeblandingen skal utgjøre en brøkdel 0,110,1 av 5 L.
x+y=5x·0,210,2+0=5·0,110,1
Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra.
Per må blande 2,52 L av oljeblandingen og 2,48 L ren bensin.
Oppgaven kan også løses uten å sette opp likningssett. Finn ut hvordan.
1.2.26 Utfordring!
Karis moped har gått tom for bensin. Mopeden skal ha en oljeblanding med 3 dL olje til 10 L bensin. Far til Kari har stående 10 L oljeblanding med 2 dL olje til 10 L bensin. Han har også en kanne med olje. Hvordan kan Kari blande for å få 8 L riktig blanding på mopeden?
Løsning
Vi setter mengden oljeblanding lik x liter og mengden ren olje lik y liter.
Vi setter opp to likninger der mengden oljeblanding settes som x liter og mengden olje som y liter.
x+y=8x·0,210,2+y=8·0,310,3
Med CAS i GeoGebra får vi
Kari må ha 7,92 L oljeblanding og 0,08 L olje.
1.2.27
Løs likningssettet.
x+y+z=62x+y-2z=-23x+2y+z=10
Tips til oppgaven
Dette er et likningssett med tre ukjente. Det løser vi enklest med CAS på tilsvarende måte som likningssett med to ukjente.
Løsning
Løsning med CAS i GeoGebra:
Nedenfor har vi løst likningssettet ved regning for hånd. Det er god matematisk trening om du prøver det. Vi bruker på en måte innsettingsmetoden to ganger.
Vi løser likningen x+y+z=6 med hensyn på x.
x=6-y-z
Så settes dette uttrykket inn for x i de to andre likningene.
Vi har nå et likningssett med to ukjente som vi løser.
y-4z=-14y=14-4z
Videre er -14-4z-2z=-8-14+4z-2z=-82z=6z=3
som gir
y=14-4·3=2x=6-2-3=1
1.2.28
Løs likningssettet.
x+y-z=02x+y-z=24x+y-2z=1
Løsning
Løsning med CAS i GeoGebra:
1.2.29
Per, Pål og Espen skal lage fruktcocktail. Alle tre har kjøpt bananer, druer og epler.
Per betalte 92 kroner for 1,5 kg epler, 1 kg druer og 2 kg bananer. Pål kjøpte 1 kg epler, 0,5 kg druer og 1,5 kg bananer. For dette betalte han 59 kroner. Espen betalte 101 kroner for 2 kg epler, 1,5 kg druer og 1 kg bananer.
Sett opp tre likninger, og finn kiloprisen på eplene, druene og bananene.
Løsning
Vi setter opp tre likninger derxer kilopris for eplene,yer kilopris for druene, ogzer kilopris for bananene.
1,5x+y+2z=92x+0,5y+1,5z=592x+1,5y+z=101
Løsning med CAS i GeoGebra:
Eplene koster 20 kroner per kg, druene koster 30 kroner per kg, og bananene koster 16 kroner per kg.
1.2.30
På en gård er det kyr, griser og høns. Det er 40 flere griser enn kyr. I alt er det 150 hoder og 460 bein.
Sett opp tre likninger der du larkstå for antall kyr,gfor antall griser oghfor antall høner, og finn hvor mange dyr av hvert slag det er på gården.
Løsning
Vi setter opp tre likninger:
k+g+h=150antall hoder4k+4g+2h=460antall being-k=40forskjellen mellom antall griser og kyr
Løsning med CAS i GeoGebra:
På gården var det 20 kyr, 60 griser og 70 høner.
1.2.31
Tre søsken er til sammen 36 år. Aldersforskjellen mellom den eldste og den yngste av søsknene er 12 år. Alderen til den yngste av søsknene er tredjedelen av alderen til den eldste.
Sett opp tre likninger der du larystå for alderen til den yngste av søsknene,mfor alderen til den mellomste ogefor alderen til den eldste av søsknene.