Njuike sisdollui
Bargobihttá

Likningssett

Her får du både oppgaver med ferdige likningssett og oppgaver der du selv må komme fram til et likningssett som må løses.

1.2.20

Løs likningssettene ved regning for hånd. Kontroller svarene ved å løse likningssettene ved bruk av CAS.

a) x+y=-22x-3y=6

Løsning

Løsning ved regning for hånd (innsettingsmetoden):

x+y = -2x=-2-y2·(-2-y)-3y=6-4-2y-3y=6-5y=10y=10-5=-2x=-2-(-2)=-2+2=0

Løsning ved regning for hånd (addisjonsmetoden):

Vi multipliserer den øverste likningen med 3 og legger sammen venstresidene og høyresidene.

3x+3y = -62x-3y = 65x = 0x = 03·0+3y = -63y3 = -63y = -2

Løsning med CAS:

Her har vi skrevet inn likningene i linje 1 og linje 2. Så har vi trykket på verktøyknappen x  = ("Løs en eller flere likninger").

Merk at i stedet for å trykke på verktøyknappen, kunne vi i linje 3 ha skrevet kommandoen

Løs({$1,$2})

b) 6x+2y=82x-y=6

Løsning

Vi viser bare løsning ved regning for hånd med innsettingsmetoden her.

-y = 6-2xy=2x-66x+22x-6=86x+4x-12=810x=20x=2010=2y=2·2-6=-2

Dersom du skal løse oppgaven ved å bruke addisjonsmetoden, vil det være enklest å starte med å multiplisere den nederste likningen med 2.

c) -5x-2y=42x-3y=6

Løsning

2x = 6+3yx=3+32y-53+32y-2y=4-15-152y-2y=4-152y-42y=4+15-192y=19-19y=38y=38-19=-2x=3+32·-2=0

d) -4x=3y-22y=4x-8

Løsning

2y = 4x-8y=2x-4-4x=32x-4-2-4x=6x-12-2-10x=-14x=-14-10=75y=2·75-4=145-4=145-205=-65

e) -y=x-64y+4x=-2

Løsning

-y = x-6y=6-x46-x+4x=-224-4x+4x=-20x=-26

Ingen løsning

1.2.21

Løs først likningssettene ved regning for hånd. Kontroller svarene ved å løse likningssettene grafisk og ved bruk av CAS.

a) x-y=12x-3y=-2

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

x-y = 1x=1+y21+y-3y=-22+2y-3y=-2-y=-4y=4x=1+4=5

Grafisk løsning:

Vi skriver inn de to likningene (kalt "l1" og "l2" på figuren) og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til likningene. Skjæringspunktet har x-koordinat lik 5 og y-koordinat lik 4, og dette er løsningen på likningssettet.

Løsning med CAS:

b) 32x+2y=522x-12y=-3

Løsning

Vi viser bare løsning ved regning for hånd her.

2x-12y = -3-12y=-3-2xy=6+4x32x+26+4x=523x+24+16x=519x=-19x=-1y=6-4=2

c) -60x+80y=402x-3y=-2

Løsning

-60x+80y = 40    :20-3x+4y=2x=4y-2324y-23=-28y-4-9y=-6-y=-2y=2x=4·2-23=2

d) -35x=3y-62y=4x-40

Løsning

2y = 4x-40    :2y=2x-20-35x=3(2x-20)-6-35x=6x-60-6    ·5-3x=30x-300-30-33x=-330x=10y=2·10-20y=0

e) -2y=x-114y-15x=11

Løsning

4y-15x = 11   ·520y-x=55x=20y-55-2y=20y-55-11-22y=-66y=3x=20·3-55=5

1.2.22

2 kg torskefilet og 1,5 kg ulkefilet koster til sammen 385 kroner. 3 kg torskefilet og 0,5 kg ulkefilet koster 315 kroner. Hva er kiloprisen for torske- og ulkefileten?

Løsning

Vi setter prisen for torskefilet lik x kroner og prisen for ulkefilet lik y kroner, og får

2x+1,5y = 3853x+0,5y=3150,5y=315-3xy=630-6x2x+1,5(630-6x)=3852x+945-9x=385-7x=-560x=80y=630-6·80=150

Oppgaven kan også løses med CAS.

Torskefileten koster 80 kroner per kg, og ulkefileten koster 150 kroner per kg.

1.2.23

Lærer Hansen kjøpte en dag til sammen 115 epler og pærer. Han betalte 415 kroner. Hvert eple kostet 3 kroner, og hver pære kostet 4 kroner. Hvor mange epler og hvor mange pærer kjøpte han?

Løsning

Hvis lærer Hansen kjøpte x epler og y pærer, får vi følgende likninger:

x+y = 1153x+4y=415

Vi løser likningssettet med CAS i GeoGebra:

Lærer Hansen kjøpte 45 epler og 70 pærer.

Likningssettet kan også løses ved regning for hånd:

x = 115-y3(115-y)+4y=415345-3y+4y=415y=70x=115-70=45

1.2.24

Løs likningssettene.

a) 12x-13y=1614x+12y=2

Løsning

Vi løser med CAS i GeoGebra.

b) -0,1s+2t=3,40,4t=1,6s-2,8

Løsning

Vi løser likningssettet med kommandoen "Løs" i CAS i GeoGebra.

Her kan vi vurdere å trykke på knappen      for å få løsningen skrevet på desimalform.

1.2.25 Utfordring!

Per har kjøpt ny påhengsmotor. Oljeblandingen til motoren skal være 1 dL olje til 10 L bensin. Per har stående 10 L oljeblanding til sin gamle påhengsmotor. Der er blandingsforholdet 2 dL olje til 10 L bensin. Han har også en kanne med 10 L ren bensin. Hvordan kan han blande for å få 5 L riktig blanding på den nye motoren sin?

Løsning

Vi setter mengden oljeblanding lik x L og mengden ren bensin lik y L. Videre bruker vi at summen av mengdene skal bli 5 L til den første likningen. Til den andre likningen bruker vi at mengden olje fra oljeblandingen skal utgjøre en brøkdel 0,110,1 av 5 L.

x+y = 5x·0,210,2+0=5·0,110,1

Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra.


Per må blande 2,52 L av oljeblandingen og 2,48 L ren bensin.

Oppgaven kan også løses uten å sette opp likningssett. Finn ut hvordan.

1.2.26 Utfordring!

Karis moped har gått tom for bensin. Mopeden skal ha en oljeblanding med 3 dL olje til 10 L bensin. Far til Kari har stående 10 L oljeblanding med 2 dL olje til 10 L bensin. Han har også en kanne med olje. Hvordan kan Kari blande for å få 8 L riktig blanding på mopeden?

Løsning

Vi setter mengden oljeblanding lik x liter og mengden ren olje lik y liter.

Vi setter opp to likninger der mengden oljeblanding settes som x liter og mengden olje som y liter.

x+y = 8x·0,210,2+y=8·0,310,3

Med CAS i GeoGebra får vi

Kari må ha 7,92 L oljeblanding og 0,08 L olje.

1.2.27

Løs likningssettet.

x+y+z = 62x+y-2z = -23x+2y+z = 10

Tips til oppgaven

Dette er et likningssett med tre ukjente. Det løser vi enklest med CAS på tilsvarende måte som likningssett med to ukjente.

Løsning

Løsning med CAS i GeoGebra:

Nedenfor har vi løst likningssettet ved regning for hånd. Det er god matematisk trening om du prøver det. Vi bruker på en måte innsettingsmetoden to ganger.

Vi løser likningen  x+y+z=6  med hensyn på x.

x=6-y-z

Så settes dette uttrykket inn for x i de to andre likningene.

2(6-y-z)+y-2z=-23(6-y-z)+2y+z= 1012-2y-2z+y-2z = -218-3y-3z+2y+z= 10-y-4z=-14-y-2z=-8

Vi har nå et likningssett med to ukjente som vi løser.

y-4z = -14y = 14-4z

Videre er
          -14-4z-2z = -8-14+4z-2z = -82z = 6z = 3

som gir

y = 14-4·3=2x = 6-2-3=1



1.2.28

Løs likningssettet.

x+y-z  = 02x+y-z  = 24x+y-2z  =  1

Løsning

Løsning med CAS i GeoGebra:

1.2.29

Per, Pål og Espen skal lage fruktcocktail. Alle tre har kjøpt bananer, druer og epler.

Per betalte 92 kroner for 1,5 kg epler, 1 kg druer og 2 kg bananer. Pål kjøpte 1 kg epler, 0,5 kg druer og 1,5 kg bananer. For dette betalte han 59 kroner. Espen betalte 101 kroner for 2 kg epler, 1,5 kg druer og 1 kg bananer.

Sett opp tre likninger, og finn kiloprisen på eplene, druene og bananene.

Løsning

Vi setter opp tre likninger der x er kilopris for eplene, y er kilopris for druene, og z er kilopris for bananene.

1,5x+y+2z = 92x+0,5y+1,5z = 592x+1,5y+z = 101

Løsning med CAS i GeoGebra:

Eplene koster 20 kroner per kg, druene koster 30 kroner per kg, og bananene koster 16 kroner per kg.

1.2.30

På en gård er det kyr, griser og høns. Det er 40 flere griser enn kyr. I alt er det 150 hoder og 460 bein.

Sett opp tre likninger der du lar k stå for antall kyr, g for antall griser og h for antall høner, og finn hvor mange dyr av hvert slag det er på gården.

Løsning

Vi setter opp tre likninger:

k+g+h = 150          antall hoder4k+4g+2h = 460          antall being-k = 40            forskjellen mellom antall griser og kyr

Løsning med CAS i GeoGebra:

På gården var det 20 kyr, 60 griser og 70 høner.

1.2.31

Tre søsken er til sammen 36 år. Aldersforskjellen mellom den eldste og den yngste av søsknene er 12 år. Alderen til den yngste av søsknene er tredjedelen av alderen til den eldste.

Sett opp tre likninger der du lar y stå for alderen til den yngste av søsknene, m for alderen til den mellomste og e for alderen til den eldste av søsknene.

Bruk likningene til å finne alderen til søsknene.

Løsning

Vi setter opp tre likninger.

y+m+e = 36e-y = 12y = e3

Løsning med CAS i GeoGebra:

De tre søsknene er 6, 12 og 18 år gamle.