Njuike sisdollui
Bargobihttá

Andregradslikninger

Løs oppgaver med andregradslikninger.

1.2.40

Løs likningene ved regning for hånd, grafisk og med CAS.

a) 2x2-2x=0

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

2xx-1 = 0           2x=0      x-1=0           x=0      x=1

("" betyr "eller".)

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon fx i algebrafeltet i GeoGebra. Siden høyresida av likningen er null, kan vi bruke verktøyet "Nullpunkt" til å finne ut når funksjonen er null. De to nullpunktene har x-koordinater 0 og 1, som er de to løsningene på likningen.

Løsning med CAS:

b) 12x=3x2

Løsning

Vi viser bare løsning ved regning for hånd her.

12x-3x2 = 0 3x4-x=0            3x=0      4-x=0              x=0      -x=-4            x=0      x=4

c) x2+7x=-6

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

Her må vi bruke abc-formelen. Vi ordner likningen først.

x2+7x+6=0

Vi får at

a=1, b=7, c=6

Dette gir

x=-7±72-4·1·62·1x=-7±49-242x=-7±252x=-7+52=-1            x=-7-52=-6

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon fx og høyresida som en funksjon gx i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til de to funksjonene. Skjæringspunktene har x-koordinater -6 og -1, som er løsningene på likningen.

Løsning med CAS:

d) 5x2=25x

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

5x2-25x = 0 5xx-5=0            5x=0      x-5=0            x=0      x=5

1.2.41

Løs likningene ved regning for hånd, grafisk og med CAS.

a) x2-4=0

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

x2 = 4x=4      x=-4x=2       x=-2

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon fx i algebrafeltet i GeoGebra. Siden høyresida av likningen er null, kan vi bruke verktøyet "Nullpunkt" til å finne ut når funksjonen er null. De to nullpunktene har x-koordinater -2 og 2, som er de to løsningene på likningen.

Løsning med CAS:

b) x2+5x=-6

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

x2+5x+6 = 0x=-5±52-4·1·62·1x=-5±25-242x=-5+12x=-5+12=-2            x=-5-12=-3

Grafisk løsning:

Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon fx og høyresida som en funksjon gx i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til de to funksjonene. Skjæringspunktene har x-koordinater -3 og -2, som er løsningene på likningen.

Løsning med CAS:

c) 3x2=3

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

x2 = 1x=1      x=-1x1=1       x2=-1

d) x2=2x+24

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

x2-2x-24 = 0x=--2±-22-4·1·-242·1x=2±4+962x=2±1002x=2+102=6                       x=2-102=-4

e) 2x2+8=0

Løsning

2x2 = -8  x2=-4      Ingen løsning

Det er alltid lurt å sjekke om du kan forkorte før du setter inn i abc-formelen.

1.2.42

Løs likningene ved å regne for hånd. Kontroller svaret med CAS.

a) 270x2+230x=540-40x

Løsning

Her er det lurt å dividere alle leddene med 270 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

270x2+270x-540 = 0    :270x2+x-2=0x=-1±12-4·1·-22·1x=-1-32=-2       x=-1+32=1

b) 360x2-360x=-90

Løsning

Her er det lurt å dividere alle leddene med 90 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

360x2-360x+90 = 0    :904x2-4x+1=0x=4±-42-4·4·12·4x=4+08              x=4-08x=12

1.2.43

Løs likningene ved å regne for hånd. Kontroller svaret med CAS.

a) 3x2-3x-6=0

Løsning

Her er det lurt å dividere alle leddene med 3 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

x2-x-2 = 0x=--1±-12-4·1·-22·1x=1±1+82x=1±92x=1+32=2        x=1-32=-1

b) -2x2+2x+4=0

Løsning

Her er det lurt å dividere alle leddene med -2 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

x2-x-2 = 0x=--1±-12-4·1·-22·1x=1±1+82x=1±92x=1+32=2         x=1-32=-1

c) -5x=x2+6

Løsning

-x2-5x-6 = 0x=--5±-52-4·-1·-62·-1x=5±25-24-2x=5±1-2x=5+1-2=-3          x=5-1-2=-2

1.2.44

Løs likningene ved å regne for hånd. Kontroller svaret med CAS.

a) -x2-6x-8=0

Løsning

-x2-6x-8 = 0x=--6±-62-4·-1·-82·-1x=6±36-32-2x=6±4-2x=6+2-2=-4          x=6-2-2=-2

b) 3x2+12=-12x

Løsning

Her er det lurt å dividere alle leddene med 3 før vi setter inn i abc-formelen. I tillegg må vi ordne likningen.

Vi får da

3x2+12x+12=0   |:3x2+4x+4 = 0x=-4±42-4·1·42·1x=-4±16-162x=-4±02x=-42=-2

c) 3x2+2=2x

Løsning

Vi må ordne likningen først.

3x2-2x+2=0x = --2±-22-4·3·22·3x=2±4-246x=2±-206

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

1.2.45

Løs likningene ved å regne for hånd. Kontroller svaret med CAS.

a) 0,3x2+0,2=0,2x

Løsning

Her er det lurt å multiplisere alle leddene med 10 før vi setter inn i abc-formelen. Husk også å ordne likningen.

Vi får da

0,3x2-0,2x+0,2 = 0   ·10           3x2-3x+2=0x=2±-22-4·3·22·3x=2±4-246x=2±-206

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

b) 0,003x2+0,002=0,002x

Løsning

Her er det lurt å multiplisere alle leddene med 1 000 før vi setter inn i abc-formelen. Husk å ordne likningen også.

Vi får da

0,003x2-0,002x+0,002 = 0   ·10003x2-2x+2=0x=2±-22-4·3·22·3x=2±4-246x=2±-206

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

1.2.46

Løs likningene ved å regne for hånd. Kontroller svaret med CAS.

a) x2-4x+2=0

Løsning

x =--4±-42-4·1·22·1x=4±82x=4+222          x=4-222x=22+22          x=22-22x=2+2          x=2-2

Svaret kan stå med et rotuttrykk. Ved løsning med CAS kan vi finne tilnærmet løsning ved å trykke på knappen      . (Vi ikke gjøre det.)

b) 10x2=10x+4

Løsning

Her er det lurt å dividere alle leddene med 2 før vi setter inn i abc-formelen. Husk også å ordne likningen.

Vi får da

5x2-5x-2 = 0x=--5±-52-4·5·-22·5x=5±6510x=5+6510          x=5-6510

c) xx-2+2=4-4x

Løsning

x2-2x+2-4+4x = 0               x2+2x-2=0x=-2±22-4·1·-22·1x=-2±122x=-2±232x=2-1+32          x=2-1-32x=3-1          x=-1-3

d) 4-x2-x=3x-1+2x2

Løsning

                        4-2x+x2 = 3x-3+2x2x2-2x2-2x-3x+4+3=0                     -x2-5x+7=0x=--5±-52-4·-1·72·-1x=5±25+28-2x=5±53-2x=-5+532          x=-5-532 

e) 4x2-2x3-x+11x=3x+1-2x2

Løsning

                        4x2-6x+2x2+11x = 3x+3-2x24x2-2x2+2x2-6x+11x-3x-3=0                                       8x2+2x-3=0

x = -2±22-4·8·-32·8x=-2±1002·8x=-2±102·8x=-1216=-34          x=816=12

1.2.47

a) Grunnflata til et hus er et rektangel der bredden er 4 meter kortere enn lengden. Arealet av grunnflata er 96 m². Finn ut hvor langt og hvor bredt huset er.

Tips til oppgaven

Kall bredden x. Finn deretter en formel for lengden.

Løsning

Dersom vi kaller bredden for x, blir lengden, som er 4 m lengre,  x+4.

Vi setter opp en likning ut ifra at arealet skal være 96 m2.

xx+4=96

Løsning med CAS:

Her bruker vi bare den positive løsningen. Lengden blir

8+4=12

Huset er 12 m langt og 8 m bredt.

Løsning ved regning for hånd:

x·x+4 = 96x2+4x-96=0x=-4±42-4·1·-962·1x=-4±4002x=-4±202x=8          x=-12

b) Løs oppgaven på nytt, men ta utgangspunkt i at lengden er x. Kommenter løsningen.

Løsning

Når x står for lengden, betyr det at bredden er  x-4. Dette gir likningen

xx-4=96

Løsning med CAS:

Igjen bruker vi bare den positive løsningen. Lengden er altså 12 m, og bredden blir som før

12-4=8

Det spiller altså liten rolle om vi velger at x skal være bredden eller lengden. Vi får en annen likning å løse, men resultatet er det samme.

1.2.48

Grunnflata til et hus er et rektangel der bredden er 5 meter kortere enn lengden. Arealet av grunnflata er 126 m². Finn ut hvor langt og hvor bredt huset er.

Løsning

Dersom vi kaller lengden for x, blir uttrykket for bredden  x-5. Vi setter opp en likning ut ifra at arealet skal være 126 m².

xx-5=126

Løsning med CAS:

Her bruker vi bare den positive løsningen. Bredden blir

14-5=9

Huset er 14 m langt og 9 m bredt.

Løsning ved regning for hånd:

       x·x-5 = 126x2-5x-126=0x=5±52-4·1·-1262·1x=5±5292x=5±232x=14          x=-9

1.2.49

Grunnflata til en garasje er et rektangel der bredden er 2 meter kortere enn lengden. Diagonalen i grunnflata er 10 meter. Finn ut hvor lang og hvor bred garasjen er.

Tips til oppgaven

Tegn grunnflata til garasjen, og ta med diagonalen på tegningen.

Løsning

Vi kan se på grunnflata som satt sammen av to rettvinklede trekanter, og vi har valgt at x står for bredden av garasjen. Det betyr at vi kan bruke pytagorassetningen til å sette opp likningen:

x2+x+22=102

Løsning med CAS:

Vi bruker bare den positive løsningen. Lengden blir

6+2=8

Garasjen er 8 m lang og 6 m bred.

Løsning ved regning for hånd:

x2+x+22 = 102x2+x2+4x+4-100=02x2+4x-96=0

Her er det lurt å dividere alle leddene med 2 for å få enklere tall å sette inn i abc-formelen.

Vi får da

x2-2x-48 = 0x=-2±22-4·1·-482·1x=-2±1962x=-2±142x1=6          x2=-8

1.2.50

Ei tomt er et rektangel der bredden er 10 meter kortere enn lengden. Diagonalen er 45 meter. Finn arealet av tomta.

Løsning

Vi kan se på grunnflata som satt sammen av to rettvinklede trekanter, og vi har valgt at x står for bredden av tomta. Det betyr at vi kan bruke pytagorassetningen til å sette opp likningen

x2+x+102=452

Løsning med CAS:

Vi får at den eksakte løsningen på likningen blir to uttrykk med kvadratrot. Da trykker vi på knappen       for å få regnet ut svaret som desimaltall.

Vi kan bare bruke den positive løsningen. Det betyr at bredden av tomta er 26,42 m og lengden er 36,42 m. I linje tre regner vi ut arealet av tomta, og vi har tatt med måleenhetene i utregningen.

Arealet av tomta er 962 m2.

1.2.51

a) Gitt andregradslikningen  ax2-4x+4=0.

Finn ut hvilke verdier av a som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning av likningen.

Tips til oppgaven

Bruk abc-formelen.

Løsning

Vi har en andregradslikning der a er ukjent,  b=-4  og  c=4. Vi setter dette inn i abc-formelen.

x = --4±-42-4·a·42·ax=4±16-16a2a

Vi ser på uttrykket under rottegnet, 16-16a.

Dersom  a>1, vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning.

Dersom  a=1, vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning,  x=42·1=2.

Dersom  a<1, vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger.

b) Bruk GeoGebra, og lag en glider med navn a ved å skrive  a=1  i algebrafeltet. Skriv så inn funksjonen  fx=a·x2-4x+4. Endre på glideren, og observer hvordan grafen til f endrer seg. Stemmer det du observerer med løsningen i oppgave a)?

c) Gitt andregradslikningen  x2-bx+4=0.

Bruk abc-formelen, og finn ut hvilke verdier av b som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning.

Løsning

x= --b±-b2-4·1·42·1x=b±b2-162

Vi ser på uttrykket under rottegnet, b2-16.

Dersom b2<16 vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning.

Dette vil skje når b ligger mellom -4 og 4.

Dersom b2=16, det vil si når b=4 eller b=-4, vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning.

b=-4:  x=-(-4)2·1=2

b=4:  x=-42·1=-2.

Dersom b2>16, det vil si når b>4 eller b<-4, vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger.

d) Bruk GeoGebra. Lag en glider b, og skriv inn funksjonen  gx=x2-bx+4=0. Endre på glideren, og observer hvordan grafen til g endrer seg. Stemmer det du observerer med løsningen i oppgave c)?

e) Gjør tilsvarende analyse med andregradslikningen  x2+2x+c=0.

Løsning

Likningen har én løsning når  c=1.

Likningen har to løsninger når  c<1.

Likningen har ingen løsning når  c>1.

1.2.52

Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekunder er høyden h meter over bakken gitt ved funksjonen

ht=14,5t-4,9t2+1,8

a) Når er ballen 10 m over bakken?

Løsning

Når høyden er 10 m, betyr det at  ht=10. Vi skriver inn funksjonen i CAS i GeoGebra og løser likningen.

Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på vei opp) og etter 2,2 s (på vei ned).

b) Når treffer ballen bakken?

Løsning

Når ballen treffer bakken, er høyden over bakken 0 m.

Det betyr at vi må løse likningen  ht=0.

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Vi kan bare bruke den positive løsningen.

Ballen treffer bakken etter 3,08 s.

c) Når er ballen 15 m over bakken? Hva betyr svaret du får?

Løsning

Når høyden er 15 m, betyr det at  ht=15.

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Ingen løsning. Det må bety at ballen aldri når en høyde på 15 m over bakken.

1.2.53

En brusboks har form som en sylinder. Overflata til en sylinder med topp og bunn er gitt ved

O=2πr2+2πrh

der r er radien til sylinderen og h er høyden.

Hva er radius til en brusboks dersom overflata er 250 cm2 og høyden 5 cm?

Løsning

Når høyden skal være 5 cm, kan vi lage oss følgende overflatefunksjon:

Or=2πr2+10πr

Når overflata skal være 250 cm2, betyr det at vi må løse likningen

Or=250

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Vi kan bare bruke den positive løsningen.

Brusboksen har en radius på 4,3 cm.