Løs likningene ved regning for hånd, grafisk og med CAS.
a)
Løsning
Løsning ved regning for hånd:
("∨" betyr "eller".)
Grafisk løsning:
Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon fx i algebrafeltet i GeoGebra. Siden høyresida av likningen er null, kan vi bruke verktøyet "Nullpunkt" til å finne ut når funksjonen er null. De to nullpunktene har x-koordinater 0 og 1, som er de to løsningene på likningen.
Løsning med CAS:
b) 12x=3x2
Løsning
Vi viser bare løsning ved regning for hånd her.
12x-3x2=03x4-x=03x=0∨4-x=0x=0∨-x=-4x=0∨x=4
c) x2+7x=-6
Løsning
Løsning ved regning for hånd:
Her må vi bruke abc-formelen. Vi ordner likningen først.
Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon fx og høyresida som en funksjon gx i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til de to funksjonene. Skjæringspunktene har x-koordinater -6 og -1, som er løsningene på likningen.
Løsning med CAS:
d) 5x2=25x
Løsning
Løsning ved regning for hånd:
5x2-25x=05xx-5=05x=0∨x-5=0x=0∨x=5
1.2.41
Løs likningene ved regning for hånd, grafisk og med CAS.
a) x2-4=0
Løsning
Løsning ved regning for hånd:
x2=4x=4∨x=-4x=2∨x=-2
Grafisk løsning:
Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon fx i algebrafeltet i GeoGebra. Siden høyresida av likningen er null, kan vi bruke verktøyet "Nullpunkt" til å finne ut når funksjonen er null. De to nullpunktene har x-koordinater -2 og 2, som er de to løsningene på likningen.
Vi skriver inn venstresida av likningen som en funksjon fx og høyresida som en funksjon gx i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til de to funksjonene. Skjæringspunktene har x-koordinater -3 og -2, som er løsningene på likningen.
a) Grunnflata til et hus er et rektangel der bredden er 4 meter kortere enn lengden. Arealet av grunnflata er 96 m². Finn ut hvor langt og hvor bredt huset er.
Tips til oppgaven
Kall bredden x. Finn deretter en formel for lengden.
Løsning
Dersom vi kaller bredden for x, blir lengden, som er 4 m lengre, x+4.
Vi setter opp en likning ut ifra at arealet skal være 96 m2.
xx+4=96
Løsning med CAS:
Her bruker vi bare den positive løsningen. Lengden blir
b) Løs oppgaven på nytt, men ta utgangspunkt i at lengden er x. Kommenter løsningen.
Løsning
Når x står for lengden, betyr det at bredden er x-4. Dette gir likningen
xx-4=96
Løsning med CAS:
Igjen bruker vi bare den positive løsningen. Lengden er altså 12 m, og bredden blir som før
12-4=8
Det spiller altså liten rolle om vi velger at x skal være bredden eller lengden. Vi får en annen likning å løse, men resultatet er det samme.
1.2.48
Grunnflata til et hus er et rektangel der bredden er 5 meter kortere enn lengden. Arealet av grunnflata er 126 m². Finn ut hvor langt og hvor bredt huset er.
Løsning
Dersom vi kaller lengden for x, blir uttrykket for bredden x-5. Vi setter opp en likning ut ifra at arealet skal være 126 m².
xx-5=126
Løsning med CAS:
Her bruker vi bare den positive løsningen. Bredden blir
Grunnflata til en garasje er et rektangel der bredden er 2 meter kortere enn lengden. Diagonalen i grunnflata er 10 meter. Finn ut hvor lang og hvor bred garasjen er.
Tips til oppgaven
Tegn grunnflata til garasjen, og ta med diagonalen på tegningen.
Løsning
Vi kan se på grunnflata som satt sammen av to rettvinklede trekanter, og vi har valgt at x står for bredden av garasjen. Det betyr at vi kan bruke pytagorassetningen til å sette opp likningen:
x2+x+22=102
Løsning med CAS:
Vi bruker bare den positive løsningen. Lengden blir
6+2=8
Garasjen er 8 m lang og 6 m bred.
Løsning ved regning for hånd:
x2+x+22=102x2+x2+4x+4-100=02x2+4x-96=0
Her er det lurt å dividere alle leddene med 2 for å få enklere tall å sette inn i abc-formelen.
Ei tomt er et rektangel der bredden er 10 meter kortere enn lengden. Diagonalen er 45 meter. Finn arealet av tomta.
Løsning
Vi kan se på grunnflata som satt sammen av to rettvinklede trekanter, og vi har valgt at x står for bredden av tomta. Det betyr at vi kan bruke pytagorassetningen til å sette opp likningen
x2+x+102=452
Løsning med CAS:
Vi får at den eksakte løsningen på likningen blir to uttrykk med kvadratrot. Da trykker vi på knappen ≈ for å få regnet ut svaret som desimaltall.
Vi kan bare bruke den positive løsningen. Det betyr at bredden av tomta er 26,42 m og lengden er 36,42 m. I linje tre regner vi ut arealet av tomta, og vi har tatt med måleenhetene i utregningen.
Arealet av tomta er 962 m2.
1.2.51
a) Gitt andregradslikningen ax2-4x+4=0.
Finn ut hvilke verdier av a som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning av likningen.
Tips til oppgaven
Bruk abc-formelen.
Løsning
Vi har en andregradslikning der a er ukjent, b=-4 og c=4. Vi setter dette inn i abc-formelen.
x=--4±-42-4·a·42·ax=4±16-16a2a
Vi ser på uttrykket under rottegnet, 16-16a.
Dersom a>1, vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning.
Dersom a=1, vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning, x=42·1=2.
Dersom a<1, vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger.
b) Bruk GeoGebra, og lag en glider med navn a ved å skrive a=1 i algebrafeltet. Skriv så inn funksjonen fx=a·x2-4x+4. Endre på glideren, og observer hvordan grafen til f endrer seg. Stemmer det du observerer med løsningen i oppgave a)?
c) Gitt andregradslikningen x2-bx+4=0.
Bruk abc-formelen, og finn ut hvilke verdier av b som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning.
Løsning
x=--b±-b2-4·1·42·1x=b±b2-162
Vi ser på uttrykket under rottegnet, b2-16.
Dersom b2<16 vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning.
Dette vil skje når b ligger mellom -4 og 4.
Dersom b2=16, det vil si når b=4 eller b=-4, vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning.
b=-4:x=-(-4)2·1=2
b=4:x=-42·1=-2.
Dersom b2>16, det vil si når b>4 eller b<-4, vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger.
d) Bruk GeoGebra. Lag en glider b, og skriv inn funksjonen gx=x2-bx+4=0. Endre på glideren, og observer hvordan grafen til g endrer seg. Stemmer det du observerer med løsningen i oppgave c)?
e) Gjør tilsvarende analyse med andregradslikningen x2+2x+c=0.
Løsning
Likningen har én løsning når c=1.
Likningen har to løsninger når c<1.
Likningen har ingen løsning når c>1.
1.2.52
Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekunder er høyden h meter over bakken gitt ved funksjonen
ht=14,5t-4,9t2+1,8
a) Når er ballen 10 m over bakken?
Løsning
Når høyden er 10 m, betyr det at ht=10. Vi skriver inn funksjonen i CAS i GeoGebra og løser likningen.
Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på vei opp) og etter 2,2 s (på vei ned).
b) Når treffer ballen bakken?
Løsning
Når ballen treffer bakken, er høyden over bakken 0 m.
Det betyr at vi må løse likningen ht=0.
Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.
Vi kan bare bruke den positive løsningen.
Ballen treffer bakken etter 3,08 s.
c) Når er ballen 15 m over bakken? Hva betyr svaret du får?
Løsning
Når høyden er 15 m, betyr det at ht=15.
Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.
Ingen løsning. Det må bety at ballen aldri når en høyde på 15 m over bakken.
1.2.53
En brusboks har form som en sylinder. Overflata til en sylinder med topp og bunn er gitt ved
O=2πr2+2πrh
der r er radien til sylinderen og h er høyden.
Hva er radius til en brusboks dersom overflata er 250cm2 og høyden 5cm?
Løsning
Når høyden skal være 5 cm, kan vi lage oss følgende overflatefunksjon:
Or=2πr2+10πr
Når overflata skal være 250 cm2, betyr det at vi må løse likningen