Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Andregradslikninger

Hva er en andregradslikning, og hvordan løser vi slike likninger?

Hva er en andregradslikning?

En likning som kan skrives på formen  ax2+bx+c=0  der  a0, kalles en andregradslikning.

Et eksempel på en andregradslikning er x2+4x-5=0.

x2 kalles andregradsleddet og a=1.
4x kalles førstegradsleddet og b=4.
-5 kalles konstantleddet og c=-5.

Noen ganger må andregradslikningen ordnes for å se hva tallene a, b og c er.

Andregradslikningen

3-x=-7x22

kan ordnes til likningen

       6-2x = -7x27x2 -2x+6=0

Her ser vi at a=7, b=-2 og c=6.

En andregradslikning inneholder alltid andregradsleddet, men førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle, det vil si at b og/eller c kan være lik 0. Først skal vi vise hvordan vi relativt enkelt kan løse en andregradslikning som mangler en av disse to leddene.

Løsning når konstantleddet mangler

Når konstantleddet c mangler, kan vi samle de to gjenstående leddene på venstre side av likhetstegnet og faktorisere ved å sette x utenfor parentes. Faktoren x forekommer nemlig i begge leddene. Vi benytter oss av at når et produkt er lik null, må minst en av faktorene være lik null.

Eksempel

x2-2x = 0xx-2=0x=0  x-2=0      (= eller)x=0  x=2

Når et produkt er lik null, må minst en av faktorene være lik null.

Oppgave

Forklar hvorfor  xx-2  i løsningen over er et produkt.

Forklaring

Det står et usynlig gangetegn mellom x og parentesen, og et produkt er to (eller flere) faktorer som skal multipliseres.

Løsning når førstegradsleddet mangler

Vi ordner likningen slik at x2 isoleres på venstre side av likhetstegnet. Så trekker vi ut kvadratrota.

Eksempel

-2x2+18 = 0     -2x2=-18         x2=9          x=9  x=-9         x=3     x=-3

Hvis høyresida blir null etter at likningen er ordnet, får vi bare én løsning, nemlig x=0. Hvis høyresida blir negativ etter at likningen er ordnet, så har likningen ikke noen løsninger.

Video: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Løsning med abc-formelen

Andregradslikningen  x2-x-6=0  kan ikke løses med regneteknikkene vi har brukt ovenfor. Vi kan selvfølgelig løse denne likningen grafisk eller med CAS. Her viser vi hvordan vi kan bruke den såkalte abc-formelen for å regne ut løsningene.

abc-formelen

Det kan vises at andregradslikningen  ax2+bx+c=0  har løsningene

x=-b±b2-4ac2a    ,         a0 ,   b2-4ac0

Vi bruker tegnet ± for å spare skriving. Det betyr at vi har egentlig to formler, en med pluss og en med minus.

Når vi løser en andregradslikning med abc-formelen, ordner vi først likningen slik at den kommer på formen  ax2+bx+c=0.

Oppgave

Hvorfor har vi skrevet at  b2-4ac0?

Løsning

Du husker kanskje at vi definerte kvadratrota bare til positive tall og null? Det vil si at andregradslikningen ikke har løsninger blant de reelle tallene når det som står under rottegnet, er mindre enn null. Kanskje det digitale verktøyet du bruker da gir løsninger med bokstaven i? Det vil si at løsningen er såkalt imaginær. For oss betyr det likevel at likningen ikke har noen løsning.

Oppgave

Forklar hvorfor vi bare får én løsning når  b2-4ac=0.

Løsning

Når  b2-4ac=0, er det som står under rottegnet lik null. Da får vi det samme svaret enten vi bruker pluss eller minus i abc-formelen.

Eksempler

Vi skal nå se på noen eksempler på bruk av abc-formelen.

Eksempel 1

         x2 = 5-4xx2+4x-5=0     Vi ordner likningen og finner at a=1, b=4, c=-5.          x=-4±42-4·1·-52·1   Vi setter inn i formelen.          x=-4±16+202          x=-4±362          x=-4+62   eller   x=-4-62          x=1           eller   x=-5

Likningen har to løsninger. Det er altså to verdier for x som passer i den opprinnelige likningen.

Eksempel 2

x2+4x+4 = 0          x=-4±42-4·1·42·1          x=-4±16-162=-4±02=-2          x=-2

Uttrykket under rottegnet er null, og vi får bare én løsning.

Eksempel 3

x2-2x+4 = 0           x=--2±-22-4·1·42           x=4±4-162=4±-122           Ingen løsning

Vi får 12 under rottegnet, og -12 er ikke definert når vi regner med reelle tall. Vi får derfor ingen løsning, det vil si at det ikke finnes noe reelt tall som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likningen blir null.

Ved CAS i GeoGebra får vi løsningene nedenfor ved å bruke knappen x=.

Legg merke til markeringen for "ingen løsning" i linje 3.

Video: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0