Hva er en andregradslikning, og hvordan løser vi slike likninger?
Hva er en andregradslikning?
En likning som kan skrives på formen , kalles en andregradslikning.
Et eksempel på en andregradslikning er x2+4x-5=0.
x2 kalles andregradsleddet og a=1. 4x kalles førstegradsleddet og b=4. -5 kalles konstantleddet og c=-5.
Noen ganger må andregradslikningen ordnes for å se hva tallene a,b og c er.
Andregradslikningen
3-x=-7x22
kan ordnes til likningen
6-2x=-7x27x2-2x+6=0
Her ser vi at a=7,b=-2ogc=6.
En andregradslikning inneholder alltid andregradsleddet, men førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle, det vil si at b og/eller c kan være lik 0. Først skal vi vise hvordan vi relativt enkelt kan løse en andregradslikning som mangler en av disse to leddene.
Løsning når konstantleddet mangler
Når konstantleddet c mangler, kan vi samle de to gjenstående leddene på venstre side av likhetstegnet og faktorisere ved å sette x utenfor parentes. Faktoren x forekommer nemlig i begge leddene. Vi benytter oss av at når et produkt er lik null, må minst en av faktorene være lik null.
Eksempel
x2-2x=0xx-2=0x=0∨x-2=0(∨=eller)x=0∨x=2
Når et produkt er lik null, må minst en av faktorene være lik null.
Oppgave
Forklar hvorfor xx-2 i løsningen over er et produkt.
Forklaring
Det står et usynlig gangetegn mellom x og parentesen, og et produkt er to (eller flere) faktorer som skal multipliseres.
Løsning når førstegradsleddet mangler
Vi ordner likningen slik at x2 isoleres på venstre side av likhetstegnet. Så trekker vi ut kvadratrota.
Eksempel
-2x2+18=0-2x2=-18x2=9x=9∨x=-9x=3∨x=-3
Hvis høyresida blir null etter at likningen er ordnet, får vi bare én løsning, nemlig x=0. Hvis høyresida blir negativ etter at likningen er ordnet, så har likningen ikke noen løsninger.
Løsning med abc-formelen
Andregradslikningen x2-x-6=0 kan ikke løses med regneteknikkene vi har brukt ovenfor. Vi kan selvfølgelig løse denne likningen grafisk eller med CAS. Her viser vi hvordan vi kan bruke den såkalte abc-formelen for å regne ut løsningene.
abc-formelen
Det kan vises at andregradslikningen ax2+bx+c=0 har løsningene
x=-b±b2-4ac2a,a≠0,b2-4ac≥0
Vi bruker tegnet ± for å spare skriving. Det betyr at vi har egentlig to formler, en med pluss og en med minus.
Når vi løser en andregradslikning med abc-formelen, ordner vi først likningen slik at den kommer på formen ax2+bx+c=0.
Oppgave
Hvorfor har vi skrevet at b2-4ac≥0?
Løsning
Du husker kanskje at vi definerte kvadratrota bare til positive tall og null? Det vil si at andregradslikningen ikke har løsninger blant de reelle tallene når det som står under rottegnet, er mindre enn null. Kanskje det digitale verktøyet du bruker da gir løsninger med bokstaven i? Det vil si at løsningen er såkalt imaginær. For oss betyr det likevel at likningen ikke har noen løsning.
Oppgave
Forklar hvorfor vi bare får én løsning når b2-4ac=0.
Løsning
Når b2-4ac=0, er det som står under rottegnet lik null. Da får vi det samme svaret enten vi bruker pluss eller minus i abc-formelen.
Eksempler
Vi skal nå se på noen eksempler på bruk av abc-formelen.
Vi får −12 under rottegnet, og -12 er ikke definert når vi regner med reelle tall. Vi får derfor ingen løsning, det vil si at det ikke finnes noe reelt tall som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likningen blir null.
Ved CAS i GeoGebra får vi løsningene nedenfor ved å bruke knappen x=.
Legg merke til markeringen for "ingen løsning" i linje 3.