Likningssett av første og andre grad
1.2.60
Løs likningssettene ved regning for hånd, grafisk og med CAS.
a)
Løsning
Løsning ved regning for hånd:
Grafisk løsning:
Vi skriver inn de to likningene i algebrafeltet i GeoGebra og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt".
Løsningen er koordinatene til skjæringspunktene, noe som stemmer med det vi fant ved regning for hånd.
Løsning med CAS:
b)
Løsning
Vi viser bare løsning ved regning for hånd og grafisk løsning her.
Løsning ved regning for hånd:
Grafisk løsning:
Vi skriver inn de to likningene i algebrafeltet i GeoGebra og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt".
c)
Løsning
d) Vi har likningssettet
For hvilke verdier av
to løsninger?
én løsning?
ingen løsning?
Løs oppgaven både ved å regne for hånd og grafisk med GeoGebra ved å lage en glider for
Tips til oppgaven
For å svare på spørsmålet bør du prøve å løse likningssettet ved regning for hånd – selv om det er en ukjent
Løsning ved regning for hånd
Her vil det gi litt enklere regning ved først å løse den andre likningen med hensyn på
Så setter vi dette inn for
Da har vi en andregradslikning der
Vi får ikke regnet ut kvadratrota her. Vi får altså én løsning for
Vi ser på uttrykket for løsningen. Det som gir ingen løsning, er når det blir negativt under rottegnet. Først kan vi regne ut hva som gir 0 under rottegnet. Det er når
Hvis
Likningssettet har to løsninger når
.k < 2 Likningssettet har én løsning når
.k = 2 Likningssettet har ingen løsning når
.k > 2
Tips til den grafiske løsningen
Vi kan ikke tegne grafen til den andre likningen når den inneholder en ukjent størrelse (
Grafisk løsning
Vi skriver
Nedenfor har vi bygd inn et interaktivt GeoGebra-ark der vi har fulgt oppskriften i det forrige avsnittet. Du kan dra i glideren for
1.2.61
To kvadrater har en omkrets på til sammen
a) Sett opp to likninger, og finn sidene i kvadratene. Løs oppgaven ved regning for hånd, og kontroller svaret med CAS.
Løsning
Vi kaller sidelengdene i de to kvadratene for henholdsvis x og y. Vi setter opp to likninger.
Vi starter med å løse den første likningen med hensyn på
Så setter vi resultatet inn i i den andre likningen.
abc-formelen gir
Kontroll av svaret med CAS:
Det ene kvadratet har sidelengde
b) Prøv å løse oppgaven ved regning for hånd uten å starte med å sette opp to likninger med to ukjente.
Løsning
Ideen er å sette opp en likning for arealene av de to kvadratene, kalle sida i det ene kvadratet for
Vi starter med informasjonen om omkretsen. Vi kaller sidelengden i det andre kvadratet for
Ut fra denne likningen kan vi finne en formel for den andre sidelengden uttrykt ved
Så bruker vi informasjonen om arealet.
abc-formelen gir
Vi får det samme resultatet som i oppgave a).
c) Sammenlikn løsningen i a) med løsningen i b).
Løsning
I b) begynner vi med én likning og regner videre med den før vi kommer til den andre likningen. Er det stor forskjell på løsningene? Egentlig ikke, vi gjør i praksis akkurat det samme.
1.2.62
To tall er til sammen 169. Kvadrerer du tallene og legger dem sammen, er summen 14 893. Sett opp to likninger, og finn hvilke to tall dette er.
Løsning
Vi kaller de to tallene henholdsvis
Vi løser likningssettet i GeoGebra, der vi viser hvordan vi kan løse likningssettet ved å skrive kommandoen "Løs" i stedet for å skrive inn likningene på hver sin linje:
Det ene tallet er 102 og det andre 67.
1.2.63
a) Differansen mellom to tall er 3. Differansen mellom kvadratene til tallene er 57. Hvilke to tall er dette?
Løsning
Vi kaller de to tallene henholdsvis
Det ene tallet er 8 og det andre 11.
b) Kvotienten mellom to tall er 3. Produktet av de to tallene er 27. Hvilke to tall er dette?
Løsning
Vi kaller de to tallene henholdsvis
De to tallene er enten