Polynomdivisjon

$\begin{array}{ccccccccccccccccc}& (& 2& x^2& -& x& -& 1& )& :& (& x& -& 1& )& =& 2x+1 \\ -& (& 2& x^2& -& 2x& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & x& -& 1& & & & & & & & & \\ & & & & -& (x& -& 1& )& & & & & & & & \\ & & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}& & & (& 3& x^2& -& & x& -& 2& )& :& (& 3x& +& 2& )& =& x-1 \\ & & -& (& 3& x^2& +& 2& x& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & & -& 3& x& -& 2& & & & & & & & & \\ & & & & & -& (-& 3& x& -& 2& )& & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$

$\begin{array}{ccccccccccccccccccc}& & & (& 2& x^2& -& x& -& 1& )& :& (& x& -& 2& )& =& 2x+3+\frac{5}{x-2}\\ & & -& (& 2& x^2 & -& 4x& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & & & 3& x& -& 1& & & & & & & & \\ & & & & & & -& (3& x& -& 6& )& & & & & & & \\ & & & & & & & & & & 5& & & & & & & & \end{array}$

Vi vet at $(x-x_1)$ er en faktor i et polynomuttrykk hvis polynomuttrykket blir lik null når $x=x_1$. Vi bruker dette når vi løser oppgaven.

Prøving og feiling viser at tredjegradspolynomet blir lik null for $x=1$. Vi vet da at $(x-1)$ er en faktor i polynomet, og at divisjonen går opp, men a kan ha andre verdier også. Vi utfører polynomdivisjonen.

$\begin{array}{cccccccccccccccc}& (2x^3& +& 3x^2& -& 3x& -2)& :& (x& -& 1)& =2x^2& +& 5x& +& 2\\ -& (2x^3& -& 2x^2)& & & & & & & & & & & & \\ & & & 5x^2& -& 3x& -2& & & & & & & & & \\ & & -& (5x^2& -& 5x)& & & & & & & & & & \\ & & & & & 2x& -2& & & & & & & & & \\ & & & & -& (2x& -2)& & & & & & & & & \\ & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$

Vi løser så andregradslikningen.

$$\begin{gathered} 2x^2+5x+2=0 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·2·2}}{2·2} \\ {x}_1=\frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2} \vee x_2=\frac{-5-3}{4}=-2 \end{gathered}$$

Det betyr at $(x+\frac{1}{2})$ og $(x+2)$ også er faktorer i tredjegradspolynomet, og at a kan ha verdiene $-2,-\frac{1}{2}$ og $1$ for at divisjonen skal gå opp.

Vi setter inn $x=2$ i tredjegradspolynomet og finner hvilken verdi av a som fører til at polynomet blir lik null.

$2^3-3·2^2-a·2+3·a=0$

$8-12-2a+3a=0$

$a=4$

Når $$ a=4, $$går divisjonen opp.

Vi setter inn $x=-2$ i tredjegradspolynomet og finner hvilken verdi av a som fører til at polynomet er lik null.

$\begin{array}{rcl}(-2{)}^3-a·(-2{)}^2-5·(-2)+6& = & 0\\ 8-4a+10+6& =& 0\\ -4a& =& -8\\ a& =& 2\end{array}$

Når $$ a=2, $$går divisjonen opp.

$\begin{array}{cccccccccccccccccc}& (x^3& -& 6x^2& +& 11& x& -& 6& )& :& (& x& -& 1& )& =& x^2-5x+6 \\ -& (x^3& -& x^2)& & & & & & & & & & & & & & \\ & & -& 5x^2& +& 11& x& -& 6& & & & & & & & & \\ & -& (-& 5x^2& +& 5& x& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & 6& x& -& 6& & & & & & & & & \\ & & & & -& (6& x& -& 6& )& & & & & & & & \\ & & & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$

Divisjonen gikk opp. Det betyr at $x^3-6x^2+11x-6=(x^2-5x+6)(x-1)$

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetningen.

Vi setter $x^2-5x+6=0$.

Ved å bruke abc-formelen får vi

$$\begin{gathered} x^2-5x+6=0 \\ x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5{)}^2-4·1·6}}{2·1} \\ x=\frac{5\pm 1}{2} \\ {x}_1=2 \vee x_2=3 \end{gathered}$$

Det betyr at

$$ x^2-5x+6=1(x-2)(x-3)=(x-2)(x-3)$$

og den ferdige faktoriseringen blir

$$ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$$

$\begin{array}{ccccccccccc}& (6x^3& +& x^2& -9x& -4)& :& (2x& +1)& =& 3x^2-x-4 \\ -& (6x^3& +& 3x^2)& & & & & & & \\ & & -& 2x^2& -9x& -4& & & & & \\ & -(& -& 2x^2& -x)& & & & & & \\ & & & & -8x& -4& & & & & \\ & & & -& (-8x& -4)& & & & & \\ & & & & & 0& & & & & \end{array}$

Divisjonen gikk opp. Det betyr at

$$ 6x^3+x^2-9x-4=(3x^2-x-4)(2x+1)$$

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetningen. Vi setter $3x^2-x-4=0.$

Ved å bruke abc-formelen får vi $$ 3x^2-x-4=0$$.

$x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4·3·(-4)}}{2·3}$

$$\begin{gathered} x=\frac{1\pm 7}{6} \\ {x}_1=-1 \vee x_2=\frac{4}{3} \end{gathered}$$

Det betyr at

$3x^2-x-4=3(x-(-1\left)\right)(x-\frac{4}{3})=(x+1)(3x-4)$

og den ferdige faktoriseringen blir

$$ \left(x+1\right)\left(3x-4\right)\left(2x+1\right)$$

$$ \begin{array}{cccccccccccccccc}& (x^3& -& x^2& -& 4x& +& 4)& :& (& x& -& 1& )& = & x^2-4 \\ -& (x^3& -& x^2)& & & & & & & & & & & & \\ & & & & -& 4x& +& 4& & & & & & & & \\ & & & -(& -& 4x& +& 4)& & & & & & & & \\ & & & & & & & 0& & & & & & & & \end{array}$$

Divisjonen gikk opp. Det betyr at

$$ $$$(x^3-x^2-4x+4)=(x^2-4)·(x-1)$

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av konjugatsetningen.

$$ x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Den ferdige faktoriseringen blir

$$ (x^3-x^2-4x+4)=(x-2)·(x+2)·(x-1)$$

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket $x^3+4x^2+x-6$ er lik null for $x=1$. Vi vet da at $(x-1)$ er faktor i $x^3+4x^2+x-6.$

Vi utfører divisjonen.

$\begin{array}{ccccccccccccccc}& (x^3& +& 4x^2& +& x& -& 6):& (& x& -& 1& )& =& x^2+5x+6 \\ -& (x^3& -& x^2)& & & & & & & & & & & \\ & & & 5x^2& +& x& -& 6& & & & & & & \\ & & -(& 5x^2& -& 5x)& & & & & & & & & \\ & & & & & 6x& -& 6& & & & & & & \\ & & & & -(& 6x& -& 6)& & & & & & & \\ & & & & & & & 0& & & & & & & \end{array}$

Divisjonen gikk opp. Det betyr at

$$ x^3+4x^2+x-6=(x^2+5x+6)(x-1)$$

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetningen.

Vi setter $x^2+5x+6=0$.

Ved å bruke abc-formelen får vi

$\begin{array}{rcl}{x}^2-5x+6 & =& 0\\ x & =& \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·1·6}}{2·1}\\ x & =& {\frac{-5\pm 1}{2}}_{}\\ x_1 & =& -3 \vee x_2=-2\end{array}$

Det betyr at

$x^2+5x+6=1(x-(-3\left)\right)(x-(-2\left)\right)=(x+3)(x+2)$

og den ferdige faktoriseringen blir

$$ x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x+2)(x+3)$$

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket $2x^3-14x+12$ er lik null for $x=1$. Vi vet da at $x-1$ er en faktor i $2x^3-14x+12.$

Vi utfører divisjonen.

$\begin{array}{cccccccccccccccccc}& 2x^3& +& 0& x^2& -& 14x& +& 12& )& :& (& x& -& 1& )& =& 2x^2+2x-12 \\ -(& 2x^3& -& 2& x^2& )& & & & & & & & & & & & \\ & & & 2& x^2& -& 14x& +& 12& & & & & & & & & \\ & -& (& 2& x^2& -& 2x& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & -& 12x& +& 12& & & & & & & & & \\ & & & & -(& -& 12x& +& 12& )& & & & & & & & \\ & & & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$

Divisjonen gikk opp. Det betyr at

$$ 2x^3-14x+12=\left(2x^2+2x-12\right)\left(x-1\right)$$

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetningen.

Vi setter $2x^2+2x-12=0$.

Ved å bruke abc-formelen får vi

$\begin{array}{rcl}2x^2+2x-12 & =& 0 (\mathrm{deler} \mathrm{på} 2)\\ x^2+x-6 & =& 0\\ x & =& \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·(-6)}}{2·1}\\ x & =& \frac{-1\pm 5}{2}\\ x_1 & =& -3 \vee x_2=2\end{array}$

Det betyr at

$2x^2+2x-12=2(x-(-3\left)\right)(x-2)=2(x+3)(x-2)$

og den ferdige faktoriseringen blir

$2x^3-14x+12=2(x-1)(x-2)(x+3)$

Tredjegradsuttrykket kan skrives

$2x^3+4x^2-6x=2x(x^2+2x-3)$

Tredjegradsuttrykket er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetningen.

Vi setter $x^2+2x-3=0$.

Ved å bruke abc-formelen får vi

$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x-3 & =& 0\\ x & =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·(-3)}}{2·1}\\ x & =& \frac{-2\pm 4}{2}\\ x_1 & =& -3 \vee x_2=1\end{array}$

Det betyr at

$$ x^2+2x-3=1(x-(-3\left)\right)(x-1)=(x+3)(x-1)$$

og den ferdige faktoriseringen blir

$$ 2x^3+4x-6x=2x(x-1)(x+3)$$

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket $x^3+3x^2-x-3$ er lik null for $x=1$.

Vi vet da at $x-1$ er faktor i $x^3+3x^2-x-3$.

Vi utfører divisjonen.

$\begin{array}{ccccccccccccccccc}& (x^3& +& 3x^2& -& x& -& 3)& :& (x& -& 1& )& =& x^2+& 4x& +3\\ -& (x^3& -& x^2)& & & & & & & & & & & & & \\ & & & 4x^2& -& x& -& 3& & & & & & & & & \\ & & -(& 4x^2& -& 4x)& & & & & & & & & & & \\ & & & & & 3x& -& 3& & & & & & & & & \\ & & & & -& (3x& -& 3)& & & & & & & & & \\ & & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$

Divisjonen gikk opp. Det betyr at

$x^3+3x^2-x-3=(x^2+4x+3)(x-1)$

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetningen. Vi setter $x^2+4x+3=0$.

Ved å bruke abc-formelen får vi

$\begin{array}{rcl}{x}^2+4x+3 & =& 0\\ x & =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·3}}{2·1}\\ x & =& \frac{-4\pm 2}{2}\\ x_1 & =& -3 \vee x_2=-1\end{array}$

Det betyr at

$x^2+4x+3=1(x-(-3\left)\right)(x-(-1\left)\right)=(x+3)(x+1)$

og den ferdige faktoriseringen blir

$x^3+3x^2-x-3=(x-1)(x+1)(x+3)$

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket $x^3+3x^2+4x+2$er lik null for $x=-1$. Vi vet da at $x+1$ er faktor i $x^3+3x^2+4x+2$.

Vi utfører divisjonen.

$\begin{array}{cccccccccccccccccc}& (x^3& +& 3x^2& +& 4& x& +& 2& )& :& (& x& +& 1& )& =& x^2+2x+2 \\ -& (x^3& +& x^2)& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & 2x^2& +& 4& x& +& 2& & & & & & & & & \\ & -& (& 2x^2& +& 2& x& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & 2& x& +& 2& & & & & & & & & \\ & & & & -(& 2& x& +& 2& )& & & & & & & & \\ & & & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$

$$ $$Divisjonen gikk opp. Det betyr at

$x^3+3x^2+4x+2=(x^2+2x+2)(x+1)$

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetningen.

Vi setter $x^2+2x+2=0.$

Ved å bruke abc-formelen får vi

$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x+2 & =& 0\\ x & =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·2}}{2·1}\\ x & =& \frac{-2\pm \sqrt{-4}}{2}\end{array}$

Vi får ingen reelle løsninger. Det betyr at $x^2+2x+2$ kan ikke faktoriseres. Den ferdige faktoriseringen blir

$x^3+3x^2+4x+2=(x^2+2x+2)(x+1)$

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket $$ $$$x^3-3x^2+4$ er lik null for $x=-1$. Vi vet da at $x+1$ er faktor i $x^3-3x^2+4$.

Vi utfører divisjonen.

$\begin{array}{ccccccccccccccccccc}& (x^3-& 3x^2& +& 0x& +& 4)& & & & & :& (& x& +& 1& )& =& x^2-4x+4 \\ -& (x^3+& x^2& )& & & & & & & & & & & & & & & \\ & -& 4x^2& +& 0x& +& 4& & & & & & & & & & & & \\ & -(-& 4x^2& -& 4x& )& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & 4x& +& 4& & & & & & & & & & & & \\ & & & -(& 4x& +& 4)& & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & 0& & & & & & & & & & & & \end{array}$

Divisjonen gikk opp. Det betyr at

$x^3-3x^2+4=(x^2-4x+4)(x+1)$

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetningen.

Vi setter $x^2-4x+4=0$.

Ved å bruke abc-formelen får vi

$\begin{array}{rcl}{x}^2-4x+4 & =& 0\\ x & =& \frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4·1·4}}{2·1}\\ x & =& \frac{4\pm 0}{2}\\ x_1 & =& x_2=2\end{array}$

Det betyr at

$$ x^2-4x+4=(x-2)(x-2)$$

og den ferdige faktoriseringen blir

$x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2)(x-2)=(x+1)(x-2{)}^2$