Njuike sisdollui
Bargobihttá

Rasjonale uttrykk som inneholder tredjegradspolynomer

Oppgavene skal løses uten hjelpemidler, men du kan sjekke svaret med CAS.

1.9.20

Forkort uttrykkene.

a) x3-4x2x2+6x-40

Vis fasit

Telleren kan faktoriseres ved å sette felles faktor utenfor.

x3-4x2x2+6x-40=x2(x-4)x2+6x-40

Vi ser på nevneren  x2+6x-40  og bruker abc-formelen eller "stirremetoden" (ser etter hvilke to tall som til sammen danner sum =6  og produkt =-40 ) og faktoriserer nevneren:  x2+6x-40 =(x-4)(x+10).

Uttrykket er nå lik

 x2(x-4)x2+6x-40=x2(x-4)(x-4)(x+10)=x2(x+10)

b) x3-4x2+9x-3

Vis fasit

Vi undersøker om telleren er delelig med  x-3. Hvis telleren er delelig med (x-3), vil polynomet  x3-4x2+9  være lik 0 når x=3. Vi setter inn x=3 og regner ut: 33-4·32+9=27-36+9=0

Svaret ble 0, og polynomdivisjonen vil gå opp.

x3-4x2+0x+9):(x-3)= x2-x-3 -(x3-3x2)-x2+0x+9   -(-x2+3x)-3x+9-(-3x+9)0

Vi får

x3-4x2+9x-3=x2-x-3

c) 3x3-5x2-42x2-4x

Vis fasit

Vi faktoriserer nevneren  2x2-4x=2x(x-2). Vi sjekker først om telleren kan deles på en av faktorene i nevneren. Vi ser at telleren ikke kan blir 0 ved å sette inn  x=0 , så eneste mulighet for forkorting er faktoren  (x-2). Hvis telleren er delelig med  (x-2), så vil telleren bli 0 når vi setter inn  x=2:

3·23-5·22-4=24-20-4=0

Da vet vi at polynomdivisjonen vil "gå opp".

(3x3-5x2-0x-4):(x-2)= 3x2+x+2-(3x3-6x2)x2-0x-4-(x2-2x)2x-4-(2x-4)0

Vi har faktorisert tredjegradspolynomet i telleren og funnet at 3x3-5x2-4=(x-2)(3x2+x+2). Vi kan nå forkorte brøken.

3x3-5x2-42x2-4x=(x-2)(3x2+x+2)2xx-2=3x2+x+22x

(Hvorfor prøvde vi ikke å faktorisere uttrykket  3x2+x+2  videre?)

d) x3+x2-9x-9x2-9

Vis fasit

Nevneren kan faktoriseres ved hjelp av konjugatsetningen.

x2-9=(x-3)(x+3)

x3+x2-9x-9x2-9=x3+x2-9x-9(x-3)(x+3)

Vi sjekker om telleren kan deles på en av faktorene i nevneren. Vi prøver  (x-3):

33+32-9·3-9=27+9-27-9=0

Da vet vi at polynomdivisjonen vil gå opp:

(x3+x2-9x-9):(x-3)=x2+4x+3 -(x3-3x2)4x2-9x-9   -(4x2-12x)3x-9-(3x-9)0

Nå har vi  x3+x2-9x-9x2-9=(x-3)(x2+4x+3)(x-3)(x+3).

Vi bruker abc-formelen eller "stirremetoden" for å faktorisere  x2+4x+3. x2+4x+3=(x+1)(x+3)

Vi kan nå forkorte brøken: x3+x2-9x-9x2-9=(x-3)(x+3)(x+1)(x-3)(x+3)=x+1