Njuike sisdollui
Bargobihttá

Tredjegradslikninger

Oppgavene nedenfor skal du løse uten bruk av hjelpemidler. Du kan også prøve å løse oppgavene med CAS.

1.9.10

a) Vis at (x-1) er en faktor i polynomet  x3+2x2-x-2.

Vis fasit

Vi setter inn  x=1  i polynomet.

13+2·12-1-2=0, og  x-1  er dermed en faktor i polynomet.

b) Løs likningen  x3+2x2-x-2=0.

Vis fasit

(x-1) er en faktor i likningen, og vi foretar først polynomdivisjon.

x3+2x2-x-2):(x-1)= x2+3x+2 -(x3-x2)3x2-x-2-(3x2-3x)2x-2-(2x-2)0

Da er  x3+2x2-x-2=(x-1)(x2+3x+2).

Vi finner nullpunktene til andregradspolynomet ved å sette

x2+3x+2=0

 x = -3±32-4·1·22·1x = -3±12x1 = -2    x2=-1

Tredjegradslikningen blir

x3+2x2-x-2 = 0(x-1)(x+1)(x+2) = 0

med løsningene  x=-2, x=-1  og  x=1.

1.9.11

a) Prøv deg fram, og finn en løsning av likningen  x3+4x2+x-6=0.

Vis fasit

Vi prøver oss fram, og finner at uttrykket  x3+4x2+x-6  er lik null for  x=1. Vi vet da at  x-1  er faktor i  x3+4x2+x-6.

b) Løs likningen  x3+4x2+x-6=0.

Vis fasit

 (x-1) er en faktor i  x3+4x2+x-6, og vi foretar først polynomdivisjon.

(x3+4x2+x-6):(x-1)= x2+5x+6 -(x3-x2)5x2+x-6   -(5x2-5x)6x-6-(6x-6)0

Da er  x3+4x2+x-6=(x-1)(x2+5x+6).

Vi finner nullpunktene til  x2+5x+6.

x2+5x+6 = 0x = -5±52-4·1·62·1= -5±12x1 = -3  x2=-2

Tredjegradslikningen blir

x3+4x2+x-6 = 0(x-1)(x+2)(x+3) = 0

med løsningene  x=-3, x=-2  og  x=1.

1.9.12

Gitt tredjegradspolynomet  ax3+4x2-2x-4.

a) Bestem a slik at polynomet er delelig med (x+1).

Vis fasit

Dersom polynomet skal være delelig med  x+1, må polynomet være lik null for  x=-1. Vi setter  x=-1  og setter polynomet lik null.

ax3+4x2-2x-4 = 0a·(-1)3+4·(-1)2-2·(-1)-4 = 0-a+4+2-4 = 0a = 2

Når  a=2 , er polynomet delelig med  x+1.

b) Løs likningen  ax3+4x2-2x-4=0  når en av løsningene av likningen er  x=-1 .

Vis fasit

Når  x=-1, er  a=2 (se oppgave 1.8.12 a).

(x+1)  er en faktor i likningen, og vi foretar polynomdivisjonen.

(2x3+4x2-2x-4):(x+1)=2x2+2x-4 -(2x3+2x2)2x2-2x-4   -(2x2+2x)-4x-4-(-4x-4)0

Da er  2x3+4x2-2x-4=(x+1)(2x2+2x-4).

Vi finner nullpunktene til  2x2+2x-4.

2x2+2x-4 = 0    (:2)x2+x-2 = 0x = -1±12-4·1·(-2)2·1= -1±32x1 = 1    x2=-2

Tredjegradslikningen blir

2x3+4x2-2x-4 = 02(x+1)(x-1)(x+2) = 0

med løsningene  x=-2, x=-1  og  x=1.

1.9.13

Løs likningen ved regning.

a) x3-3x-2=0

Vis fasit

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket  x3-3x-2  er lik null for  x=2. Vi vet da at  x-2  er faktor i  x3-3x-2.

(x3+0x2-3x-2):(x-2) = x2+2x+1 -(x3-2x2)2x2-3x-2-(2x2-4x)x-2-(x-2)0

Da er  x3-3x-2=(x-2)(x2+2x+1).

Andregradsuttrykket  x2+2x+1  kan faktoriseres med første kvadratsetning  x2+2x+1=(x+1)2.

Tredjegradslikningen blir

x3-3x-2 = 0(x-2)(x+1)(x+1) = 0

med løsningene  x=-1 og x=2

b) x3+x-10=0

Vis fasit

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket  x3+x-10  er lik null for  x=2. Vi vet da at  x-2  er faktor i  x3+x-10.

(x3+0x2+x-10):(x-2)= x2+2x+5 -(x3-2x2)2x2+x-10-(2x2-4x)5x-10-(5x-10)0

Da er  x3+x-10=(x-2)(x2+2x+5).

Vi finner nullpunktene til  x2+2x+5.

x2+2x+5 = 0x = -2±22-4·1·52·1

Denne har ingen reelle løsninger.

Tredjegradslikningen blir

x3+x-10 = 0(x-2)(x2+2x+5) = 0

med løsningen  x=2.

c) x4-2x3-x2+2x=0

Vis fasit

x4-2x3-x2+2x=x(x3-2x2-x+2)

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket  x3-2x2-x+2

er lik null for  x=2. Vi vet da at  x-2  er faktor i  x3-2x2-x+2.

Polynomdivisjon gir

(x3-2x2-x+2):(x-2)=x2-1-(x3-2x2)-x+2-(-x+2)0

Da er  x3-2x2-x+2=(x-2)(x2-1).

Andregradsuttrykket  x2-1  kan faktoriseres ved hjelp av konjugatsetningen  x2-1=(x-1)(x+1).

Fjerdegradslikningen blir

x4-2x3-x2+2x = 0x(x-2)(x-1)(x+1) = 0

med løsningene  x=-1,  x=0,  x=1  og  x=2.

d) x4-5x2+4=0

Vis fasit

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket  x4-5x2+4  er lik null for  x=2. Vi vet da at  x-2  er faktor i  x4-5x2+4. Polynomdivisjon gir

(x4+0x3-5x2+ 0x+ 4):(x-2)= x3+2x2-x-2-(x4-2x3)2x3-5x2+ 0x+ 4-(2x3-4x2)-x2+ 0x+ 4-(-x2+ 2x)-2x+ 4-(-2x+ 4)0Da er x4-5x2+4=(x-2)(x3+2x2-x-2).

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket  x3+2x2-x-2 

er lik null for  x=1. Vi vet da at  x-1  er faktor i  x3+2x2-x-2. Polynomdivisjon gir

(x3+2x2-x-2):(x-1)= x2+3x+2 -(x3-x2)3x2-x   -(3x2-3x)2x-2-(2x-2)0

Da er

 x4-5x2+4 = (x-2)(x3+2x2-x-2)= (x-2)(x-1)(x2+3x+2)

Andregradspolynomet bruker vi stirremetoden på og får

x2+3x+2=x+2x-1

Fjerdegradslikningen blir

 x4-5x2+4 = 0(x-2)(x-1)(x+2)x+1 = 0

Løsningene blir

x=-2 ,  x=-1 ,  x=1 ,  x=2

Alternativ løsningsmetode (som er mye raskere):

Sett  x4=x22  i likningen, og bruk for eksempel stirremetoden.