Rasjonale uttrykk som inneholder tredjegradspolynomer

Vi ser på dette gjennom to eksempler.

Eksempel 1

Vi ønsker å forkorte brøken

$\frac{x^3-x^2-4x+4}{2x^2-4x}$

Nevneren kan faktoriseres ved å sette felles faktor utenfor parentes.

$\frac{x^3-x^2-4x+4}{2x^2-4x}=\frac{x^3-x^2-4x+4}{2x(x-2)}$

Hvis brøken skal kunne forkortes, må telleren inneholde minst en av faktorene i nevneren. Vi ser først at telleren ikke blir null når vi setter inn $x=0$. Det betyr at teller ikke er delelig med $x$.

Vi undersøker så om telleren er delelig med $x-2$.

Hvis telleren er delelig med $x-2$, vil polynomet $x^3-x^2-4x+4$ være lik 0 når $x=2$.

Vi setter inn $x=2$ og regner ut

$2^3-2^2-4·2+4=0$

Svaret ble 0. Da vil følgende polynomdivisjon «gå opp».

$\begin{array}{ccccccccccccccccccc}& x^3& -& & x^2& -& 4& x& +& 4& )& :& (& x& -& 2& )& =& x^2+x-2 \\ -(& x^3& -& 2& x^2& )& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & x^2& -& 4& x& +& 4& & & & & & & & & \\ & & -& (& x^2& -& 2& x& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & -& 2& x& +& 4& & & & & & & & & \\ & & & -& (& -& 2& x& +& 4& )& & & & & & & & \\ & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$

Vi har da faktorisert tredjegradpolynomet i telleren og funnet at

$x^3-x^2-4x+4=\left(x-2\right)\left(x^2+x-2\right)$

Vi kan nå forkorte brøken

$\frac{x^3-x^2-4x+4}{2x^2-4x}=\frac{\cancel{\left(x-2\right)}\left(x^2+x-2\right)}{2x\cancel{\left(x-2\right)}}=\frac{x^2+x-2}{2x}$

Vi ønsker å forkorte brøken

$\frac{x^3-3x^2-x+3}{x^2-1}$

Nevneren kan faktoriseres ved å bruke tredje kvadratsetning.

$\frac{x^3-3x^2-x+3}{x^2-1}=\frac{x^3-3x^2-x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

Hvis brøken skal kunne forkortes, må telleren inneholde minst en av faktorene i nevneren.

Vi undersøker først om telleren er delelig med $x-1$.

Hvis telleren er delelig med $x-1$, vil polynomet $x^3-3x^2-x+3$ være lik 0 når $x=1$.

Vi setter inn $x=1$ og regner ut

$1^3-3·1^2-1+3=1-3-1+3=0$

Svaret ble 0. Da er polynomet delelig med $x-1$ .

Vi undersøker så om telleren er delelig med $x+1$.

Vi setter inn $x=-1$ og regner ut

${\left(-1\right)}^3-3·{\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)+3=-1-3+1+3=0$

Svaret ble 0. Da er polynomet også delelig med $x+1$.

Siden polynomet er delelig både med $x-1$ og $x+1$, må det være delelig med produktet $\left(x+1\right)\left(x-1\right)=x^2-1$.

Vi utfører divisjonen

$\begin{array}{cccccccccccccccccc}& x^3& -& 3& x^2& -& x& +& 3& )& :& (& x^2& -& 1& )& =& x-3 \\ -(& x^3& & & & -& x& )& & & & & & & & & & \\ & & -& 3& x^2& & & +& 3& & & & & & & & & \\ & -& (-& 3& x^2& & & +& 3& )& & & & & & & & \\ & & & & & & 0& & & & & & & & & & & \end{array}$

Vi har nå faktorisert tredjegradspolynomet fullstendig.

$x^3-3x^2-x+3=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)$

Vi kan da forkorte brøken

$\frac{x^3-3x^2-x+3}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{\cancel{\left(x-1\right)}\cancel{\left(x+1\right)}\left(x-3\right)}{\cancel{\left(x-1\right)}\cancel{\left(x+1\right)}}=x-3$

Hvorfor vet vi at vi har kommet fram til sluttsvaret med selve polynomdivisjonen i dette eksempelet?

Ved CAS i GeoGebra bruker vi knappen for faktorisering og får

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{Faktoriser} \left(\frac{{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+3}{{\mathrm{x}}^2-1}\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \to x-3\end{array}}$