Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Tredjegradslikninger

Hvordan går vi fram når vi skal løse tredjegradslikninger?

Innledning

En tredjegradslikning er en likning som kan ordnes slik at vi får et tredjegradspolynom på venstre side av likhetstegnet og null på høyre side. En generell tredjegradslikning ser da slik ut

ax3+bx2+cx+d=0

På siden Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradspolynomer faktoriserer vi tredjegradspolynomer når vi har et kjent nullpunkt.
Da er vi også i stand til å løse tredjegradslikninger med et kjent nullpunkt.

Siden  ax3+bx2+cx+d=ax-x1x-x2x-x3  hvor  x1, x2 og x3  er nullpunktene til  ax3+bx2+cx+d, blir løsningen av likningen

        ax3+bx2+cx+d = 0ax-x1x-x2x-x3=0                          x=x1,  x=x2  eller x=x3

Vi faktoriserte tidligere uttrykket  2x3+7x2+2x+3, og fikk at

2x3-7x2+2x+3=2x-3x+12x-1

Tredjegradslikningen  2x3+7x2+2x+3=0  kan da løses slik

       2x3+7x2+2x+3 = 02x-3x+12x-1=0                         x=3,   x=-12  eller x=1

Vi tar med et eksempel som viser hele framgangsmåten.

Eksempel

Vi skal løse tredjegradslikningen  3x3+2x2=3x+2.

Først ordner vi likningen slik at vi får 0 på høyre side.

         3x3+2x2 = 3x+23x3+2x2-3x-2=0

I mange oppgaver vil vi kunne finne ett av nullpunktene (en av løsningene) ut i fra opplysninger som er gitt i oppgaven. Her må vi ved hjelp av prøving og feiling finne den første løsningen av likningen.

Det er ofte lurt å prøve med  x=1  først. Da setter vi  x=1  inn i likningen.

Venstre side:  3·13+2·12-3·1-2=3+2-3-2=0

Høyre side:  0

Full klaff med en gang! Vi har dermed vist at  x-1  er en faktor i uttrykket  3x3+2x2-3x-2, og vi foretar polynomdivisjonen

3x3+2x2-3x-2):(x-1)=3x2+5x+2 -(3x3-3x2)5x2-3x-2   -(5x2-5x)2x-2-(2x-2)0

Vi har altså

3x3+2x2-3x-2=x-13x2+5x+2

Vi finner så nullpunktene til  3x2+5x+2.

3x2+5x+2 = 0            x=-5±52-4·3·22·3=-5±16            x1=-1 ,   x2=-23

Tredjegradslikningen blir

                3x3+2x2 = 3x+2       3x3+2x2-3x-2=03x-1x+1x+23=0

og har altså løsningene

x=1,  x=-1  eller x=-23

Løsning av likninger med digitalt verktøy

Vi løser også likninger med CAS i GeoGebra ved å skrive likningen rett inn i CAS-feltet. Dersom vi vil ha eksakte løsninger, klikker vi så på knappen x  =.

3x3+2x2=3x+21Løs:  x=-1, x=-23, x=1

For tilnærmede løsninger klikker vi på x  .

3x3+2x2=3x+21NLøs:  x=-1, x=-0.67, x=1

Video: Tom Jarle Christiansen, //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0